第7章　軸系的臨界轉速

7.1　概述

軸系由軸、聯軸器、安裝在軸上的傳動件、轉動件、緊固件等各種零件以及軸的支承組成。激起軸系共振的轉速稱為臨界轉速。當轉子的轉速接近臨界轉速時，軸系將引起劇烈的振動，嚴重時造成軸、軸承及軸上零件破壞，而當轉速在臨界轉速的一定范圍之外時，運轉趨于平穩。若不考慮陀螺效應和工作環境等因素，軸系的臨界轉速在數值上等于軸系不轉動而僅作橫向彎曲振動的固有頻率：

　　（27-7-1）

式中　n_c——臨界轉速，r/min；

f_n——固有頻率，Hz；

ω_n——固有角頻率，rad/s。

由于轉子是彈性體，理論上應有無窮多階固有頻率和相應的臨界轉速，按數值從小到大排列為n_c1、n_c2、…、n_ck、…，分別稱為一階、二階、…、k階臨界轉速。在工程中有實際意義的只是前幾階，特別是一階臨界轉速。

為了保證機器安全運行和正常工作，在機械設計時，應使各轉子的工作轉速n離開其各階臨界轉速一定的范圍。一般的要求是，對工作轉速n低于其一階臨界轉速的軸系，n<0.75n_c1；對工作轉速高于其一階臨界轉速的軸系，1.4n_ck<n<0.7n_ck+1。

臨界轉速的大小與軸的材料、幾何形狀、尺寸、結構形式、支承情況、工作環境以及安裝在軸上的零件等因素有關。要同時考慮全部影響因素，準確計算臨界轉速是很困難的，也是不必要的。實際上，常按不同設計要求，只考慮主要影響因素，建立簡化計算模型，求得臨界轉速的近似值。

7.2　簡單轉子的臨界速度

7.2.1　力學模型

7.2.2　兩支承軸的臨界轉速

轉軸k階臨界轉速：

　　（27-7-2）

式中　m₀——軸質量，kg；

L——軸長，m；

E——材料彈性模量，Pa；

J——軸的截面慣性矩，m⁴；

λ_k——計算k階臨界轉速的支承形式系數，見表27-7-2。

7.2.3　兩支承單盤轉子的臨界轉速

7.3　兩支承多盤轉子臨界轉速的近似計算

7.3.1　帶多個圓盤軸的一階臨界轉速

帶多個圓盤并需計及軸的自重時，按如下公式可以計算一階的臨界轉速n_c1：

　　（27-7-3）

式中　　　　　　　 n₀——只有軸自重時軸的一階臨界轉速；

n₀₁，n₀₂，…，n_0n——分別表示只裝一個圓盤（盤1，2，…，n）且不考慮軸自重時的一階臨界轉速。

應用表27-7-2及表27-7-3可以分別計算n₀及n₀₁，n₀₂，…，n_0n值，代入即可求得n_c1。

對階梯軸及復雜轉子的軸則用下面的方法計算。

7.3.2　力學模型

將實際轉子按軸徑和載荷（軸段和軸段上安裝零件的重力）的不同，簡化成為如圖27-7-1所示m段受均布載荷作用的階梯軸。各段的均布載荷（N/m），m_i為i段軸和裝在該段軸上零件的質量，kg；l_i為該軸段長度，m；g為重力加速度，g=9.8m/s²。支承為剛性支承，各種形式支承的位置按表27-7-1中支承圖選取。

