第3章　高周疲勞強度設計方法

試樣和零件在高于10⁴～10⁵次載荷循環而產生的疲勞，稱為高周疲勞。對于高周疲勞通常采用常規疲勞強度設計方法。

常規疲勞強度設計是以名義應力為基本設計參數的抗疲勞設計方法，也稱名義應力法。它是假設零構件沒有初始裂紋，應用標準試樣試驗得到的疲勞極限、S-N曲線及疲勞極限圖等，再考慮零構件由于尺寸、表面狀態及幾何形狀引起的應力集中等影響因素而進行的疲勞強度設計。把S-N曲線用雙對數坐標表示時，是由兩根直線組成的折線。按水平線部分進行設計稱無限壽命設計；按斜線部分進行設計稱有限壽命設計。

無限壽命設計要求零構件在無限長的使用期間內不發生疲勞破壞。因此要將零構件的工作應力限制在它的疲勞極限以下，得到的零構件的壽命在理論上是無限的。用這種準則進行設計常造成零構件結構尺寸大，過于笨重。但對于長時間運轉的零構件，仍是一個較好的設計準則。

有限壽命設計，也稱安全壽命設計。它保證機器在一定使用期限內安全運行，所以它允許零構件的工作應力超過其疲勞極限。其基本依據是材料或零構件的S-N曲線的斜線部分。計算的重點是零構件的裂紋形成壽命。這種設計準則能充分利用材料的承載能力，減小零構件的截面尺寸，減輕重量。對于如飛機、汽車等要求減輕重量、更新速度快的產品有重要意義。

對于有限壽命設計來說，疲勞損傷累積理論是其重要依據。而對于無限壽命設計則主要是計算其安全系數。安全系數法的基本思想是：機械結構在承受外載荷后，計算得到的應力應該小于該結構材料的許用應力。

3.1　材料的常規疲勞性能數據

3.1.1　材料疲勞極限

表28-3-1～表28-3-3是一些國產材料的疲勞極限。表28-3-4是常用鋁合金材料的疲勞極限。

當缺乏疲勞極限的試驗數值時，采用經驗公式估算。

（1）對于結構鋼的對稱循環應力的疲勞極限

拉壓　σ_-1l=0.23（R_eL+R_m）

彎曲　σ_-1=0.27（R_eL+R_m）

扭轉　τ_-1=0.15（R_eL+R_m）

（2）對于結構鋼的脈動循環應力的疲勞極限

拉壓　σ_0l=1.42σ_-1

彎曲　σ₀=1.33σ_-1

扭轉　τ₀=1.50τ_-1

（3）對于鑄鐵的疲勞極限

拉壓　σ_-1l=0.4R_m　σ_0l=1.42σ_-1l

彎曲　σ_-1=0.45R_m　σ₀=1.33σ_-1

扭轉　τ_-1=0.36R_m　τ₀=1.35τ_-1

（4）對于球墨鑄鐵的疲勞極限

τ_-1=0.26R_m

（5）對于鋁合金的疲勞極限

σ_-1l=R_m/6+75

σ_-1=R_m/6+75

σ_0l=1.5σ_-1l

（6）對于青銅的彎曲疲勞極限

σ_-1=0.21R_m

3.1.2　材料的S-N曲線

圖28-3-1～圖28-3-47是金屬材料的S-N曲線。鋼材的圖注中，δ表示板材厚度，?表示棒材的直徑。鋁合金尾部字母B表示預拉伸加工硬化；T4表示固溶熱處理后自然時效；T6表示固溶熱處理后人工時效。

熱處理：T6狀態

材料　R_m=538MPa

軸向加載，σ_m=69MPa，137MPa，206MPa

用常規方法作出的S-N曲線，只能代表中值疲勞壽命與應力水平間的關系（即存活率p=50%），要得到各種存活率下的疲勞壽命與應力水平間的關系，則必須用p-S-N曲線。

在利用對數正態分布或威布爾分布求出不同應力水平下的p-N曲線以后，將不同存活率下的數據點分別相連，即可得出一族S-N曲線，其中的每條曲線，分別代表某一不同存活率下的應力-壽命關系。這種以應力為縱坐標，以存活率p的疲勞壽命為橫坐標，所繪出的一族存活率-應力-壽命曲線，稱為p-S-N曲線。

