第5章　微機控制系統設計

5.1　微機控制系統的基本組成與分類

5.1.1　微機控制系統的基本組成

計算機控制系統是在自動控制技術和計算機技術發展的基礎上產生的。將自動控制系統中的控制器的功能用計算機來實現，就組成了典型的計算機控制系統。如果計算機是微型計算機，就是微型計算機控制系統，簡稱微機控制系統。典型的微型計算機控制系統由硬件和軟件組成。

5.1.1.1　微機控制系統的硬件組成

圖22-5-1為微機控制系統的典型硬件組成框圖。

5.1.1.2　微機控制系統的軟件組成

軟件是指能夠完成各種功能的計算機程序的總和。整個計算機系統的動作，都是在軟件的指揮下協調進行的，因此說軟件是微機系統的中樞神經。微機控制系統的軟件主要由系統軟件和應用軟件組成，如表22-5-2所示。

5.1.2　微機控制系統的分類

5.2　微機控制系統設計的方法和步驟

微機控制系統設計的主要方法有：模擬化設計方法、離散化設計方法、狀態空間設計方法。

5.2.1　模擬化設計方法和步驟

5.2.1.1　模擬化設計思想

模擬化設計是將如圖22-5-2所示的微機控制系統看作一個連續系統，即忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，然后采用連續系統設計方法設計出模擬控制器D（s），在滿足一定條件下，做出某種近似，從而將模擬控制器D（s）離散化成數字控制器D（z），以便用計算機算法來實現已設計好的模擬校正裝置的功能。

模擬化設計方法的適用前提是：采樣角頻率ω_s要比系統的通頻帶ω_b或開環截止頻率ω_c高得多（一般要求ω_s≥10ω_b或10ω_c），以至于由采樣器和保持器所引起的附加影響較小，甚至可以被忽略，這樣，系統的離散部分可以用連續環節來代替。

5.2.1.2　香農采樣定理

設連續信號x（t）的頻帶寬度是有限的，所包含的最高頻率為ω_max，為了能使連續信號x（t）采樣后的離散頻譜x^*（jω）彼此不重疊，并能復現原信號x（t）的全部信息，則要求采樣頻率ω_s滿足下述關系：ω_s≥2ω_max。

5.2.1.3　模擬化設計步驟

（1）設計模擬控制器D（s）

首先，將圖22-5-2所示的微機控制系統假想為一個連續系統，如圖22-5-3所示，即將實現數字控制器的微機、采樣器和零階保持器合在一起，作為一個模擬環節看待，其等效傳遞函數為D（s）。之后，按照對數頻率特性法、根軌跡法等連續系統的校正方法，可以設計連續系統的校正環節D（s）。

（2）正確選擇采樣周期T

①從調節品質上看，希望采樣周期短，以減小系統純滯后的影響，提高控制精度。通常保證在95%的系統的過渡過程時間內，采樣6～15次即可。

②從快速性和抗擾性方面考慮，希望采樣周期盡量短，這樣給定值的改變可以迅速地通過采樣得到反映，而不致產生過大的延時。

③從計算機的工作量和回路成本考慮，采樣周期T應長些，尤其是多回路控制時，應使每個回路都有足夠的計算時間；當被控對象的純滯后時間τ較大時，常選T=τ。

④從計算精度方面考慮，采樣周期T不應過短，當主機字長較小時，若T過短，將使前后兩次采樣值差別小，調節作用因此會減弱。另外，采樣周期T必須大于執行機構的調節時間。（3）將D（s）離散化為D（z）

主要方法有：

①雙線性變換法：

②后向差分法：

③零階保持器法：，Z變換的具體計算可見表22-5-4和表22-5-5。

此外，還可采用零極點匹配等方法。

（4）求出與D（s）對應的差分方程

要想用計算機實現數字控制器D（z），則必須求出相應的差分方程，此時有兩條途徑：一是由D（s）寫出系統的微分方程，并進行差分處理得到相應的差分方程，如數字PID控制算法即由此推導出；另一途徑是根據數字調節器D（z），用直接程序設計法、串聯實現法等將其變為差分方程。

（5）根據差分方程編制相應程序

設計好的控制算法投入使用前，要進行數字仿真，若不合乎要求，應予以修改，直至滿足要求為止。

5.2.1.4　數字PID控制系統設計

（1）連續PID控制

連續PID控制方框圖如圖22-5-4所示。

①比例（P）控制規律

式中　K_p——比例系數。

②比例積分（PI） 控制規律。采用比例控制的系統存在靜差，為了消除靜差，在比例控制的基礎上加入積分控制，組成比例積分控制器，其控制規律為

式中　T_i——積分常數，T_i越大，積分作用越弱。

③比例積分微分（PID） 控制規律。比例積分控制消除系統誤差需經過較長的時間，為進一步改進控制器，可以通過檢測誤差的變化率來預報誤差，根據誤差變化趨勢，產生強烈的調節作用，使偏差盡快地消除在萌芽狀態，數學上描述這個概念就是微分，因此在PI控制器的基礎上加入微分調節，就構成了連續PID控制，其控制規律為

