第4章　低周疲勞強度設(shè)計方法

4.1　材料低周疲勞性能

低周疲勞指的是在較高的循環(huán)應(yīng)力水平作用下，壽命在10²～10⁵次循環(huán)范圍內(nèi)的疲勞失效現(xiàn)象。低周疲勞過程中，應(yīng)力水平較高，其峰值應(yīng)力常高于材料的彈性極限，有明顯的宏觀塑性變形，故低周疲勞又稱為應(yīng)變疲勞。

低周疲勞中的S-N曲線，常以ε-N曲線形式給出。在ε-N曲線中，N可以是應(yīng)力或應(yīng)變循環(huán)數(shù)，也可以是應(yīng)力或應(yīng)變“變程”數(shù)，在恒幅載荷中，變程數(shù)為循環(huán)數(shù)的兩倍，所以有些資料中的壽命坐標用“2N”作為計量單位。

圖28-4-1～圖28-4-17是機械和航空行業(yè)中幾種常用材料的應(yīng)變-壽命曲線。

4.2　循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

4.2.1　滯回線

試樣經(jīng)過一次拉伸試驗得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線為圖28-4-18（a）所示的曲線OA。若用相同的試樣作壓縮試驗，則應(yīng)力-應(yīng)變曲線為OB。曲線BOA表示材料一次加載的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，稱為單調(diào)應(yīng)力-應(yīng)變（σ-ε）曲線。一般僅考慮OA段曲線。

將試樣先拉伸，應(yīng)力-應(yīng)變曲線由O點到A點；然后進行壓縮，應(yīng)力-應(yīng)變曲線由A點到B點；再進行拉伸，應(yīng)力-應(yīng)變曲線由B點回到A點，完成一個循環(huán)，如圖28-4-18（b）所示。這種應(yīng)力-應(yīng)變循環(huán)曲線稱為滯回線。滯回線不僅表示了應(yīng)力、應(yīng)變的循環(huán)變化，還反映了每個循環(huán)中塑性應(yīng)變的大小。

材料在低周疲勞過程中，其應(yīng)力應(yīng)變行為可用滯回線表征，如圖28-4-19所示。每一應(yīng)力產(chǎn)生的總應(yīng)變?yōu)?/p>

Δε=Δε_e+Δε_p

式中　Δε_e——彈性應(yīng)變幅；

Δε_p ——塑性應(yīng)變幅。

從材料應(yīng)力-應(yīng)變行為看，高、低周疲勞的區(qū)別主要決定于Δε_e和Δε_p的相對比例。在低周疲勞時Δε_p起主導作用；而在高周疲勞范圍內(nèi)，Δε_e起主導作用。

4.2.2　循環(huán)硬化與循環(huán)軟化

金屬材料在低周疲勞初期，由于循環(huán)應(yīng)力的作用，會出現(xiàn)循環(huán)硬化和軟化現(xiàn)象。當控制應(yīng)變恒定進行低周疲勞試驗時，會發(fā)現(xiàn)其應(yīng)力隨循環(huán)次數(shù)而變化的現(xiàn)象。一種是應(yīng)力隨循環(huán)次數(shù)的增加而增加，然后達到穩(wěn)定狀態(tài)；另一種是應(yīng)力隨著循環(huán)次數(shù)的增加而減小，然后達到穩(wěn)定狀態(tài)。這種現(xiàn)象稱為循環(huán)硬化和循環(huán)軟化。控制應(yīng)力恒定進行疲勞試驗時，應(yīng)變也會發(fā)生類似的變化。

對于循環(huán)硬化材料，其應(yīng)變抗力隨著循環(huán)數(shù)的增加而增大。因此，在恒應(yīng)變幅度下，材料在每一循環(huán)中所需施加的應(yīng)力將隨循環(huán)數(shù)的增加而逐漸增大；或在恒應(yīng)力幅度下，材料在每一循環(huán)中產(chǎn)生的應(yīng)變量隨循環(huán)數(shù)的增加而變小。

對于循環(huán)軟化的材料，其應(yīng)變抗力隨著循環(huán)數(shù)的增加而變小。因此，在恒應(yīng)變幅度下，材料在每一循環(huán)中所需的應(yīng)力將隨循環(huán)數(shù)的增加而逐漸變小；或在恒應(yīng)力幅度下，材料在每一循環(huán)中的應(yīng)變量隨循環(huán)數(shù)的增加而變大。

材料在循環(huán)應(yīng)力作用下將發(fā)生循環(huán)硬化還是循環(huán)軟化，基本上由材料的屈強比R_eL/R_m而定。屈強比小于0.7時，材料多產(chǎn)生循環(huán)硬化；屈強比大于0.8時，材料多產(chǎn)生循環(huán)軟化。所以，一般的退火材料產(chǎn)生循環(huán)硬化，冷加工的材料產(chǎn)生循環(huán)軟化。

