2.2 非線性方程的圖解法

如果方程含有一個或兩個未知數(shù)，則可以通過圖解法求解方程。如果未知數(shù)過多，則不適合使用圖解法，而應該嘗試其他方法。本節(jié)將介紹一元與二元方程的圖解方法，并分析總結圖解法的優(yōu)勢與劣勢。

2.2.1 光滑隱函數(shù)曲線的繪制

MATLAB提供了一般雙變量隱函數(shù)模型的繪制函數(shù)fimplicit()，正常情況下該函數(shù)的默認設置可以得出比較光滑的隱函數(shù)曲線，不過在一些特定的場合下，需要手工調(diào)節(jié)該函數(shù)的控制參數(shù)，以獲得光滑的函數(shù)曲線。下面通過例子演示光滑隱函數(shù)曲線的繪制方法。

例2-8 試繪制隱函數(shù)y2cos(x+y2)+x2ex+y=0在(?2π,2π)求解的光滑曲線。

解 下面的函數(shù)可以直接繪制出該隱函數(shù)的曲線，如圖2-1所示。可以看出，該函數(shù)可以直接繪制出隱函數(shù)曲線，不過曲線的某些地方比較粗糙，例如曲線左上角與右下角區(qū)域出現(xiàn)不光滑的毛刺現(xiàn)象。

隱函數(shù)曲線的光滑度受網(wǎng)格密度屬性'Meshdensity'直接影響，其默認值為151，如果發(fā)現(xiàn)得出的曲線不光滑，不妨將該值設置為大一些的值，如500，這時得出的隱函數(shù)曲線如圖2-2所示。可見，這樣得出的曲線光滑度是令人滿意的，即使作局部放大，曲線仍然是光滑的。

    >> fimplicit(f,[-p,p],'Meshdensity',500)

2.2.2 一元方程的圖解法

定義2-5 一元方程的一般數(shù)學形式為

對于任意的單變量方程f(x)=0，可以考慮將方程用符號表達式描述，然后調(diào)用fplot()函數(shù)繪制出方程的曲線，這樣，就可以用圖解方法求出方程曲線與橫軸的交點，這些交點就是方程的解。

例2-9 根式方程的解析求解是有諸多條件的，如果條件不滿足則無法解析求解。試用圖解方法求解下面的根式方程。

解 先用符號表達式表示方程的左端，則可以調(diào)用fplot()函數(shù)，并疊印上橫軸，則可以得出如圖2-3所示的曲線。從得出的結果看，方程與橫軸只有一個交點，該交點就是方程的解。

如果想得到方程的解，則需要單擊圖形坐標軸工具欄中的圖標，對交點附近的區(qū)域作局部放大，用戶可以反復地使用放大功能，直至x的標度都大致一樣，這時，可以認為得到了方程的解。對這個具體的方程而言，通過局部放大得出方程的解為x=0.13809878，如圖2-4所示，代入方程則可以得出誤差為6.018×10?9。

例2-10 試求解下面的一元超越方程。

e?0.2xsin(3x+2)?cosx=0,x∈(0,20)

解 這個超越方程是沒有解析解的，必須用數(shù)值解的方法求解。圖解法是一種數(shù)值求解方法。前面的例子曾經(jīng)使用符號表達式來描述原始方程，這里采用匿名函數(shù)來描述方程，這兩種方法是等效的。由fplot()函數(shù)可以直接繪制出方程的曲線，并同時疊印出橫軸，如圖2-5所示。這樣，方程曲線與橫軸的交點都是方程的解。

可見，在給定的區(qū)間內(nèi)，該方程曲線與實軸有6個交點，這些交點處的x都是方程的根。與前面的敘述一致，可以通過局部放大的方法逐一求出方程的根，不過求解過程還是很麻煩的。例如，可以求出方程的一個根為x=10.9601289577，代入方程可以得出誤差為?3.4739×10?11。后面將探討更好的方法。

2.2.3 二元方程的圖解法

二元方程聯(lián)立組的數(shù)學形式與定義在下面給出，本節(jié)將探討利用圖解的方式求解相應的二元聯(lián)立方程組，并指出圖解法存在的問題。

定義2-6 二元聯(lián)立方程的一般形式為

從給出方程的數(shù)學形式看，f(x,y)=0可以看成關于自變量x和y的隱函數(shù)表達式，故使用fimplicit()函數(shù)即可以直接繪制該隱函數(shù)的曲線，而曲線上的所有點都滿足該方程。同樣，g(x,y)=0也是隱函數(shù)的數(shù)學表達式，由fimplicit()函數(shù)可以求解該方程。如果將這兩個函數(shù)在同一坐標系下繪制出來，得出的曲線交點則為聯(lián)立方程的解。

例2-11 試求解二元方程在?2π≤x,y≤2π區(qū)域內(nèi)的解。

解 要想求解聯(lián)立方程，可以聲明符號變量x和y，然后將兩個方程用符號表達式分別表示出來，再調(diào)用fimplicit()就可以繪制出兩個方程的解曲線了，如圖2-6所示。圖中給出的每條曲線都滿足一個方程，而聯(lián)立方程的解為曲線的交點。可以看出，該方程在給定區(qū)域內(nèi)有很多解。由得出的圖形可見，隱函數(shù)曲線的光滑度不影響曲線交點的求解，所以可以按默認形式繪制曲線。

如果想得出某個具體交點的信息，則可以對該點作局部放大，大致地得出交點處的x與y值，不過可以預計，這樣的解不會太精確，此外由于這個聯(lián)立方程存在太多交點，所以一個一個局部放大去求解的方式顯然不適用，應該考慮引入能一次性求出所有交點的全新方法。

例2-12 試用圖解法求解下面的聯(lián)立方程。

解 先用符號表達式表示這兩個方程，然后將這兩個隱函數(shù)繪制出來，得出的曲線如圖2-7所示。可見，圖中顯示這兩組曲線有兩個交點。能因此得出結論，說原方程有兩個根嗎？

如果將第二個表達式稍加變換，則x=?4y3?3y2+2，代入第一個方程，有

16y6+24y5+9y4?16y3?11y2?1=0

可見，這是一個關于y的六次多項式方程，很可能該方程有六個根，而不是圖2-7中所示的兩個根。為什么圖中只給出兩個根呢？因為原方程有兩個實根，其他四個根應該是兩對共軛復數(shù)根。在圖解法中只能表示出方程的實數(shù)根，而不能顯示、求取復數(shù)根。

2.2.4 方程的孤立解

觀察例2-11中給出的方程，不難發(fā)現(xiàn)，將x=0，y=0這個點代入兩個方程，這兩個方程都是滿足的。如果從給出的曲線看，第一個方程的曲線似乎有意回避了這個點，而第二個方程也不經(jīng)過這個點。這個點不是由曲線其他點演化而來的，這樣的解稱為孤立解（isolated solution）。

目前沒有任何方法可以求取方程的孤立解，只能由用戶的經(jīng)驗觀察與判斷某些點是不是方程的孤立解。例如，通過觀察可見，x=0，y=0點是該方程的孤立解，代入原方程則可以驗證其正確性。