式中　T_d——微分常數，T_d越大，微分作用越強。

連續PID控制器的傳遞函數

（2）標準數字PID控制算法

包括位置式數字PID控制算法、增量式數字PID控制算法、遞推形式位置式數字PID控制算法，和其他改進型PID控制算法。

①位置式數字PID控制算法。為了實現微機控制生產過程變量，必須將模擬PID算式離散化，變為數字PID算式，為此，在采樣周期T遠小于信號變化周期時，作如下近似

于是有位置式數字PID算法

u（k）是全量值輸出，每次的輸出值都與執行機構的位置（如控制閥門的開度）一一對應，所以稱之為位置式PID算法。圖22-5-5為位置式數字PID控制系統結構，圖22-5-6為位置式數字PID算法程序流程。

②增量式數字PID控制算法。當控制系統中的執行器為步進電機、電動調節閥、多圈電位器等具有保持歷史位置功能的這類裝置時，一般均采用增量式數字PID控制算法。增量式數字PID控制算法表達式為

圖22-5-7為增量式數字PID控制系統結構，圖22-5-8為增量式PID算法程序流程。

與位置算法相比，增量型數字PID算法有如下優點。

a.位置式算式每次輸出與整個過去狀態有關，計算式中要用到過去偏差的累加值，容易產生較大的累積計算誤差；而在增量型算式中，由于消去了積分項，從而可消除調節器的積分飽和，在精度不足時，計算誤差對控制量的影響較小，容易取得較好的控制效果。

b.為實現手動—自動無擾動切換，在切換瞬時，計算機的輸出值應設置為原始閥門開度u₀，若采用增量型算法，其輸出對應于閥門位置的變化部分，即算式中不出現u₀項，所以易于實現從手動到自動的無擾動切換。

c.采用增量式算法時所用的執行器本身都具有寄存作用，所以即使計算機發生故障，執行器仍能保持在原位，不會對生產造成惡劣影響。

③遞推形式位置式數字PID控制算法。利用增量型數字PID控制算法，可得到位置型數字PID控制算法的遞推形式，即

此外，還有多種改進型數字PID控制算法。

（3）數字PID調節器參數的整定方法

①擴充臨界比例度法整定PID參數。擴充臨界比例度法是以模擬PID調節器中使用的臨界比例度為基礎的一種數字PID調節器參數的整定方法。整定步驟如下。

a.選擇一個足夠短的采樣周期T，例如被控過程有純滯后時，采樣周期T取滯后時間的1/10以下，此時調節器只作純比例控制，給定值r作階躍輸入。

b.逐漸加大比例系數K_p，使控制系統出現臨界振蕩。由臨界振蕩過程求得相應的臨界振蕩周期T_τ，并記下此時的比例系數K_p，將其記作臨界振蕩增益K_τ。此時的比例度為臨界比例度，記作

c.選擇控制度。所謂控制度是數字調節器和模擬調節器所對應的過渡過程的誤差平方的積分之比。

控制度是數字調節器和模擬調節器控制效果相比較的一種性能評價指示。通常不需要去計算。當控制度為1.05時，數字調節器與模擬調節器的控制效果相當；當控制度為2.0時，數字調節器的控制質量差一倍。