4.2.3　循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

無論是循環(huán)硬化材料或循環(huán)軟化材料，雖然在試驗開始階段所得的應(yīng)力-應(yīng)變滯回線并不閉合，但經(jīng)過一定次數(shù)的循環(huán)后，滯回線接近于封閉環(huán)，即可得到穩(wěn)定的滯回線。把應(yīng)變幅控制在不同的水平上，可以得到一系列大小不同的穩(wěn)定的滯回線，將這些滯回線的頂點連接起來，便得到如圖28-4-20所示的曲線OC，這曲線稱為該金屬材料的循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變（σ-ε）曲線。

根據(jù)圖28-4-20循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的作圖法可知，曲線上的任一點實際上是一個滯回線的頂點，其坐標為該滯回線的應(yīng)力幅σ_a和應(yīng)變幅ε_a。因此，循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以用下式擬合，即

　　（28-4-1）

或?qū)懗煞鹊男问剑☉?yīng)力幅度Δσ=2σ_a，應(yīng)變幅度Δε=2ε_a），即

　　（28-4-2）

式中　ε_e——應(yīng)變幅的彈性分量；

ε_p——應(yīng)變幅的塑性分量；

ε_a——總應(yīng)變幅；

K'——循環(huán)強度系數(shù)；

n'——循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)。

圖28-4-21～圖28-4-37給出機械和航空行業(yè)中幾種常用材料的循環(huán)穩(wěn)定與單調(diào)拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

4.3　應(yīng)變-壽命曲線

4.3.1　應(yīng)變-壽命方程

準備一組材料和尺寸完全相同的試樣在疲勞試驗機上進行疲勞壽命試驗，對每個試樣施加不同的載荷，試樣將產(chǎn)生不同的應(yīng)變，疲勞循環(huán)次數(shù)由計數(shù)器自動記錄，這樣就得到一組應(yīng)變和壽命循環(huán)數(shù)的記錄數(shù)據(jù)。由于試驗時控制總應(yīng)變幅常常比較方便，所以得到的數(shù)據(jù)，一般是總應(yīng)變幅與壽命循環(huán)數(shù)。圖28-4-1～圖28-4-17就是對不同材料得出的總應(yīng)變幅ε_a（Δε /2）與壽命循環(huán)數(shù)N的曲線，即ε-N曲線。

每一個總應(yīng)變幅可分為彈性應(yīng)變分量和塑性應(yīng)變分量（圖28-4-38）。假設(shè)在總應(yīng)變幅為0.6%時的疲勞壽命為10⁴次循環(huán)。根據(jù)實測可知，總應(yīng)變幅中三分之一為塑性應(yīng)變幅，其余三分之二，即0.4%為彈性應(yīng)變幅。反之，對同一種材料，只要循環(huán)彈性應(yīng)變幅等于0.4%，其壽命將是10⁴次循環(huán)。同樣，只要知道塑性應(yīng)變幅為0.2%，也可以推斷它的壽命為10⁴次循環(huán)。

指定一個彈性應(yīng)變幅或塑性應(yīng)變幅，就可以得到壽命循環(huán)數(shù)N。因此，在同一張總應(yīng)變幅-壽命曲線圖上，可以畫出彈性應(yīng)變-壽命曲線和塑性應(yīng)變-壽命曲線。在雙對數(shù)坐標圖上，彈性應(yīng)變-壽命曲線和塑性應(yīng)變-壽命曲線都是一條近似直線，如圖28-4-39所示。這兩直線的交點P，稱為過渡壽命點；P點在橫軸上的坐標N_T，稱為過渡壽命，它是一試驗常數(shù)。交點P表示低周疲勞與高周疲勞的分界點：在P點的右側(cè)，彈性應(yīng)變起主導作用，在P點的左側(cè)，塑性應(yīng)變起主導作用。或者說，P點的右側(cè)為高周疲勞區(qū)，P點的左側(cè)為低周疲勞區(qū)。當提高材料強度時，P點左移，提高材料韌性時，P點右移。