7.3.3　臨界轉速計算公式

對于鋼軸E=2.1×10¹¹N/m²，則

　　（27-7-4）

式中　k——臨界轉速階次，通常只計算一、二階臨界轉速，用于計算高于三階臨界轉速時誤差較大；

L——轉子兩支承跨距，m；

q_i——第i段軸的均布載荷，q_i=m_ig/l_i，N/m；

J_i——第i段軸截面慣性矩，，m⁴；

J_max/J_i——最大截面慣性矩與第i段軸截面慣性矩之比；

d_i——第i段軸的直徑，m；

Δ_i——第i段軸的位置函數，，λ_i=kx_i/L，，也可由表27-7-4查出。

7.3.4　計算示例

某轉子系統簡化成為如圖27-7-1所示的11段階梯軸均布載荷計算模型，已知條件、計算過程和按式（27-7-3）計算的n_c1和n_c2列于表27-7-5。

7.4　階梯軸的臨界轉速計算

可將階梯軸簡化為多質量集中參數的計算模型，使用本章介紹的傳遞矩陣法，做較準確的計算。

如果只需作近似的估算，則可用式（27-7-2）。但計算軸的截面慣性矩需用當量直徑D_m，階梯軸的當量直徑D_m可按式（27-7-5）作粗略計算。

　　（27-7-5）

式中　d_i——階梯軸各階的直徑，m；

Δl_i——對應于d_i段的軸段長度，m；

α——經驗修正系數。

若階梯軸最粗一段（或幾段）的軸長度超過全長的50%時，可取α=1，小于15%時，此段當作軸環，另按次粗段來考慮。在一般情況下，最好按照同系列機器的計算對象，選取有準確解的軸試算幾例，從中找出α值。例如，一般的壓縮機、離心機、鼓風機可取α=1.094。

7.5　軸系的模型與參數

7.5.1　力學模型

7.5.2　滾動軸承支承剛度

［例］　某機器的支承中裝有一個雙列圓柱滾子軸承3182120（d=100mm，D=150mm，b=37mm，i=2，z=30，d_δ=11mm，l=11mm，r=0.8mm）。軸承的預緊量為5μm（即g=-5μm），外圓與箱體孔的配合過盈量為5μm（即Δ=5μm），F=4900N。求支承的剛度。

解　（1）求間隙為零時軸承的徑向彈性位移δ₀

根據表27-7-8

（2）求軸承有5μm預緊量時的徑向彈性位移δ₁

計算相對間隙：g/δ₀=-5/2.89=-1.73

從圖27-7-2查得：β=0.47，于是得

（3）求軸承外圈與箱體孔的接觸變形δ₂

計算Δ/D：Δ/D=5/15=0.333，從圖27-7-3（b）查得H₂=0.2，于是

（4）求軸承內圈與軸頸的接觸變形δ₃

（5）求支承剛度

將δ₁、δ₂、δ₃代入剛度公式得

7.5.3　滑動軸承支承剛度

滑動軸承力學模型如圖27-7-4所示。沿各方向的剛度：

（27-7-6）

式中　　　　　　 W——軸頸上受的穩定靜載荷，N；

　　　　 c——軸承半徑間隙，m；

——量綱一剛度系數，可根據軸瓦形式、S、L/D和δ值由表27-7-9查得。

S值的確定方法，一般是先預估軸瓦中油的溫度，并確定潤滑油的動力黏度η，再算出Sommerfeld數，即S值：

式中　η——潤滑油動力黏度，N·s/m²；

D——軸頸直徑，m；

R——軸頸半徑，m；

N——軸頸轉速，r/s；

L——軸頸長，m。

查表用到的量值：

L/D——軸頸的長徑比；

δ——量綱一預載，δ=d/c；

d——軸瓦各段曲面圓心至軸瓦中心距離，不同形式軸瓦的預載詳見表27-7-9的表頭圖。

根據軸瓦形式、L/D、δ和預估油溫條件下的S值，可由表27-7-9查出該軸瓦的量綱一值、、。若假定80%的摩擦熱為潤滑油吸收，利用熱平衡關系就能得到軸承工作溫度：

　　（27-7-7）

式中　——量綱一邊流，，查表27-7-9；

——量綱一摩擦功耗，，查表27-7-9；

——軸瓦量綱一溫升，，查表27-7-9；

c_V——單位體積潤滑油的比熱容，J/（m³·℃）；

ω——軸頸的轉動角速度，rad/s；

P——每秒消耗的摩擦功，N·m/s。

油膜中的最高溫度

（27-7-8）

所以，可用T_max作為確定潤滑油黏度的溫度。如果T_max與最初估計的溫度值不同，就需要重新估計溫度再按上述過程計算，直到兩溫度值基本一致為止，最后確定了正確的S值，按該S值從表27-7-9查得量綱一剛度系數、、、，這些值雖有差別，但差別不大，所以，在計算軸系臨界轉速時，只考慮。