d.根據控制度，查表22-5-6求出T、K_p、T_i和T_d的值。

e.按照求得的整定參數，投入系統運行，觀察控制效果，再適當調整參數，直到獲得滿意的控制效果為止。

②擴充響應曲線法整定PID參數

a.斷開數字調節器，讓系統處于手動操作狀態。將被調量調節到給定值附近并穩定后，突然改變給定值，即給對象輸入一個階躍信號。

b.用儀表記錄被控參數在階躍輸入下的整個變化過程曲線，如圖22-5-9所示。

c.在曲線最大斜率P處作切線，求得滯后時間τ、被控對象的時間常數T_m，以及它們的比值T_m/τ。

d.選擇控制度。

e.由τ、T_c、T_c/τ值，查表22-5-7，求出數字控制器的T、K_p、T_i和T_d。

③試湊法

a.只采用比例控制，K_p由小變大，若響應時間、超調、靜差已達到要求，只采用比例調節即可。

b.靜差不滿足，則加入積分控制，將K_p減小，例如取0.8K_p代替K_p，T_i由大到小，反復測試多組的K_p和T_i值，從中確定合適的參數。

c.若動特性不滿足，比如超調量過大，或調節時間過長，則加入微分控制，T_d由小到大，逐步湊多組PID參數，從中找出一組最佳調節參數。

5.2.2　離散化設計方法和步驟

離散化設計方法也稱直接設計方法。其主要思想是：首先將保持器和被控對象所構成的連續部分離散化，即取

然后把整個系統當作完全的離散系統，在離散域內設計數字控制器D（z）。

離散化設計的主要方法見表22-5-8。

5.3　微機控制系統的數學模型

微機控制系統可用差分方程、Z傳遞函數、狀態空間表達式來描述。

5.3.1　差分方程

5.3.1.1　差分的概念和差分方程

在微機控制系統中，某環節（如數字控制器）的輸入和輸出信號都是離散時間kT的函數，都是以離散序列形式，如x（kT）和y（kT）（k=0，1，2，…），來表示的。此環節的行為不能再用連續時間的微商來描述，它的運算規律只取決于前后離散序列的數值，這就引出了差分的概念和差分方程。

（1） 差分的概念

設連續時間函數為x（t），其采樣后的離散時間函數為x（kT），為了書寫方便，令

一階前向差分定義為

二階前向差分定義為

n階前向差分定義為

式中，是組合值，即

同理，一階后向差分定義為

二階后向差分定義為

n階后向差分定義為

T足夠小的條件下，連續時間函數x（t）對時間t的導數可近似用前向差分與T之比來表示。當t=kT時，有

（2） 差分方程

若在一個方程中含有離散時間函數的差分，則稱此方程為差分方程。差分方程的一般形式為

差分方程又可表示為

和微分方程相類似，差分方程也可按“階”數來分類。所謂差分方程的“階”數，是指自變量的最大值與最小值之差。例如

是一個二階差分方程。

描述微機控制系統的差分方程一般表達式為

或　　

式中，m≤n，n為差分方程的階數；x（k）、y（k）分別為離散輸入、輸出序列。

5.3.1.2　差分方程的求解方法

（1）用迭代法求解差分方程

設n階前向差分方程為

只要知道輸出序列初始值y（0）ly（1），…，y（n-1）和任何時刻的輸入序列x（i），i=0，1，2，…，那么系統任何時刻的輸出序列y（k），k≥n，都可以由上式逐步遞推計算出來。

例　求下列差分方程的解y（k）。

式中

且

解

令k=0，1，2，…，一步一步迭代解差分方程。

（2）用Z變換法求解差分方程

在輸入和初始條件已知的情況下，用迭代法不難求出在任一采樣時刻上差分方程的解，但這種方法卻不容易得到解的一般表達式。與用拉氏變換法求解微分方程相類似，用Z變換法也可以求解差分方程。

用Z變換法求解差分方程基本步驟如下。

①對差分方程兩邊取Z變換。

②再利用Z變換的超前和遲后定理將差分方程變換為以z為變量的代數方程。

③求解此代數方程。

④再對所得結果進行Z反變換法，求得采樣時刻上解的一般表達式。

例　試用Z變換法求解下列二階差分方程

其中

解　由Z變換定義，得

對差分方程兩邊取Z變換，并代入初始條件，整理后

用部分分式法對上式進行Z反變換，因

方程兩邊同乘以Z

對上式進行Z反變換，查表22-5-4，最后得

5.3.2　Z傳遞函數

Z傳遞函數也稱脈沖傳遞函數。

5.3.2.1　基本概念

在離散系統中，把零初始條件下，系統（或環節）的輸出離散信號的Z變換與輸入離散信號的Z變換之比，定義為該系統（或環節）的脈沖傳遞函數。

對于圖22-5-10所示的離散系統，脈沖傳遞函數定義為

式中　

脈沖傳遞函數具有明顯的物理意義。離散系統的脈沖傳遞函數就是系統單位脈沖響應g（t）的Z變換，即

上式表明，若將脈沖傳遞函數G（z）展開成關于z^-1的升冪多項式形式，其展開的項數越少，說明系統的單位脈沖響應g（t）衰減得愈快，系統的響應速度也愈快。

對于圖22-5-10所示的離散系統，其脈沖傳遞函數還可以表示成

根據脈沖傳遞函數的定義，離散系統在采樣時刻的輸出值為

如果輸入信號X（z）已知，則求取輸出響應y^*（t）的關鍵，是如何求出系統的脈沖傳遞函數G（z）。

5.3.2.2　開環系統的脈沖傳遞函數

（1） 系統（或環節）的脈沖傳遞函數

對于圖22-5-10所示的離散系統（或環節），a.若已知該系統（或環節）連續部分的傳遞函數G（s）或單位脈沖響應g（t），則對G（s）或g（t）取Z變換，即得G（z）；b.若已知該系統（或環節）的差分方程，且該系統處于零初始條件下，則對差分方程兩邊取Z變換，即得G（z）。