圖28-4-39中塑性應(yīng)變-壽命曲線1的方程，可以用冪指數(shù)函數(shù)形式表示為

Δε_p N^β=C₁　　（28-4-3）

彈性應(yīng)變幅度Δε_e和塑性應(yīng)變幅度Δε_p還可以寫成一般常用的形式，即

式中　σ'_f——疲勞強度系數(shù)；

σ'_f/E——循環(huán)數(shù)處直線2的縱坐標截距；

b——疲勞強度指數(shù)，直線的斜率；

E——材料的彈性模量；

ε'_f——疲勞塑性系數(shù)，處直線1的縱坐標截距；

c——疲勞塑性指數(shù)。

總應(yīng)變幅-壽命曲線3的數(shù)學表達式為

　　（28-4-4）

這里N為反向次數(shù)，“2N”在恒幅循環(huán)載荷中為循環(huán)次數(shù)。式（28-4-4）稱為曼森-科芬方程。

式（28-4-2）和式（28-4-4）中的6個參數(shù)：K'、n'、b、c、ε'_f和σ'_f，是表征低周疲勞特性的主要參數(shù)。機械設(shè)計中幾種常用鋼材的參數(shù)見表28-4-1和表28-4-2。

4.3.2　四點法求應(yīng)變-壽命曲線

曼森指出，確定Δε_e -N和Δε_p-N兩條直線只要四個點。這四個點可以由單調(diào)拉伸試驗數(shù)據(jù)獲得，而不用去做疲勞試驗。如圖28-4-40所示，該四個點分別為：

P₁——對應(yīng)于1/4次循環(huán)（即一次拉伸至破壞）的應(yīng)變幅度的彈性分量

Δε_e=2.5（σ_f/E）　　（28-4-5）

P₂——對應(yīng)于10⁵次循環(huán)的應(yīng)變幅度的彈性分量

Δε_e=0.90（R_m/E）　　（28-4-6）

連接P₁和P₂點，得圖28-4-40中的曲線2，即Δε_e-N曲線。這里Δε_e為彈性應(yīng)變幅度；N為破斷循環(huán)數(shù)；σ_f為單調(diào)拉斷時的真實應(yīng)力；R_m為強度極限。

P₃——對應(yīng)于10次循環(huán)的應(yīng)變幅度的塑性分量

　　（28-4-7）

P₄——對應(yīng)于10⁴次循環(huán)的應(yīng)變幅度的塑性分量

　　（28-4-8）

連接P₃和P₄點，得圖28-4-40中的曲線1，即Δε_p-N曲線。這里為曲線2上N=10⁴所對應(yīng)的彈性應(yīng)變幅度； ε_f為單調(diào)拉斷時的真實應(yīng)變，用截面收縮率A（以%計）近似求得

　　（28-4-9）

用四點法求材料的應(yīng)變-壽命曲線，適合于碳鋼、合金鋼、鋁、鈦等金屬材料。

4.3.3　通用斜率法

曼森對29種材料的疲勞試驗結(jié)果進行了整理歸納，在雙對數(shù)坐標平面上得出（參見圖28-4-40）塑性應(yīng)變-壽命直線1的斜率為-0.6，彈性應(yīng)變-壽命直線2的斜率為-0.12，從而得到下面的關(guān)系式，即

　　（28-4-10）

由于斜率是根據(jù)29種材料歸納出來的，即這個斜率對多種材料通用，故本法稱為通用斜率法。

4.4　低周疲勞的壽命估算

估算低周疲勞壽命常用兩種方法：①類似常規(guī)疲勞設(shè)計方法，即用ε-N曲線直接推算出壽命；②用局部應(yīng)力-應(yīng)變法估算裂紋形成壽命。

4.4.1　直接法

用應(yīng)變-壽命（ε-N）曲線直接推算出壽命時，關(guān)鍵是獲得材料的ε-N曲線。這可以通過疲勞試驗獲得，如圖28-4-1～圖28-4-17所示；或用四點法求得彈性應(yīng)變幅度-壽命（Δε_e-N）曲線和塑性應(yīng)變幅度-壽命（Δε_p-N）曲線（見圖28-4-40），然后將彈性應(yīng)變幅度與塑性應(yīng)變幅度相加得總應(yīng)變幅度，得出總應(yīng)變幅度-壽命曲線。當應(yīng)變比r=-1時，得ε_a-N曲線。

在實際計算中，一般可按彈性理論求應(yīng)力幅σ_a，然后假設(shè)以σ_a為理論彈性應(yīng)力幅，近似用公式計算ε_a，最后用ε_a-N曲線直接推算出疲勞壽命。

當給出材料低周疲勞的應(yīng)力-壽命（σ_a-N）曲線時，也可以用彈性理論求得的σ_a，直接從σ_a-N曲線推算出疲勞壽命。

上述的壽命估算方法，是以用材料力學或彈性理論的方法來計算零件和構(gòu)件危險點的名義應(yīng)力為出發(fā)點的，故稱這種方法為名義應(yīng)力法。而低周疲勞的應(yīng)力-壽命曲線中的σ_a，是真實應(yīng)力幅，應(yīng)變-壽命曲線中的ε_a是真實應(yīng)變幅，所以名義應(yīng)力法在低周疲勞壽命估算中，誤差很大，只能用于粗略的壽命估算。對于較重要設(shè)備的壽命估算，建議用4.4.2節(jié)的局部應(yīng)力-應(yīng)變法估算疲勞壽命。