圖28-3-48～圖28-3-67是常用金屬材料的p-S-N曲線。

3.1.3　疲勞安全系數

一般的疲勞強度計算中，許用安全系數推薦用表28-3-5的數值。表28-3-6為初算時的安全系數薦用值。表28-3-7為各類機械零部件的安全系數。

表中所用符號：n_bp=R_m/σ_p；n_sp=R_eL/σ_p；n_-1p=σ_-1/σ_p；n_0p=σ₀/σ_p（其中，R_m——材料的抗拉強度；R_eL——材料的屈服強度；σ_-1——對稱循環疲勞極限；σ₀——脈動循環疲勞極限；下角p為“許用”）。校核零件的疲勞強度，必須使它同時滿足靜強度要求。

3.2　無限壽命設計

3.2.1　單向應力狀態下的無限壽命設計

零部件受單向循環應力，是指只承受單向正應力或單向切應力。例如，只承受單向拉壓循環應力、彎曲循環應力或扭轉循環應力。在單向循環應力下工作的零部件很多，如高爐上料機的鋼絲繩受單向波動拉伸應力，曲柄壓力機的連桿受單向脈動應力。只承受彎曲力矩的心軸，轉動時表面上各點的應力狀態是對稱循環彎曲應力等。

3.2.1.1　計算公式

表28-3-8列出了不同受載情況下單向應力時安全系數的計算公式。

表28-3-8計算公式中的符號含義如下。

n_σ、n_τ ——計算的安全系數；

σ_-1、τ_-1 ——材料在對稱循環下的疲勞極限，彎曲時為σ_-1，拉壓時為σ_-1l，扭轉時為τ_-1；

K_σ、K_τ——彎曲和扭轉時的有效應力集中系數；

ε——尺寸系數；

β——表面系數；

ψ_σ、ψ_τ——不對稱循環系數，一般計算式為ψ_σ=（2σ_-1-σ₀）/σ₀，ψ_τ=（2τ_-1-τ₀）/τ₀；

σ₀、τ₀——彎曲和扭轉時的脈動循環疲勞極限；

σ_i、τ_i ——作用于試樣上的第i個應力水平；

n_i——第i個應力水平σ_i或τ_i作用時的循環數；

σ_max、τ_max——載荷譜中的最大應力；

N₀——無限壽命的最小循環數，即循環基數；

N——總壽命，即整個工作循環數；

m——材料常數，即S-N曲線在對數坐標中的傾斜率的負值，即m=-lgN_i/lgσ_i；

N_i——在應力水平σ_i作用下，材料達到疲勞破壞的循環數；

σ_di、τ_di——第i個當量應力，計算式為

為簡化計算，也可用保守的計算式

一般情況，表28-3-8中變幅循環公式只用于有限壽命設計時單向應力安全系數的計算。無限壽命設計時，可只考慮最大應力。

值得注意的是，表28-3-8中的公式認為有效應力集中系數K_σ（K_τ）、尺寸系數ε和表面系數β三者相互獨立，其對疲勞強度的綜合影響呈線性關系。因其表達式簡單，在工程上得到廣泛應用。但實際上，三者并不是相互獨立的。例如零件的應力集中較大或表面粗糙度較高時，其尺寸效應就會被削弱。此時，可采用如下非線性公式：

或

式中　K_a——綜合影響系數。

3.2.1.2　設計實例

如圖28-3-68所示為軸。載荷F為對稱循環載荷，F=50000MPa，軸材料為45鋼，調質。表面加工方法為精車，校核A—A截面的疲勞強度。

解：1）計算公式。因載荷是等幅對稱循環，故用公式

2）求σ_a。該軸為簡支梁，故A—A截面的應力為

3）求σ_-1。查表28-3-1，材料為45鋼，調質狀態時，σ_-1=388MPa，R_m=710MPa

4）求K_σ。查圖28-2-5，K_σ≈1.7。

5）求ε。查圖28-2-34，當d=60mm，45鋼的ε=0.825

6）求β。表面加工方法為精車，故β=β₁

查圖28-2-35，當R_m=710MPa及精車時β₁=0.92

7）求n_σ

故該軸A—A截面的疲勞強度符合要求。

3.2.2　復雜應力狀態下的無限壽命設計

在復雜應力情況下，把多向應力轉化成單向應力，然后利用上述的單向應力設計方法進行設計。變形能強度理論及最大切應力理論是將多向應力狀態與單向應力狀態聯系起來，比較符合實際的理論。這里根據變形能強度理論，把多向應力轉化成單向當量應力，其計算公式為