7.5.4　支承阻尼

各類支承的阻尼值，一般通過試驗求得，目前尚無準確的計算公式，表27-7-10列出了各類軸承阻尼比的概略值。

7.6　軸系的臨界轉速計算

7.6.1　軸系的特征值問題

通常軸系支承在同一水平線上，由于轉子的重力作用，未轉動時，轉軸發生了彎曲靜變形，轉動時，這種彎曲有可能加大。實際上當轉子以ω的角速度回轉時，由于不平衡質量激勵，軸系只能做同步正向渦動，即圓盤相對于軸線彎曲平面的角速度（Ω-ω）為零，這種狀態下，轉軸不承受交變力矩，軸材料內阻不起作用，軸系的運動微分方程就是軸系的彎曲振動微分方程，軸系的臨界轉速問題即為軸系彎曲振動的特征值問題。

為計算軸系的臨界轉速，首先應將軸系按前節方法轉化為質量離散化的有限元單元模型。將各質量單元（圓盤）和梁（轉軸）單元自左向右編號，則有m_i、I_i、I_pi（i=1，2，…，n）和l_i、EJ_i、α_iGA_i（i=1，2，…，n-1）；各支座自左至右編號，則有K_pj、m_bj、K_bj（j=1，2，…，l）；支座軸頸中心編號用數組S（j）表示，對于l<n系統，軸頸中心編號同有支座作用的質點編號是一致的，它是聯系i和j的橋梁。現對第i個軸段進行分析，單元兩端面的撓度γ和轉角θ與圖27-7-5所示彎矩M和剪力Q存在下列關系：

　　（27-7-9）

式中

α_i為與截面形狀有關的因子，對于實心圓軸α_i=0.886，A_i為截面積，G切變模量。

再對第i個圓盤進行分析，當軸以ω的角速度作同步正向渦動時，由圖27-7-5所示的第i個圓盤得：

（27-7-10）

K_pj為第j個支座的油膜剛度，γ_bj為第j個支座質量m_j的位移。為使符號統一，將ω改為ω_n，第i個單元的特征值方程為：

　　（27-7-11）

式中　　　（27-7-12）

（27-7-13）

（27-7-14）

式中

　　（27-7-15）

如果第i個圓盤沒有支承，則γ_bj、K_pj、K_bj、m_bj均可去掉，此時K_Mi為6×1階列陣，m_i和K_i為2×6階矩陣。此處υ_i定義參閱式（27-7-9）及說明。

以上只是對i單元的分析，對其他各單元的分析可得到類似的式（27-7-11）及其相應的式（27-7-12）～式（27-7-15）。將各單元的公式進行組合，就可以得到軸系的（2n+1）個自由度的特征方程，求解之，就可得到的（2n+1）個解。特征值并不完全為正實數，除去負數，只有為正實數的特征值的平方根才是各階同步正向渦動的臨界角速度。由式（27-7-1）換算為臨界轉速。

以上只可能運用矩陣迭代法、QR法等在計算上求解（已有現成軟件）。

7.6.2　特征值數值計算實例

［例］　圖27-7-6所示發電機轉子簡化模型，兩支承參數相同，K_P=2.45×10⁶kN/m，K_b=3.92×10⁶kN/m，M_b=17.64t，轉子數據見表27-7-11。按上述原始數據以及某些數據做15%的調整，根據參數的不同情況分別形成質量矩陣M、剛度矩陣K，用QR法計算該轉子系統的一、二階臨界轉速和振型。

n_c1、n_c2的計算結果列于表27-7-12。其振型矢量由于過于復雜，計算結果未列出。

7.6.3　傳遞矩陣法計算臨界轉速

傳遞矩陣法適用于單跨或多跨、彈性支承或剛性支承、有外伸端或無外伸端等各種軸系，而且便于使用計算對軸系的臨界轉速進行較精確的運算。

把軸系分割成如圖27-7-7所示的若干單元，每個單元可以是分布質量的軸段、無質量的軸段、集中質量和無質量軸段的組合、彈性支承等。各單元之間的特性也能夠矩陣表示，即傳遞矩陣，再把這些矩陣相乘，求出整個軸系的傳遞矩陣，利用邊界條件得到軸系的臨界轉速。