表28-4-3和表28-4-4是國產(chǎn)常用的機械材料和航空材料的單調(diào)與循環(huán)應(yīng)變特性數(shù)據(jù)，供壽命估算中應(yīng)用。

4.4.2　裂紋形成壽命估算方法

常規(guī)疲勞設(shè)計是以名義應(yīng)力為基本設(shè)計參數(shù)，根據(jù)名義應(yīng)力進行抗疲勞設(shè)計。而實際上決定零構(gòu)件疲勞強度和壽命的是應(yīng)變集中（或應(yīng)力集中）處的最大局部應(yīng)力和應(yīng)變。因此，在低周疲勞研究和應(yīng)變分析研究成果基礎(chǔ)上，建立了不同于常規(guī)疲勞設(shè)計的新的疲勞壽命估算方法——局部應(yīng)力應(yīng)變法。

它的設(shè)計思路是，零構(gòu)件的疲勞破壞都是從應(yīng)變集中部位的最大應(yīng)變處起始，并且在裂紋萌生以前都要產(chǎn)生一定的局部塑性變形，局部塑性變形是疲勞裂紋萌生和擴展的先決條件。因此，決定零構(gòu)件疲勞強度和壽命的是應(yīng)變集中處的最大局部應(yīng)力應(yīng)變，只要最大局部應(yīng)力應(yīng)變相同，疲勞壽命就相同。因而有應(yīng)力集中的零構(gòu)件的疲勞壽命，可以使用局部應(yīng)力應(yīng)變相同的光滑試樣的應(yīng)變-壽命曲線進行計算，也可使用局部應(yīng)力應(yīng)變相同的光滑試樣進行疲勞試驗來模擬。

該方法有以下優(yōu)點：

①應(yīng)變是可以測量的，而且已被證明是一個與低周疲勞相關(guān)的極好參數(shù)，根據(jù)應(yīng)變分析的方法，可將高、低周疲勞壽命的估算方法統(tǒng)一起來。

②使用這種方法時，只需知道應(yīng)變集中部位的局部應(yīng)力應(yīng)變和基本的材料疲勞性能數(shù)據(jù)，就可以估算零件的裂紋形成壽命，避免了大量的結(jié)構(gòu)疲勞試驗。

③這種方法可以考慮載荷順序?qū)?yīng)力應(yīng)變的影響，特別適用于隨機載荷下的壽命估算。

④這種方法易于與計數(shù)法結(jié)合起來，可以利用計算機進行復雜的計算。

盡管局部應(yīng)力應(yīng)變法有許多優(yōu)點，但并不能取代名義應(yīng)力法。因為：

①這種方法只能用于有限壽命下的壽命估算，而不能用于無限壽命，當然也無法代替常規(guī)的無限壽命設(shè)計法。

②這種方法目前還不夠完善，未考慮尺寸因素和表面情況的影響，對高周疲勞有較大誤差。

③這種方法目前主要限于對單個零件進行分析，對于復雜的連接件，難以進行精確的應(yīng)力應(yīng)變分析，難以使用。

還應(yīng)指出，用名義應(yīng)力有限壽命設(shè)計法估算出的是零件總壽命，而局部應(yīng)力應(yīng)變法估算出的是裂紋形成壽命。這種方法常與斷裂力學方法聯(lián)合使用，用這種方法估算出裂紋形成壽命以后，再用斷裂力學方法估算出裂紋擴展壽命，兩階段壽命之和即為零件的總壽命。

4.4.2.1　局部應(yīng)力-應(yīng)變分析

（1）真實應(yīng)力與真實應(yīng)變

工程上常用材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線［圖28-4-41（a）］是由拉伸試驗確定的，其名義應(yīng)力s等于載荷F除以原始截面面積 A₀，其名義應(yīng)變e為伸長量ΔL除以原始長度L₀（標距長度）［圖28-4-41（b）］。即