當量應力幅

　　（28-3-1）

當量平均應力

　　（28-3-2）

式中　σ_a1、σ_a2、σ_a3——主應力幅；

σ_m1、σ_m2、σ_m3——主應力幅方向的平均應力。

對于二向應力狀態，公式可簡化為

　　（28-3-3）

有了這兩個當量應力后，可以運用單向應力計算公式進行設計。

在二向應力狀態時，最常見的承受彎曲和扭轉復合循環應力作用的傳動軸和曲軸等的設計中，常采用下面的公式計算其安全系數，即

　　（28-3-4）

這里的n_σ和n_τ，就是上述的單向彎曲和單向扭轉狀態下的安全系數（參見表28-3-8）。

3.2.3　連接件的疲勞壽命估算——應力嚴重系數法

應力嚴重系數法也是一種名義應力法，但它不用結構的S-N曲線，而是在對結構的應力集中情況進行精確的應力分布計算的基礎上，綜合考慮表面質量等方面的因素得到綜合反映應力集中等影響疲勞特性的各個因素的應力嚴重系數（SSF）。用它作為“等效理論應力集中系數”。然后根據不同理論應力集中系數的S-N曲線確定對應于結構的S-N曲線，并以此為基礎計算結構的疲勞壽命。

應力嚴重系數法可以不用結構的S-N曲線，費用較低。但是要求疲勞嚴重系數的計算應比較精確。否則，應力嚴重系數的較小誤差將導致計算出的疲勞壽命的巨大誤差。目前該方法主要應用于連接件的疲勞壽命設計。它要求對結構的連接件作細節分析，包括各緊固件所傳遞的載荷。連接件的疲勞特性在很大程度上受孔的加工情況、緊固件的形式和裝配技術等影響。

定義應力嚴重系數為

SSF=αβK_ta　　（28-3-5）

式中　K_ta——應力集中系數；

α——孔表面質量系數，見表28-3-9；

β——孔填充系數，見表28-3-10。

現以一個例子介紹應力嚴重系數法的計算步驟。

有一承受軸向載荷的組合結構，如圖28-3-69（a）所示，把其中一個緊固件連接的下面一塊板拿出來作為分離體，如圖28-3-69（b）所示。板承受釘傳載荷ΔP和旁路載荷P作用。其中旁路載荷P占總載荷P'的72.85%，釘傳載荷ΔP占總載荷P'的27.15%，結構參數為：W=91.44mm，t=7.62mm，d=17.52mm。載荷為P'_max=106.97kN，P'_min=20.91kN。

（1）計算最大應力及應力集中系數

最大應力集中處的應力由兩部分組成，即旁路載荷P引起的局部最大應力σ₁和釘傳載荷ΔP引起的局部應力σ₂（如圖28-3-70所示）：

式中　K_tg——帶孔板應力集中系數；

K_tb——擠壓應力集中系數；

θ——擠壓應力分布系數；

d——釘孔直徑；

t——板的厚度；

W——板的寬度。

帶孔板應力集中系數和擠壓應力集中系數都可以從有關應力集中的資料中直接查到。擠壓分布系數是考慮孔內側不均勻擠壓的影響，它與板和緊固件材料、連接厚度與緊固件直徑之比及緊固件的接頭形式等因素有關，一般應由試驗得到。在初步設計時，可以近似地采用圖28-3-71所給數據。

經查表得到，K_tg=3；K_tb=1.25；θ=1.4。

結構的最大應力為

結構名義應力為

σ_rg=P'/（Wt）

應力集中系數為

（2） 計算應力嚴重系數（SSF）

查表28-3-9，取α=1；查表28-3-10，β=0.75。應力嚴重系數為

SSF=αβK_ta=1×0.75×4.66=3.5

（3）計算疲勞壽命

結構的名義疲勞應力為

材料的對應理論應力集中系數為K_t=SSF=3.5，疲勞應力均值為S_m=91.7MPa時的S-N曲線，見圖28-3-72。從圖中可以查到，對應于疲勞應力幅值S_a=61.76的疲勞壽命為：N=4.7×10⁵。