例　設離散系統的差分方程為

系統的初始條件為零，試求系統的脈沖傳遞函數G（z）。

解　對差分方程兩邊取Z變換，由遲后定理得

整理得

（2） 環節串聯時的脈沖傳遞函數

在離散系統中，環節串聯有3種典型形式，如圖22-5-11所示。

①串聯環節之間無采樣開關。在圖22-5-11（a）所示的開環系統中，兩個環節G₁（s）和G₂（s）之間無采樣開關，它們之間是以連續信號傳遞的。根據脈沖傳遞函數的定義，應當把這兩個串聯環節等效地看成前后均有采樣開關的一個環節。該環節的傳遞函數是G（s）=G₁（s）G₂（s），它的脈沖傳遞函數為

式中，G₁G₂（z）是Z［G₁（s）G₂（s）］的縮寫，它表示先將G₁（s）與G₂（s）相乘后再取乘積的Z變換。

結論：當開環系統由兩個連續環節串聯，而環節之間又無采樣開關分隔時，開環系統的脈沖傳遞函數等于兩個環節傳遞函數相乘后再取乘積的Z變換。此結論可以推廣到n個環節直接串聯時的情況。

定理： 若G（s）所對應的Z變換式是G（z），則（1-e^-Ts）G（s）所對應的Z變換式為（1-z^-1）G（z）。

②串聯環節之間有采樣開關。在圖22-5-11（b）和圖22-5-11（c）所示的開環系統中，兩個串聯環節之間有采樣開關，它們之間是以離散信號傳遞的。對于第一個環節，前后都存在采樣開關，其輸入為離散信號x^*（t），輸出經采樣開關后為根據脈沖傳遞函數的定義，有

對于第二個環節，其輸入為（t），輸出為y（t），脈沖傳遞函數為

兩個環節串聯后，總的脈沖傳遞函數為

結論：被采樣開關隔開的兩個環節串聯時，總的脈沖傳遞函數等于兩個環節各自的脈沖傳遞函數的乘積。如果有n個環節串聯而所有串聯環節之間都有同步采樣開關時，則整個開環系統的脈沖傳遞函數等于各環節的脈沖傳遞函數的乘積。

③閉環系統的脈沖傳遞函數。在離散系統中，由于采樣開關配置方式是多種多樣的，所以閉環系統的方塊圖形式也不是統一的。表22-5-9列出了某些常見離散反饋系統的方塊圖及其輸出信號的Z變換Y（z），其中序號為6～10的方塊圖，因為輸入信號沒有直接受到采樣，所以只能得到輸出信號的Z變換，而不能定義脈沖傳遞函數。

5.4　微機控制系統分析

微機控制系統，在一定條件下，一般可近似為線性離散系統，其經典分析方法一般分為三種：時域分析法、根軌跡法和頻率法。分析的內容也包括三個方面：系統的穩定性、穩態性能和暫態性能。

5.4.1　線性離散系統的時域響應分析

根據離散系統的閉環脈沖傳遞函數G_B（z）［或Y（z）表達式］，及給定的輸入信號r（t）［或r^*（t）］，求取輸出響應信號y（t）的Z變換Y（z），然后對Y（z）進行Z反變換，便可得到y（t）在各采樣時刻的值y（kT）［或y^*（t）］；如果還需要詳細得到y（t）在非采樣時刻的值，可采用擴展Z變換。根據輸出響應曲線，按超調量、暫態過程時間以及穩態誤差等項時域性能指標，便可分析離散系統的性能。

例　試求圖22-5-12所示離散系統在單位階躍信號作用下的輸出響應，并分析其暫態和穩態性能。已知K=1，T=1。

解　系統的開環脈沖傳遞函數為

閉環脈沖傳遞函數為

在單位階躍信號作用下，有

將T=1，代入上式

利用長除法

取Z反變換得

按上式，將輸出響應在各采樣時刻的值繪于圖22-5-13，并用平滑曲線將各采樣點連接起來（嚴格講，應該應用擴展Z變換）。

5.4.2　離散系統的穩定性分析

離散系統的分析主要建立在Z變換基礎上，所以這里關于穩定性的討論也只限于采樣時刻上的值是否穩定。另外，在離散系統的分析中，是以Z變換代替拉氏變換，所以應在Z域內判別離散系統的穩定性，并在此基礎上導出穩定判據。