　　（28-4-11）

由于在拉伸過程中，試樣的截面面積是變化的，直到拉斷，則真實應(yīng)力σ為

σ=F/A　　（28-4-12）

式中　A——頸縮處的橫截面面積。

當試樣拉伸至L長時，假設(shè)試樣長度有一微小增量dL，則此時的應(yīng)變增量為

上式由L₀～L積分，得真實應(yīng)變?yōu)?/p>

　　（28-4-13）

真實應(yīng)力、應(yīng)變與名義應(yīng)力、應(yīng)變的關(guān)系為

σ=s（1+e）　　（28-4-14）

ε=ln（1+e）　　（28-4-15）

真實應(yīng)變反映了物體變形的實際情況，也稱為自然應(yīng)變或?qū)?shù)應(yīng)變；名義應(yīng)變也稱為工程應(yīng)變。在大應(yīng)變問題中，只有用真實應(yīng)變才能得出合理的結(jié)果。

（2）瑪辛特性

改變應(yīng)力水平，可以得到不同應(yīng)力水平下的滯回線（參見圖28-4-20）。圖28-4-42（a）為不同應(yīng)力水平下的滯回線ADA、BEB、CFC，將坐標軸平移，使原點與各滯回線的最低點相重合，若滯回線的最高點的連線與其上行段跡線相吻合［見圖28-4-42（b）］，則該材料具有瑪辛特性，稱為瑪辛材料。

將材料的循環(huán)σ-ε曲線畫于圖28-4-42（b）上，可以看出，滯回線上行段跡線的縱坐標為循環(huán)σ-ε曲線的縱坐標的兩倍。

（3）材料的記憶特性

圖28-4-43（a）表示載荷-時間歷程，圖28-4-43（b）表示材料在該載荷-時間歷程中的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)。加載時由1到2，相應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)由A到B；由2到3加反向載荷時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線由B到C；再由3到2'加載時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線由C到B'，B'和B重合。此后繼續(xù)加載，則應(yīng)力-應(yīng)變曲線并不沿CB'曲線的延長線（圖中虛線所示），而且急劇轉(zhuǎn)彎沿原先AB曲線的延長線，似乎材料“記憶”了原先的路徑，這就是材料的記憶特性。

（4）載荷順序效應(yīng)

缺口零件在拉伸載荷作用下，缺口根部應(yīng)力集中處材料發(fā)生屈服。卸載后因處于彈性狀態(tài)的材料要恢復原來的狀態(tài)，而已塑性變形的材料阻止這種恢復行為，故兩者相互擠壓，使缺口根部產(chǎn)生殘余壓應(yīng)力。如大載荷環(huán)后面緊接著出現(xiàn)小載荷環(huán)，則該小載荷環(huán)引起的應(yīng)力將疊加在這個殘余應(yīng)力之上，因此該小載荷環(huán)造成的損傷受到前面大載荷環(huán)的影響，而且這種影響往往是很大的。圖28-4-44所示的兩種載荷-時間歷程，除第一載荷環(huán)以外，兩者都相同，只是第一個大載荷環(huán)的過載方向不同。圖28-4-44（a）所示的大載荷環(huán)以壓縮載荷結(jié)束，應(yīng)力集中處產(chǎn)生殘余拉應(yīng)力（+σ_m）。圖28-4-44（b）所示的大載荷環(huán)以拉伸載荷結(jié)束，應(yīng)力集中處產(chǎn)生殘余壓應(yīng)力（-σ_m）。由于兩種載荷-時間歷程所產(chǎn)生的殘余應(yīng)力不同，所以滯回線的形狀不同，即載荷順序?qū)植繎?yīng)力-應(yīng)變是有影響的。

（5）滯回線方程

局部應(yīng)力-應(yīng)變法認為，在疲勞強度問題中，材料的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)由循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線確定。材料的滯回線形狀是通過循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線來描述的。因此，循環(huán)σ-ε 曲線在局部應(yīng)力-應(yīng)變法中具有特殊重要的位置。由式（28-4-2）給出循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線用幅度表達的方程式

對于具有瑪辛特性的材料，若使坐標原點與各應(yīng)力水平下的滯回線最低點相重合，則滯回線的最高點的連線，與其上行段跡線相吻合［圖28-4-42（b）］。許多試驗表明，多數(shù)金屬材料的滯回線，可以用放大一倍后的循環(huán)σ-ε曲線來近似描述。這樣，就可得出下面的滯回線方程式，即

加載時

　　（28-4-16）

卸載時

　　（28-4-17）

式中　ε_r、σ_r——滯回線頂點的坐標。

（6）諾伯法

確定局部應(yīng)力-應(yīng)變的方法有：電阻應(yīng)變計測定法、光彈性法、脆性涂層法和云紋法等實驗方法，以及用有限元法求數(shù)值解。彈塑性有限元法是計算局部應(yīng)力-應(yīng)變的較精確的方法，但由于計算工作量大，工程上傾向于采用簡單的近似方法。例如諾伯法、線性應(yīng)變法、修正的斯托威爾法和莫爾斯基等效能量法。其中，應(yīng)用最多的是諾伯法。