每個單元左右兩端的狀態用撓度y、傾角θ、彎矩M和剪力Q表示，簡記為{Z}=［y、θ、M、Q］^T，每個單元的傳遞關系為

　　（27-7-16）

式中　［T］_i——各單元的傳遞矩陣。

整個軸系的傳遞方程為

　　（27-7-17）

①單元的傳遞矩陣　根據各種單元的特性推導出的傳遞矩陣見表27-7-13。

②頻率方程　根據各單元的傳遞矩陣，按式（27-7-17）求出整個軸系的傳遞方程為

（27-7-18）

軸兩端的支承形式不同，其邊界條件不同，根據邊界條件求出頻率方程式，見表27-7-14。求解頻率方程得軸系的固有頻率，再按式（27-7-1）求得軸系的臨界轉速。

7.6.4　傳遞矩陣法計算實例

某轉子可以簡化為圖27-7-8所示集總質量系統，數據如下：

m₁=m₁₃=2.94t　m_i=5.88t　（i=2，3，…，12）

l_i=1.3m　（i=1，2，…，12）

支承相應參數為：

K_pj=1.9600×10⁶kN·m^-1，K_bj=2.7048×10⁶kN·m^-1，M_bj=3.577t　j=1，2，…，5

取第i個部件來分析，對m_i取分離體，由表27-7-13得

對軸段l_i取分離體，如果軸重不計，由表27-7-13可得

兩矩陣合并，即可建立第i點與第i-1點狀態向量之間的關系

則系統的傳遞矩陣可寫為

若邊界條件為===0，由表27-7-14可得滿足此邊界條件的頻率方程為

t₃₁t₄₂-t₃₂t₄₁=0

由上式可得轉子的臨界轉速如表27-7-15所示，振型如表27-7-16所示。

7.7　軸系臨界轉速設計

7.7.1　軸系臨界轉速修改設計

當按初步設計圖紙提出簡化臨界轉速力學模型，用特征值計算方法求出各階臨界轉速及對應的振型矢量以后，如發現某階臨界轉速n_ci與軸系的工作轉速接近，立即將計算得到的第i階振型矢量進行正規化處理，求得正規化因子μ_i，用μ_i去除振型矢量的各個值。然后利用軸系同步正向渦動的特征方程導出的第i階臨界轉速對參數S_j的敏感度公式（見表27-7-17），并給出參數微小變化量ΔS_j（通常<20%），計算出引起臨界轉速的變化量。通過對各種參數改變計算結果的比較，優化組合，選出最佳參數修改組合，對軸系臨界轉速進行修改設計。如果軸系有n個參數S_j同時有微小變化（j=1，2，…，n），改變量分別為ΔS_j，軸系第i階臨界轉速的相對改變量：

　　（27-7-19）

參數修改后軸系的第i階臨界轉速：

　　（27-7-20）

結合圖27-7-6所示系統實例，按三種不同參數變化組合，用敏感度公式計算軸系的一、二階臨界轉速，計算結果列于表27-7-12中。將計算結果與用QR法計算結果的比較，可以看出用該方法進行修改設計的可靠性。

7.7.2　軸系臨界轉速組合設計

轉子系統經常是由多個轉子組合而成。組合轉子系統和各單個轉子的臨界轉速間既有區別又有聯系，其間存在一定的規律。這種聯系就是各軸系具有相同形式的特征方程。設A、B為兩個不同轉子，如圖27-7-9（a）所示，各轉子分別有r及s個圓盤，為簡單起見，設各支承為等剛度支承，這一組合系統的特征值方程：