3.3　有限壽命設計

3.3.1　計算公式

在有限壽命設計中，多向應力狀態的處理方法與無限壽命設計的方法是一樣的，將它轉化為單向當量應力。

安全系數計算公式與無限壽命設計中的公式一樣，只是其中有些系數取值不一樣。推薦的系數取值列于表28-3-11中。

3.3.2　壽命估算

在進行有限壽命設計時，不但要計算零構件的工作安全系數，還要計算零構件的疲勞壽命。常用的疲勞壽命計算公式列于表28-3-12中。

3.3.3　設計實例

計算一起重機吊鉤上端螺紋的疲勞壽命。已知螺紋為M64的標準螺紋，螺紋材料是20鋼鍛造，其力學性能為：R_m=412MPa，R_eL=245.3MPa。

解：（1）確定載荷

由于吊鉤螺紋為松螺紋連接，沒有預緊力，所以吊鉤掛的重量就是螺紋所受之力。用統計的方法，根據吊鉤每天的吊重情況，可確定螺紋上承受的名義應力及每一名義應力作用的次數，見表28-3-13中的第三列及第一列。由統計表可知，吊鉤每天工作的總循環數N=144次，每一應力水平的循環數n_i由表中第一列可知，則n_i/N，即各應力水平所占總循環數的百分數見表中第二列。

（2）確定各系數

根據20鋼鍛造的R_m =412MPa，由表28-2-2得有效應力集中系數K_σ=3.0（估值）

查圖28-2-34，得ε=0.85

查圖28-2-35，得β =0.88（螺紋為粗車表面）

由此得

螺桿的應力狀態是脈動循環變幅應力，將名義應力乘以K_σ/（εβ）=4.0，得表28-3-13中第四列的數據。

（3）確定疲勞極限

20鋼的疲勞極限由本章3.1.1中的經驗公式求得，即

對于對稱拉壓

對于脈動拉壓

σ_0l=1.42×151.2=214.5 （MPa）

將表28-3-13中第四列數據與疲勞極限比較可知，表中大部分數值超過疲勞極限。因此，這個螺桿的應力變化情況屬于有限壽命設計。

（4）確定S-N曲線

因沒有20鋼的S-N曲線，所以用近似法作S-N曲線。在雙對數坐標紙上作兩點：一點是N=10³，σ=0.9R_m=0.9×412=170.8MPa；一點是N=10⁷，σ=0.45R_m=185.4MPa。連接該兩點得一斜線，即為所求的S-N曲線，如圖28-3-73所示。

由圖28-3-73的S-N曲線，查出在應力水平σ_i下到達破壞時的循環數N_i，列于表28-3-13中的第五列。由該列的數值可看出，當σ_i<186.4MPa以后，N_i>10⁷。但由經驗公式求得的σ_0l=214.5MPa，大于186.4MPa，說明兩種假設的近似法之間有誤差。本題按表28-3-13中數據計算偏于安全。

假設N_i≥10⁷時，不產生疲勞損傷，則總壽命為

因每天工作循環數為144，則工作天數為

如起重機每年工作360天，則工作年數為

即該起重機吊鉤的螺桿部分的壽命為2.09年，如這部分為吊鉤的薄弱環節，為保證安全工作，每工作2年后，需要更新。

3.4　頻域疲勞壽命分析方法

頻域和時域表明了隨機信號的兩個觀察面，即對同一事物觀察的方法和角度不同。時域分析是以時間為橫坐標表示信號的關系，較為形象和直觀；頻域分析是把信號以頻率軸為坐標表示，更為簡練，剖析問題更加深刻和方便。對于描述同一事物來說，它們是相互聯系、缺一不可的。借助于傅里葉變換，將連續變化的隨機載荷分解為無限多個頻率成分，得出其功率譜密度函數，用功率譜密度函數進行疲勞分析的方法叫頻域疲勞壽命分析方法。經典疲勞評估方法建立在應力（或應變）的時域分析基礎上。應力（或應變）通常由試驗或時域中計算結構響應獲得。而對于大量的多通道測試數據，想通過瞬態響應獲得危險部位的應力應變響應是難以實現的。因此，隨著測試技術的發展，頻域疲勞壽命估算方法在實際工程應用中受到關注。激勵在頻域和時域間的轉換，對研究頻域疲勞評估方法至關重要。