諾伯提出的在彈塑性狀態(tài)下的通用公式

　　（28-4-18）

式中　α_σ——理論應(yīng)力集中系數(shù)；

——真實應(yīng)力集中系數(shù)，

——真實應(yīng)變集中系數(shù)，

s——缺口件的名義應(yīng)力；

e——缺口件的名義應(yīng)變；

σ——缺口件的真實應(yīng)力；

ε——缺口件的真實應(yīng)變。

通過式（28-4-18），就可以簡單地把局部應(yīng)力-應(yīng)變與名義應(yīng)力-應(yīng)變聯(lián)系起來。式（28-4-18）可寫成下面形式，即

一般情況下，名義應(yīng)力和名義應(yīng)變均在彈性范圍內(nèi)，即有s =Ee。故有

　　（28-4-19）

當名義應(yīng)力確定以后，σε=（α_σs）²/E是個常數(shù)，稱為諾伯常數(shù)。于是式（28-4-19）可以寫成σε=C。這是一個雙曲線方程，也稱為諾伯雙曲線。

如果已知α_σ、s和E，再結(jié)合材料的σ-ε曲線，就可以算出相應(yīng)的局部應(yīng)力和應(yīng)變，如圖28-4-45所示。將式（28-4-19）改寫成幅度形式

　　（28-4-20）

根據(jù)所給的載荷譜，名義應(yīng)力幅度Δs是知道的，聯(lián)立解式（28-4-2）和式（28-4-20），就可以求出Δσ和Δε，加上坐標原點的應(yīng)力和應(yīng)變值，就是該點的局部真實應(yīng)力和真實應(yīng)變值。

例如，圖28-4-45（a）是用名義應(yīng)力表示的加載歷程，圖28-4-45（b）表示用諾伯法得到的零件危險點的局部應(yīng)力-應(yīng)變的情況。具體確定方法如下。

1）B點的確定。以A點作為坐標原點，畫出循環(huán)σ-ε曲線，并用AB間的名義應(yīng)力幅度Δs₁畫出Δσ·Δε=（α_σ Δs₁）²/E雙曲線，這兩條曲線的交點B的縱坐標和橫坐標，就是加載到B點時的局部應(yīng)力和局部應(yīng)變值。

2）C點的確定。以B點作為坐標原點，向下畫出滯回線（兩倍于循環(huán)σ-ε曲線），并用BC間的名義應(yīng)力幅度Δs₂畫出Δσ·Δε=（α_σΔs₂）²/E雙曲線，這兩條曲線的交點C的縱坐標和橫坐標，即為從B 點到C點的局部應(yīng)力和應(yīng)變幅度，在卸載時為負。加上B點的局部應(yīng)力和應(yīng)變值后，就得到加載到C點時的局部應(yīng)力和應(yīng)變值。

3）D點的確定。從C點加載超過B點時要考慮“記憶特性”，即從C點到D點可以看作從A點直接加載到D點，故要以A點為坐標原點畫出循環(huán)σ-ε曲線，并畫出Δσ·Δε=（α_σΔs₃）²/E雙曲線，兩條曲線的交點D的縱坐標和橫坐標，即為加載到D點時的局部應(yīng)力和應(yīng)變值。

4）E點的確定。以D點作為坐標原點，向下畫出滯回線，并畫出Δσ·Δε=（α_σΔs₄）²/E雙曲線，由這兩條曲線的交點E的縱坐標和橫坐標，得到從D點到E點的局部應(yīng)力和應(yīng)變幅度，在卸載時為負。加上D點的局部應(yīng)力和應(yīng)變值后，就得到加載到E點時的局部應(yīng)力和應(yīng)變值。

按這個步驟對名義應(yīng)力譜編制程序，在計算機上進行計算。

諾伯公式高估了局部應(yīng)力和應(yīng)變。因此，把公式中的理論應(yīng)力集中系數(shù)α_σ改為有效應(yīng)力集中系數(shù)K_σ，得諾伯修正公式

　　（28-4-21）

4.4.2.2　裂紋形成壽命估算方法

局部應(yīng)力-應(yīng)變法計算損傷的出發(fā)點是應(yīng)變-壽命關(guān)系式（28-4-4），即

或分開寫成

　　（28-4-22）

　　（28-4-23）

ε-N曲線是在對稱循環(huán)條件下得出的。對于復雜載荷-時間歷程作用下的疲勞問題，平均應(yīng)力的存在是不可避免的，需要對上式進行修正。

當材料處于彈性范圍時，平均應(yīng)力對疲勞壽命的影響很大。而當材料出現(xiàn)塑性變形后，由于平均應(yīng)力的松弛效應(yīng)，其影響就大大減弱了。所以通常只對ε-N曲線的彈性部分，即式（28-4-22）予以修正，一般應(yīng)用的修正公式為