5.4.2.1　Z平面內的穩定條件

設離散系統的閉環脈沖傳遞函數為

通常m≤n，且系統具有均不相同的閉環極點p₁、p₂、…、p_n。在單位階躍輸入信號作用下，輸出信號的Z變換為

上式兩邊同除以z，并展開成部分分式

故

對上式取Z反變換，并寫成序列形式

上式右邊第一項為系統輸出的穩態分量，第二項為系統輸出的暫態分量。顯然若系統是穩定的，當t趨于無窮大（相當于k趨于無窮大）時，系統輸出的暫態分量應趨于零，即

為滿足這一條件，要求系統的閉環脈沖傳遞函數的全部極點p_i（i=1，2，…，n）應滿足

上式說明，離散系統穩定的充分條件是：離散系統的閉環脈沖傳遞函數的全部極點（或特征方程的全部根）應位于Z平面上以原點為圓心的單位圓內。反之，若閉環脈沖傳遞函數有位于單位圓外部的極點，則閉環系統是不穩定的。Z平面上單位圓的圓周是穩定域的邊界。

上述結論也可以從S平面與Z平面之間的映射關系中得出。

5.4.2.2　S平面與Z平面之間的映射關系

在Z變換定義中已確定了s和z之間的映射關系為

式中，s是復變量，可寫成s=σ+jω，所以z也是復變量，即

寫成極坐標形式

式中，，。

離散系統的閉環脈沖傳遞函數在Z平面的極點p_i與s_i的關系見表22-5-10。

由表22-5-10可見，S平面的左半平面映射到Z平面上以原點為圓心的單位圓內；S平面的虛軸映射到Z平面上單位圓的圓周上；S平面的右半平面映射到Z平面上單位圓的外部。

5.4.2.3　穩定判據

雖然根據特征方程的根在Z平面上的分布可以判別離散系統的穩定性，但是對于高階系統來說，解特征方程是很困難的，所以必須找出簡單、實用的穩定判據。常見的離散系統穩定判據有勞氏判據、朱氏判據和奈奎斯特判據等。下面簡述離散系統勞氏判據。

在連續系統中，應用勞氏判據可以判別特征方程（代數方程）的根是否全部具有負實部，但勞氏判據卻不能判別特征方程（代數方程）的根是否全在單位圓內部。為了能應用勞氏判據判別離散系統的穩定性，必須先施加變換把Z平面單位圓內部映射到另一復平面的左半平面上。顯然，不能將Z平面再復現回s平面，否則特征方程又變成s的超越方程，而不是代數方程。新引入的變換稱為雙線性變換，或稱為W變換，定義為

它把Z平面單位圓內部映射到W平面的左半平面上。

判別離散系統穩定性的一般步驟：

①求出離散系統的特征方程D（z）=0；

②在D（z）中令z=（1+w）/（1-w），得到代數方程D（w）=0；

③用勞氏判據判別D（w）=0的根是否全部具有負實部。如果全部具有負實部，說明D（z）的全部極點分布在Z平面單位圓內，離散系統是穩定的；反之，系統不穩定。

例　設離散系統的閉環特征方程為

試應用勞氏判據判別此系統的穩定性。

解　在特征方程中做z=（1+w）/（1-w）的變量代換，得

整理后

列勞氏計算表

w³　　40　　　2　　0

w²　　2　　1　　0

w¹　 -18　　0

w⁰　　1

其中第一列元素變號兩次，說明D（w）=0有兩個根據具有正實部，即D（z）=0有兩個根在單位圓外，此離散系統不穩定。

對于二階離散系統，穩定性的判別變得十分簡單。設系統的閉環特征方程為

應用勞氏判據可推導出二階離散系統穩定的充分必要條件為

對于一般的離散系統，穩定性主要受以下幾個方面的影響：a.系統的開環放大倍數K，通常K越大，穩定性越差；b.系統的采樣周期T，通常T越大，穩定性越差；c.系統的結構和其他參數。

5.4.3　離散系統的穩態誤差

離散系統的穩態誤差與本身的結構和參數有關，也與系統的輸入信號有關。離散系統的穩態誤差既可以從響應曲線中求得，也可以應用Z變換的終值定理來計算。

設單位反饋的離散系統如圖22-5-14所示，誤差信號的Z變換為

應用Z變換的終值定理，得到離散系統的穩態誤差

由于Z平面上z=1的極點與s平面上s=0的極點相對應，這從Z［1/s］=z/（z-1）可明顯看出，因此，離散系統可按其開環脈沖傳遞函數G_K（z）在z=1處的極點數來確定其類型。把z=1處的極點數為0、1、2、…的系統分別稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型…系統。下面分別討論在三種典型輸入信號作用下，三種典型系統的穩態誤差。