3.4.1　隨機過程基本理論

3.4.1.1　信號傅里葉變換

（1）連續信號的傅里葉變換

非周期連續時間信號x（t）與連續的非周期頻譜函數X（ω）間的關系如下：

式中，ω=2πf為時間圓頻率，單位rad/s；f為時間頻率，單位Hz。X（ω）為x（t）的傅里葉變換，x（t）為X（ω）的傅里葉逆變換，兩者變換關系成為傅里葉變換對。

（2）離散信號的傅里葉變化

對于非周期連續時間函數，由于計算機不能對連續的函數進行處理，因此在已知連續時域信號x（t）求其頻譜時，需先將x（t）進行離散化。同時非周期序列可能是有限長，也可能是無限長，而計算機只能處理有限長序列，故需對無限長序列進行截斷。截斷后有限長非周期序列可以看做周期性的序列，利用離散傅里葉級數進行計算，得到有限長序列的離散傅里葉變換。

有限長時域序列與有限長頻域序列間關系：

3.4.1.2　信號采樣定理

（1）時域采樣

根據時域采樣定理：采樣頻率f_s（或采樣間隔Δt）需要滿足：

f_s≥2f_u或Δt≤1/（2f_u）

式中，f_u為頻譜分析處理中感興趣的頻率上限。

通常把允許的最低采樣頻率f_s=2f_u稱為奈奎斯特頻率。

工程上采樣頻率大多數采用：

f_s=2.5f_u

（2）頻域采樣

頻域采樣定理：

Δf≤1/T

式中，T—為時域周期信號的周期。

3.4.1.3　平穩隨機過程

隨機過程的概率特性不隨時間的平移而改變，稱為平穩過程。平穩過程中不同樣本函數的均值和自相關值都一樣，則此隨機過程為各態歷經的。對于各態歷經的隨機過程，按時間平均的均值和自相關函數，以及其他按時間平均的量等于相應的隨機過程總體平均。

（1）平穩隨機過程功率譜分類

平穩隨機過程按功率譜密度圖形的形狀不同，可以分為平穩窄帶隨機過程和平穩寬帶隨機過程。平穩窄帶隨機過程的頻率成分集中在一個狹小的頻帶上，譜形狀呈現一種尖峰狀，接近于簡諧振動。平穩窄帶隨機過程還有一個很明顯的時域特點：在時域波形中每個波峰與波谷之間的連線必將穿越一次均值線。相比而言，平穩寬帶隨機過程的頻率成分比較分散，頻率成分豐富，譜形狀平坦，譜形狀出現多個峰值，具有很大的隨機性。平穩寬帶隨機過程也有一個很明顯的時域特點：在時域波形中波峰與波谷之間的連線不一定穿越均值線，并且至多穿越一次均值線。

典型的平穩窄帶和寬帶隨機過程的時域波形和功率譜密度如圖28-3-37所示，圖28-3-74（a）表示一種典型平穩窄帶隨機過程的時域波形，圖28-3-74（c）表示一種典型平穩窄帶隨機過程的功率譜密度；圖28-3-74（b）表示一種典型平穩寬帶隨機過程的時域波形，圖28-3-74（d）表示一種典型平穩寬帶隨機過程的功率譜密度。

（2）平穩隨機過程功率譜密度

平穩隨機過程的應力響應與激勵的功率譜矩陣有：

S_x（ω）=H^*（ω）S_F（ω）H^T（ω）

式中，H（ω）為系統的傳遞函數矩陣；H^*（ω）為H（ω）的共軛矩陣；S_F（ω）為激勵功率譜矩陣；S_x（ω）為應力響應功率譜矩陣。

功率譜密度函數是描述各態歷經隨機過程的重要參數，隨機信號的自功率譜密度函數（自譜）是該隨機信號自相關函數的傅里葉變換。一般利用有限長度隨機信號樣本的傅里葉變換推求自譜密度函數。