　　（28-4-24）

式中　σ_a——應(yīng)力幅；

σ_m——平均應(yīng)力；

σ_r——等效應(yīng)力幅。

修正后的應(yīng)變-壽命關(guān)系為

　　（28-4-25）

　　（28-4-26）

根據(jù)上述的壽命關(guān)系式，即式（28-4-21）、式（28-4-22）和式（28-4-25），采用不同的損傷參量，可以得到不同的損傷公式。局部應(yīng)力-應(yīng)變法中常用的損傷公式有以下幾種：

1）蘭德格拉夫損傷公式。R.W.蘭德格拉夫認為，損傷由Δε_p與Δε_e的比值來控制。由式（28-4-21）和式（28-4-22）可推導出每個局部應(yīng)變?yōu)棣?i>ε（=Δε_p+Δε_e）的應(yīng)變循環(huán)造成的損傷為

　　（28-4-27）

計入平均應(yīng)力的影響，修正后的損傷公式為

　　（28-4-28）

2）道林損傷公式。N.E.道林等認為，以過渡疲勞壽命N_T為界，當ε_p>ε_e時，應(yīng)該以塑性應(yīng)變分量為損傷參量，此時損傷公式為

　　（28-4-29）

當ε_p<ε_e時，應(yīng)該以彈性應(yīng)變分量為損傷參量，損傷公式為

　　（28-4-30）

若考慮平均應(yīng)力的影響進行修正，則有

　　（28-4-31）

3）史密斯損傷公式。K.N.史密斯等為反映平均應(yīng)力的影響，對試驗結(jié)果進行分析，提出用σ_maxΔε來計算損傷，并推導出損傷公式

　　（28-4-32）

該方程要用數(shù)值方法求解。

根據(jù)不同的Δε_p/Δε_e比值，選用相應(yīng)的損傷計算式。

用局部應(yīng)力-應(yīng)變法估算裂紋形成壽命的步驟如下：

①把載荷譜、材料性能常數(shù)和應(yīng)力集中系數(shù)作為輸入計算機的信息。

②對載荷-時間歷程進行循環(huán)計數(shù)。

③根據(jù)載荷-時間歷程確定名義應(yīng)力和應(yīng)變-時間歷程。

④根據(jù)選定的損傷公式，按循環(huán)計數(shù)的結(jié)果計算每一個載荷循環(huán)造成的損傷。

⑤對損傷進行累積計算，即根據(jù)累積損傷公式算出裂紋形成壽命。

4.4.2.3　設(shè)計實例

在本例中，采用雨流法計數(shù)，用諾伯公式進行局部σ-ε分析，用道林公式計算損傷。具體步驟如下。

首先將載荷-時間歷程轉(zhuǎn)化為計算點上的名義應(yīng)力-時間歷程［見圖28-4-46（a）］，并進行雨流計數(shù)，得到1-4-7、2-3-2'和5-6-5' 三個循環(huán)。然后根據(jù)材料的σ-ε曲線（滯回線）和零件的有效應(yīng)力集中系數(shù)K_σ，用諾伯法確定局部應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)。

循環(huán)σ-ε曲線的方程為

　　（a）

根據(jù)倍增原理，上升段的滯回線方程為

　　（b）

下降段的滯回線方程為

　　（c）

式中　σ、ε——局部應(yīng)力、應(yīng)變的流動值；

σ_r、ε_r——前一峰值點的局部應(yīng)力、應(yīng)變值。

本例的材料是汽車用熱軋低碳鋼，其化學成分為：w（C）=0.23%；w（Mn）=1.57%；w（P）=0.016%；w（S）=0.022%；w（Si）=0.01%；w（Cu）=0.22%。其強度極限σ_b=540～565MPa，屈服強度σ_s=315～325MPa，截面縮減率ψ=64%～69%，彈性模量E=192GPa，n'=0.193，K'=1125.9MPa。

