2.1 多項式方程的求解

多項式方程是實際應用中經常遇到的方程，本節先介紹多項式方程的數學形式，再介紹多項式方程的求解方法。

定義2-1 多項式方程的一般形式為

多項式方程根與系數的關系滿足如下的Viète定理，又稱Viète公式，該定理是以法國數學家Fran?ois Viète（1540?1603）命名的。

定理2-1 （Viète定理）假設多項式方程的根為x1，x2，…，xn，則有

本節側重介紹低階多項式方程的求根公式及其MATLAB實現，并給出高階多項式方程的Abel–Ruffini定理。

2.1.1 一次方程與二次方程

一次與二次方程都有很簡單的求解公式，這里將通過例子演示一元方程與二元方程的直接求解方法。

例2-1 一次多項式方程x+c=0的解是什么？

解 顯然，一次多項式方程的解是x=?c，不論c是何值。

例2-2 公元四至五世紀的中國古代著名的數學著作《孫子算經》曾給出了雞兔同籠問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”

解 古典數學著作中有各種各樣的方法求解雞兔同籠問題。若引入代數方程的思維，則假設雞的個數為x1，兔的個數為x2，這樣容易地列出下面的二元一次方程組：

由第一個方程，令x1=35?x2，將其帶入第二個方程，有

2(35?x2)+4x2=70?2x2+4x2=70+2x2=94

立即得出x2=12，代入則可以得出x1=35?x2=23。將根代入原始方程，則可以看出誤差都為零，說明得出的根是正確的。當然，求解這類方程有許多種方法，這里暫時不去探討了。

例2-3 一元二次方程ax2+bx+c=0的求解。

解 古巴比倫人早在公元前1800年就開始研究這類問題，后來諸多數學家也在研究二次方程的求解方法，直到1615年出版的法國數學家Fran?ois Viète的著作中，給出了一般多項式方程根與系數之間的關系，即前面給出的Viète定理。

提取方程兩端的系數a，則可以得出a(x2+bx/a+c/a)=0，如果a不等于零，則探討方程x2+bx/a+c/a=0的根就可以了。如果采用配方法，可以從底層推導一元二次方程的求解公式。

由最后一個方程顯然可以得出

兩端開方，求代數平方根，再經過簡單處理，則可以得出原方程的兩個根：

2.1.2 三次方程的解析解

三次或三次以上代數方程的求解就沒有這么簡單了。古巴比倫人研究過三次多項式方程。中國三國時期著名數學家劉徽在265年出版了《九章算術注》，其中描述了三次方程（cubic equations）問題。中國唐代數學家王孝通在其著作《輯古算經》中建立并求解了25個特殊三次方程。

定義2-2 三次方程的一般形式為x3+c2x2+c3x+c4=0。

為簡單起見，該方程進行了首一化處理。令x=t?c2/3，則可以將三次方程變換成t3+pt+q=0的形式，其中

例2-4 試利用MATLAB證實式（2-1-3）的敘述。

解 利用MATLAB進行變量替換，則可以給出下面的語句：

則可以立即得出結果如下，由此可以證實式（2-1-3）中的結果。

這樣，變量t三個根的閉式求解公式為

其中，ξ=(?1+)/2，且

不過在MATLAB實際計算中，由上式獨立計算u和v的值有時會出現錯誤，因為開方運算解是不唯一的。為準確計算u和v值，可以考慮先計算u，再用Viète定理計算v的值，v=?p/(3u)。

當然，有一種特殊情況必須考慮，就是當u=0時，v=0，這時方程的三重根為x=?c2/3。

將得出的t代入x=t?c2/3，可以得出方程的三個根。這個閉式解公式是意大利數學家Gerolamo Cardano在1545年提出的。

2.1.3 四次方程的解析解

一般四次方程（quartic equation）可以先經過特殊的變量替換轉換成特殊形式的四次方程，最后給出閉式求解公式。

定義2-3 四次方程的一般形式為x4+c2x3+c3x2+c4x+c5=0。

例2-5 對一般四次方程，若令x=y?c2/4，則原方程會變換成什么形式？

解 利用下面的語句可以進行方程的變換。

可以將方程變換成y4+py2+qy+s=0的特殊四次方程形式，其中，

由給出的特殊形式，可以將y的方程變換成下面的形式。

其中，m為三次方程8m3+8pm2+(2p2?8s)m?q2=0的根。這個算法是意大利數學家Lodovico de Ferrari提出的。當然，這樣做的前提是m?=0。如果m=0，則意味著q=0，這樣y的方程可以寫成y4+py2+s=0，易于求解y2，再求出y。有了y，則可以由變換表達式求出相應的x。

MATLAB提供的roots()函數是基于矩陣特征值計算的多項式方程求解函數，具體的調用格式為r=roots(p)，其中，p為降冪排列的多項式系數向量，r為方程的數值解，為列向量。

該函數在求解有重根方程時經常被詬病，因為得出的根誤差比較大。綜合考慮上面給出的低次方程求解算法，可以編寫出roots()函數的替代函數，該函數有望得出精確的低次方程的數值解，而方程階次高于4時自動嵌入MATLAB的原始roots()函數，得出方程根的數值解。

例2-6 試求解方程(s?5)4=0。

解 當然，如果以這種形式給出方程，則可以立即得出方程的四個重根，都是5。在實際應用時經常已知方程的展開形式，不知道分解的形式，如何求解呢？可以嘗試MATLAB提供的roots()函數，也可以嘗試新編寫的roots1()函數。

可以看出，roots1()函數得出所期望的四重根s=5，而roots()函數得出的結果為5.0010，5±0.001j，4.9990，可以看出，方程有重根時MATLAB函數數值求解有較大的誤差，在雙精度數據結構下，用其他數值算法也有同樣的問題，在實際應用中可能引起麻煩。代入原方程后，e1=2.1690×10?12，e2=0。通過上面演示還可以看出，利用符號運算總能得出正確的結果。

例2-7 試在雙精度框架下求解復系數多項式方程并評價精度。

f(s)=s4+(5+3j)s3+(6+12j)s2?(2?14j)s?(4?4j)=0

解 到現在為止介紹了兩個多項式方程的數值求解函數roots()和roots1()，其實，構造原方程時，是假設方程的三重根為?1+1j，還有一個實數根?2。現在可以由下面的語句直接求解，得出結果后與已知根的解析解相比，可見，roots()函數得出的根的誤差范數為3.5296×10?5，而roots1()函數的誤差范數為0，說明這里給出的方程的解是精確的，roots1()函數同樣適合求解復系數多項式方程。

2.1.4 高次代數方程與Abel-Ruffini定理

定義2-4 方程的代數解法是利用有限次加減乘除、整數次乘方、開方運算可以構造出來的閉式求解公式。

定理2-2（Abel–Ruffini定理） 任意系數的五次或五次以上的多項式方程是沒有代數解法的。該定理又稱Abel不可能性定理。

意大利數學家Paolo Ruffini（1765?1822）在1799年給出了該定理的不完全證明，挪威數學家Niels Henrik Abel在1824年給出了定理的證明。所以對一般高次多項式方程而言，只能采用數值解方法。