（1） 單位階躍輸入時的穩態誤差

單位階躍函數，，得

式中， 稱為系統的位置誤差系數。

對于0型系統：沒有z=1的極點，K_p=有限值

對于Ⅰ（或Ⅱ）型系統：G_K（z）有1個（或兩個）z=1的極點，K_p=∞

（2） 單位斜坡輸入時的穩態誤差

單位斜坡函數r（t）=t，，得

式中，稱為系統的速度誤差系數。

對于0型系統：G_K（z）沒有z=1的極點，K_v=0，e（∞）=0

對于Ⅰ型系統：G_K（z）有1個z=1的極點，K_v=有限值，

對于Ⅱ型系統：G_K（z）有兩個z=1的極點，K_v=∞，e（∞）=0

（3） 單位拋物線輸入時的穩態誤差

單位拋物線函數，，得

式中，稱為系統的加速度誤差系數。

對于0型（或Ⅰ型）系統：G_K（z）有0個（或1個）z=1的極點，K_a=0，e（∞）=∞。

對于Ⅱ型系統：G_K（z）有兩個z=1的極點，K_a=有限值，e（∞）=1/K_a=有限值。

以上結果可歸納為表22-5-11。

5.4.4　離散系統的暫態性能

假定外作用是單位階躍信號。在這種情況下，系統輸出的Z變換為

5.4.4.1　閉環極點與暫態分量的關系

單位階躍信號輸入時，系統輸出響應在采樣時刻值的一般表達式為

上式右邊的第一項為系統輸出的穩態分量，第二項為系統輸出的暫態分量。顯然，閉環極點在平面上的位置不同，它所對應的暫態分量的形狀也不同。下面分幾種情況加以討論。

（1） 閉環極點在Z平面實軸上

當第i個閉環極點p_i為實數，也就是在實軸上，p_i所對應的暫態分量為

①p_i>1，極點在單位圓外正實軸上，y_i（kT）為單調發散過程；

②p_i=1，極點在正實軸的單位圓上，y_i（kT）始終等于常值A_i；

③0<p_i<1，極點在單位圓內正實軸上，y_i（kT）為單調衰減過程，且p_i離原點越近，衰減也越快；

④-1<p_i<0，極點在單位圓內負實軸上，y_i（kT）為正負交替的衰減振蕩過程，振蕩頻率最高，周期為2T，且p_i離原點越近，振蕩衰減也越快；

⑤p_i=-1，極點在負實軸的單位圓上，y_i（kT）為幅值等于A_i的正負交替的等幅振蕩過程；

⑥p_i<-1，極點在單位圓外復實軸上，y_i（kT）為正負交替的發散振蕩過程。

這六種情況示于圖22-5-15中。

（2） 閉環極點為一對共軛復極點

設p_i和為成對出現的共軛復極點，它們可分別表示為

對應的暫態分量分別為

式中，，。

這一對共軛復極點所對應的暫態分量為

①，共軛復極點在單位圓外，y_i（kT）為發散振蕩過程；

②，共軛復極點在單位圓上，y_i（kT）為等幅振蕩過程；

③，共軛復極點在單位圓內，y_i（kT）為衰減振蕩過程。

這三種情況示于圖22-5-16中。

一個振蕩周期內包含的采樣周期T的個數為

所以，極點的相角θ_i反映了對應的暫態分量的振蕩激烈程度。θ_i越大，n越小，振蕩越激烈。作為極端情況，當θ_i=0時（極點在正實軸上），n=∞，暫態分量是非周期的；當θ_i=π時，n=2，一個振蕩周期內包含了兩個采樣周期，暫態分量為正負交替的、最激烈的振蕩過程。這和前面的分析相符合。

綜上所述，為了使離散系統具有較為滿意的暫態性能，其閉環脈沖傳遞函數的極點應盡可能避免分布在Z平面單位圓內的左半部，尤其不要靠近負實軸，閉環極點最好分布在單位圓內的右半部，靠近原點的位置。

5.4.4.2　離散系統暫態性能的估算

閉環極點越接近單位圓周（即在圓內離原點越遠），暫態分量衰減得越緩慢。假設離散系統中有一對閉環復極點最靠近單位圓周，而其他閉環零極點均在原點附近，離這一對閉環復極點相當遠，那么系統的暫態響應主要由這一對閉環復極點決定，這一對閉環復極點稱為閉環主導極點。