應(yīng)用諾伯公式（28-4-21）：

　　（d）

根據(jù)所計算的危險點處的幾何形狀和材料，查應(yīng)力集中系數(shù)圖得K_σ =2.60。

根據(jù)圖28-4-46（a）所示的名義應(yīng)力-時間歷程，即可逐個反復地進行局部應(yīng)力-應(yīng)變分析。

1） 從0-1加載時，由于是從零開始，循環(huán)σ-ε方程用式（28-4-1）

　　（e）

再與諾伯公式（d）聯(lián)立求解。將E =192GPa、K'=1125.9MPa、n' =0.193、K_σ =2.60代入，有

此時，Δs₀₁=395.5MPa，于是Δσ·Δε=5.5。解聯(lián)立方程得

Δσ=458.3MPa，Δε=0.012

即1點的局部應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?/p>

σ=458.3MPa，ε=0.012

2）從1-2卸載時，根據(jù)卸載滯回線計算。將有關(guān)數(shù)據(jù)代入式（a）和式（d），有

此時，Δs₁₂=699.0MPa，于是Δσ·Δε=17.2。解聯(lián)立方程得

Δσ=870MPa，Δε=0 .0198

2點的局部應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?/p>

σ=458.3-870=-411.7MPa，

ε=0.012-0.0198=-0.0078

3）從2-3加載時，根據(jù)加載滯回線計算

此時，Δs₂₃=521.1MPa，于是Δσ·Δε=9.56。解聯(lián)立方程得

Δσ=780MPa，Δε=0.0122

3點的局部應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?/p>

σ=-411.7+780=368.3MPa，

ε=-0.0078+0.0122=0.0044

4）在3-4的卸載過程中，由于從3卸載到2'時，形成了一個封閉的應(yīng)力-應(yīng)變滯回線，所以根據(jù)材料的記憶特性，計算4點的應(yīng)力和應(yīng)變時，應(yīng)根據(jù)從1點出發(fā)的滯回線，并取應(yīng)力幅度Δs₁₄進行計算

此時，Δs₁₄=790.7MPa，于是Δσ·Δε=22.0。解聯(lián)立方程得

Δσ=910MPa，Δε=0.024

4點的局部應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?/p>

σ=458.3-910=-451.7MPa，

ε=0.012-0.024=-0.012

5）從4-5加載時，根據(jù)加載滯回線計算

此時，Δs₄₅=434.1MPa，于是Δσ·Δε=6.6。解聯(lián)立方程得

Δσ=721MPa，Δε=0.0092

5點的局部應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?/p>

σ=-451.7+721=269.3MPa，

ε=-0.012+0.0092=-0.0024

6）從5-6卸載時，根據(jù)卸載滯回線計算

此時，Δs₅₆=239.9MPa，得Δσ·Δε=2.0。解聯(lián)立方程得

Δσ=520MPa，Δε=0.0038

6點的局部應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?/p>

σ=258.3-520=-261.7MPa，

ε=-0.0026-0.0038=-0.0064

7）從6-7加載時，根據(jù)圖28-4-46（b），7點的應(yīng)力和應(yīng)變值與1點相同。得局部應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?/p>

σ=458.3MPa，ε=0.012

有了局部應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)，就可以進行損傷計算。損傷是根據(jù)每一應(yīng)力-應(yīng)變循環(huán)的幅值和均值，用道林公式計算的。現(xiàn)將上面分析得到的三個應(yīng)力-應(yīng)變循環(huán)2-3-2'、5-6-5' 和1-4-7中的應(yīng)力幅值σ_a、應(yīng)變幅值ε_a、平均應(yīng)力σ_m、平均應(yīng)變ε_m及彈性應(yīng)變分量ε_e、塑性應(yīng)變分量ε_p列入表28-4-5。

下面進行損傷計算，即

對于2-3-2'循環(huán)，由于ε_p>ε_e，故用ε_p計算損傷。由式（28-4-29）有

本例中，ε'_f=0.26，c=-0.47，所以

對于5-6-5' 循環(huán)，由于ε_e >ε_p，故用ε_e計算損傷。式（28-4-31）中的Eε_e以總應(yīng)力幅σ_a代替，有

本例中，σ'_f=935.9MPa，b=-0.095，σ_m=3.8MPa，σ_a=265.5MPa，ε_e =0.0014，E =192GPa。于是

對于1-4-7循環(huán)，由于ε_p>ε_e，故用ε_p計算損傷

根據(jù)邁因納定律求疲勞累積損傷，得

所以疲勞破壞時載荷循環(huán)塊數(shù)（即載荷-時間歷程1-7的反向次數(shù)）B為

若每個載荷塊經(jīng)歷的時間為h₀，則零件的疲勞壽命為

h =Bh₀

上述計算均可由計算機完成。

局部應(yīng)力-應(yīng)變法是在應(yīng)變分析和低周疲勞基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種疲勞壽命估算方法。因此它特別適用于低周疲勞。將其應(yīng)用于高周疲勞時，由于它沒有考慮高周疲勞中表面狀態(tài)和尺寸的影響因素，因此計算結(jié)果誤差大，需采用修正的方法以減小誤差。