對于平穩隨機過程，自功率譜密度函數為自相關函數的傅里葉變換，即

其逆變換為

由于工程實際中僅對頻率ω>0有定義，稱為單邊功率譜，記作G_x（f）

3.4.1.4　平穩隨機過程譜參數

在時域中，常用一些統計參數來描述一個隨機應力應變時間歷程中1s的樣本，E［0］為樣本中自下而上穿越均值的次數，E［P］為樣本中出現峰值的次數，不規則因子為：

γ=E［0］/E［P］

這些統計參量可以通過功率譜密度函數的n階慣性矩m_n換算得到。慣性矩即為功率譜密度函數曲線下包括的面積。則功率譜密度函數的n階慣性矩為：

式中，G（f）為某頻率處的單邊PSD值。

由各階慣性矩可得：

則不規則因子：

當不規則因子γ接近0時，平穩隨機過程是寬帶隨機過程，當不規則因子γ接近1時，平穩過程是窄帶隨機過程，特別地，當不規則因子γ=1時，平穩過程是理想的窄帶過程，即單頻的簡諧波。

3.4.2　頻域疲勞壽命分析方法

3.4.2.1　窄帶隨機載荷疲勞壽命分析

關于窄帶隨機載荷壽命估算已提出很多理論和模型，最實用性的是Bendat提出的基于PSD信號求疲勞壽命的方法。一個窄帶信號隨著帶寬的降低，波峰的概率密度函數（PDF）趨向于一個瑞利（Rayleigh）分布（用于描述平坦衰落信號接收包絡或獨立多徑分量接受包絡統計時變特性的一種分布類型）。同時在應力范圍內概率密度函數也會趨向于一個瑞利分布。

用PSD曲線下的慣性矩估計預期的波峰數來預測壽命：

　　（28-3-6）

式中，N（S）為發生在T時間內應力幅值為S的循環次數。

將S-N曲線公式和Miner線性累積損傷公式代入式（28-3-6），并令D=1，推導出構件發生破壞時的總循環數：

　　（28-3-7）

3.4.2.2　寬帶隨機載荷疲勞壽命分析

寬帶隨機振動的峰值概率密度函數是正態分布和瑞利分布的組合。寬帶隨機振動的壽命估計有許多方法，但應用最多和最準確的是Dirlik方法。

Dirlik方法是通過運用蒙特卡羅（Monte Carlo）技術做大量的計算機模擬，得出頻域信號疲勞分析的經驗閉合解。Dirlik法較為復雜，但仍為功率譜密度函數4個慣性矩m₀、m₁、m₂和m₄的一個函數。人們已經發現Dirlik方法具有廣泛的應用范圍，結果較為理想。由Dirlik經驗公式可以求得應力幅值的概率密度函數，為方便起見寫成如下形式：

　　（28-3-8）

其中：

　　D₃=1-D₁-D₂

式中，m₀，m₁，m₂，m₄分別為功率譜密度函數的0，1，2，4階慣性矩；γ為不規則因子。

Dirlik方法的數學表達式：

N（S）=p（S）E［P］T　　（28-3-9）

式中，p（S）為應力幅值的概率密度函數。

設在時間T內應力幅值為S的循環次數為N（S），將S-N曲線公式和Miner線性累積損傷公式代入式（28-3-9）獲得構件的疲勞壽命為：

　　（28-3-10）

3.4.3　算例

一個SAE 1008鋼制的熱軋試件，在隨機載荷過程的作用下，如圖28-3-75所示為隨機過程的功率譜密度函數G（f），其中分別對應于1Hz和10Hz的值為10000MPa²/Hz和2500MPa²/Hz。試件S-N曲線參數為C=1.02×10¹⁷MPa，m=5.56。求該試件的疲勞壽命。

根據功率譜密度的第i階矩：

計算得到：

m₀=1⁰×10000×1+10⁰×2500×1=12500

m₁=1¹×10000×1+10¹×2500×1=35000

m₂=1²×10000×1+10²×2500×1=260000

m₄=1⁴×10000×1+10⁴×2500×1=25010000

由此得：

于是得到式（28-3-8）中各參數：

得到應力幅值的概率密度函數：

因此發生破壞時構件的壽命為：