如果系統中存在著閉環主導極點，并可表示為

而其余閉環極點都在單位圓內，并且相對來說遠離單位圓周， 這時可忽略掉遠離單位圓周的閉環極點所對應的暫態分量，只考慮閉環主導極點所對應的暫態分量。

經過推導，得離散系統暫態性能指標的近似計算公式

式中　m——閉環零點數；

n——閉環極點數；

z_k——閉環零點，k=1，2，…，m；

p_1，2——閉環主導極點，；

p_k——主導極點以外的閉環極點，k=3，4，…，n；

=∠（p₁-z_k）　（k=1，2，…，m）；

=∠（p₁-p_k）　（k=3，4，…，n）。

系統閉環零極點對暫態性能的影響如下。

①減小閉環主導極點的模值可以減小超調量σ_p，增大閉環主導極點的相角θ₁可以使峰值時間t_p減小，但θ₁的增加會使暫態響應振蕩過程加劇。

②如果把主導極點以外的閉環零極點叫做附加零極點，那么這些附加零極點對系統暫態性能的影響如下。

a.附加零極點對峰值時間的影響。附加零點的引入使相角增大，從而減小峰值時間t_p；反之，附加極點的引入使相角增大，峰值時間t_p增大。為了減小峰值時間，可以使附加零點右移、附加極點左移。

b.附加零極點對超調量σ_p的影響。對于實數零點（或靠近實軸的復數零點），在右半平面的單位圓內，的值一般比左半平面的大，所以，附加零點的右移會使σ_p增大；實數極點（或靠近實軸的復數極點）的左移一般會使的值增大，所以，附加極點的左移會使σ_p增大。

可見，附加零極點對σ_p的影響與對t_p的影響相反。事實上，由于，所以峰值時間t_p的增大會使超調量σ_p減小。在設計系統時，應根據對σ_p和t_p的要求配置零極點。

當系統只有一對閉環復極點而沒有其他零極點時，

相應的二階離散系統的峰值時間t_p和超調量σ_p分別為

5.4.5　離散系統的根軌跡分析法

在已知開環脈沖傳遞函數零極點的條件下，用根軌跡法可以確定出閉環極點的位置；此外，用根軌跡法還可以確定系統中某一個參數變化時，閉環極點的變化軌跡，從而研究參數變化對系統性能的影響。

5.4.5.1 Z 平面上的根軌跡

設離散系統的開環脈沖傳遞函數為

式中　p₁，p₂，…，p_n——離散系統的開環極點；

z₁，z₂，…，z_m——離散系統的開環零點；

k——根軌跡放大倍數。

根據開環脈沖傳遞函數的零極點確定閉環極點的位置，需要求解系統的閉環特征方程

上式可以通過幅值和相角條件來表示，即

上式就是在Z平面上繪制離散系統根軌跡所依據的兩個基本條件。

表22-5-12列出了繪制線性離散系統的基本法則。表22-5-13列出了常見線性離散系統的根軌跡圖。

5.4.5.2　用根軌跡法分析離散系統

下面通過例題說明如何用根軌跡法對離散系統的性能進行分析。

例　設二階離散系統的方塊圖如圖22-5-17所示，采樣周期T=1s，試在Z平面上繪制K從0變化到∞時系統的根軌跡，并確定系統的臨界放大倍數K_臨。

解　此系統的開環脈沖傳遞函數

將T=1s代入上式，得

根據繪制根軌跡的基本規則可得如下結果。

①根軌跡共有兩條，分別從開環脈沖傳遞函數的兩個極點p₁=1和p₂=0.368出發，當K→∞時，一條根軌跡趨向零點z=0，另一條根軌跡趨向-∞處。

②在實軸上，1～0.368和0～-∞線段上有根軌跡存在。

③根軌跡與實軸的分離點和會合點可由下式求得

整理得

解上式可求得分離點為0.607，合點為-0.607。

④根據相角條件可以證明，根軌跡的復共軛段是以零點z=0為圓心、以零點與會合點的距離0.607為半徑的圓。

由以上結果繪制出該系統的根軌跡，如圖22-5-18所示。從圖可見，根軌跡與單位圓相交于z=-1處。根據幅值條件，求得系統的臨界放大倍數K_臨為

5.4.6　離散系統的頻率法

設離散系統的脈沖傳遞函數為G（z），將s=jω代入，便可求得它的頻率特性為

下面說明離散系統頻率特性的物理意義。設離散系統的輸入為正弦信號，即

經過采樣后

其Z變換為

于是，系統輸出響應的Z變換可寫為

其Z反變換為

式中右邊最后一項為系統的暫態響應分量，對于穩定的系統，，當時間足夠長以后，暫態項消失，系統的穩態輸出響應為

上式表明，圖示的離散系統在正弦信號的作用下，其穩態輸出響應的包絡線仍為正弦函數，包絡線的頻率與輸入信號的頻率相同。輸出信號包絡線的幅值與輸入信號的幅值之比，稱為系統的幅頻特性，表示為；輸出信號包絡線與輸入信號之間的相角差φ，稱為系統的相頻特性，表示為∠G（e^jωT）。

離散系統的頻率特性具有以下重要性質：

①G（e^jωT）是ω的周期函數，其周期為采樣角頻率ω_s；

②幅頻特性是ω的偶函數；

③相頻特性∠G（e^jωT）是ω的奇函數；

④若在ω≥ω_s/2頻段內不等于零，即不滿足采樣定理，則G^*（jω）就會出現混疊現象。

根據以上性質，在實際繪制頻率特性時，一般只需繪制0≤ω≤ω_s/2部分的頻率特性就可以了。

利用離散系統的開環頻率特性可以分析離散系統的性能，所用的概念和方法與連續系統中所使用的類似。

5.5　典型微機控制系統及設計應用實例

5.5.1　基于工業控制計算機的微機控制系統

5.5.1.1　系統結構和特點

工業控制計算機（IPC）是在個人計算機（PC）基礎上改進和發展起來的適合工業現場的計算機，簡稱工控機。典型的工業控制計算機結構如圖22-5-19所示，它采用了總線結構形式，整個系統由各種不同的模板組成。

工業控制機是用于工業控制現場的計算機，其應用對象及使用環境的特殊性，決定了工業控制機主要有以下一些特點和要求。

①實時性。實時性是指計算機控制系統能在限定的時間內對外來時間作出反應的能力。

②高可靠性。要求工業控制機具有高質量和很強的抗干擾能力，并且具有較長的平均故障間隔時間。

③硬件配置的可裝配可擴充性。硬件模板功能單一化，模板品種多樣齊全并盡量采用各種OEM（original equipment manufacture）板級產品，使硬件配置有最靈活的裝配性和可擴充性，硬件開發周期降到最小。

④可維護性。工業控制機應有很好的可維護性，這要求系統的結構設計合理，便于維修，系統使用的板級產品一致性好，更換模板后，系統的運行狀態和精度不受影響；軟件和硬件的診斷功能強，在系統出現故障時，能快速準確地定位。

5.5.1.2　工控組態軟件

組態軟件是為微機控制系統監控層級提供軟件平臺和開發環境的專用軟件，能以靈活多樣的組態方式（而不是編程方式）提供良好的用戶開發界面和簡捷的使用方法，其預設置的各種軟件模塊可以容易地實現和完成監控層的各項功能，并能同時支持各種硬件廠家的計算機和I/O設備，與高可靠的工控計算機和網絡系統結合，可向控制層和管理層提供軟、硬件的全部接口，進行系統集成。目前世界上有不少專業廠商（包括專業軟件公司和硬件系統廠商）生產和提供各種組態軟件產品，如：WinCC， Citech， Intouch， MCGS， 力控等。

5.5.2　基于單片機的微機控制系統

所謂單片機（single chip microcomputer），是指在一塊芯片中集成有中央處理器（CPU）、存儲器（RAM和ROM）、基本I/O接口以及定時器/計數器等部件，并具有獨立指令系統的智能器件，即在一塊芯片上實現一臺微型計算機的基本功能。單片機也稱為微型控制器，是專為實時控制而設計制造的芯片，它將微處理器、存儲器、I/O接口、定時器、中斷源、串行通信接口等集成在一塊芯片內，集成度高，工作可靠。這種芯片多采用低功耗高速CMOS工藝。如果是簡單控制對象，只需利用單片機作為控制核心，不需另外增加外部設備就能完成。對于較復雜的系統，只需對單片機進行適當擴展即可，十分方便。

主要單片機類型： MSP430；SPMC75；PIC系列； AT89S51系列等。由于單片機系統小巧玲瓏，控制功能強、體積小，便于嵌入被控設備之內，大大推動了產品的智能化。如數控機床、機器人、智能儀器儀表、洗衣機、電冰箱、電視機等都是典型的機電一體化設備和產品。典型的基于單片機的微機控制系統如圖22-5-20所示。

5.5.3　基于可編程控制器的微機控制系統

可編程控制器（programmable controller，簡稱PC），也可稱之為可編程邏輯控制器（programmable logic controller，簡稱PLC），是一種專為工業環境應用而設計的計算機控制器。它具有可靠性高、編程靈活簡單、易于擴展和價格低廉等許多優點。隨著PLC的發展，它除了具有邏輯運算、邏輯判斷等功能外，還具有數據處理、故障自診斷、PID運算及網絡等功能，不僅能處理開關量，而且還能夠實現模擬量的控制，多臺PLC之間可方便地進行通訊與聯網。目前從單機自動化到工廠自動化，從柔性制造系統、機器人到工業局部網絡都可以見到PLC的成功應用。

PLC的基本結構框圖如圖22-5-21所示。PLC主要組成有：輸入部件；輸出部件；中央處理器（CPU）；存儲器及存儲器擴展；通信接口；智能I/O接口；I/O擴展接口；功能開關與指示燈；編程器。

基于PLC的微機控制系統一般設計步驟見圖22-5-22。