　　（27-7-21）

式中

K_A、K_B、M_A、M_B分別為A、B兩個轉子的剛度矩陣和質量矩陣。

當對系統坐標進行如下線性變換：

式中　q=［q₁，q₂，…，q_2（r+s）］^T

系統的頻率方程：

　　（27-7-22）

線性變化不改變系統的特征值。現將A、B兩個轉子端部鉸接成如圖27-7-9（b）所示的系統C，由連續性條件γ_Ar=γ_B1決定q_2r+1=0，系統C的頻率方程實際上就是式（27-7-22）劃去2r+1行和2r+1列的行列式。由頻率方程根的可分離定理知，系統C的臨界角速度應介于原系統A和B各臨界角速度之間，這是組合系統與各單個轉子臨界角速度間的一條重要規律。同理再將系統C的鉸接改為圖27-7-9（c）所示的剛性連接系統D作同樣變換，又會得出D系統的臨界角速度介于C系統各臨界角速度之間。綜合以上結果，這一重要規律可概括為：如果將組合前各系統的所有階臨界角速度混在一起由大到小排列：

則按C系統組合后第i階臨界轉速與組合前臨界轉速之間的關系為

按D系統組合后臨界轉速與組合前臨界轉速關系為

所以　　　　　　　　　　　　　（27-7-23）

現以200MW汽輪發電機組為例，組合前后都用數值計算方法計算系統低于3600r/min的各階固有頻率及振型矢量，臨界轉速的計算結果列于表27-7-15，組合后的各階振型如圖27-7-10所示。計算結果也驗證了機組的臨界轉速介于各單機臨界轉速間，這就使得在設計中，有可能根據各個轉子的臨界轉速去估計機組的臨界轉速的分布情況，也有助于判斷機組臨界轉速計算是否合理，有無遺漏等。由圖27-7-10中各階主振型可以看出，機組的一階主振型，發動機振動顯著，其他轉子振動相對較小，所以稱一階主振型為發電機轉子型，這一結果對現場測試布點具有重要意義。

7.8　影響軸系臨界轉速的因素

7.8.1　支撐剛度對臨界轉速的影響

在常用的臨界轉速計算公式和近似計算方法中，都假定支承為絕對剛性的。實際上，軸承座、地基和滑動軸承中的油膜都是彈性體，其剛度不可能無窮大，支承剛度越小，臨界轉速越低。對于支承剛度比本身剛度大得多的情況，可以忽略支承剛度的影響，按剛性支座計算臨界轉速。反之，則應按彈性支座計算臨界轉速。對于傳遞矩陣法，把表27-7-13中列出的彈性支承的傳遞矩陣加入式（27-7-17）中，就計及支承剛度對臨界轉速的影響。

7.8.2　回轉力矩對臨界轉速的影響

在常用的臨界轉速的計算公式及計算方法中，都把圓盤簡化為集中質量點，即只計重量不計尺寸，只考慮圓盤的離心力。若圓盤處于軸中央部位，如圖27-7-11（a）所示，這種簡化是適當的，此時，圓盤只在自身的平面內作振動或弓狀回旋，圓盤的轉動軸線在空間描繪出一個圓柱面，沒有回轉力矩的影響。而當圓盤不在軸的中央部位時，如圖27-7-11（b）所示，圓盤的轉動軸線在空間描繪出一個圓錐面，圓盤的自身平面將不斷地偏轉。因此，應考慮由于圓盤的角運動而引起的慣性力矩，此力矩常稱為回轉力矩。當軸的轉速較高，圓盤位置偏離中部或在懸伸端時，回轉力矩較大。一般回轉力矩是使轉軸的軸線傾角減小，即增加了軸的剛度，提高了臨界轉速。對于多圓盤轉軸，外伸臂式轉軸，圓盤尺寸較大以及計算高階臨界轉速時應考慮回轉力矩的影響。

7.8.3　聯軸器對臨界轉速的影響

在用聯軸器把各軸聯成軸線時，有時由于聯軸器的位移約束作用，軸系比單軸的臨界轉速要高；有時由于聯軸器的重量作用，軸系比單軸的臨界轉速低。因此，在計算有聯軸器的臨界轉速時，應考慮聯軸器的影響。應把聯軸器作為一個單元，其左端到右端的傳遞矩陣見表27-7-13，把相應的傳遞矩陣代入軸系的傳遞矩陣方程，計算出受聯軸器影響的軸系臨界轉速。

7.8.4　其他因素的影響

影響臨界轉速的因素很多，例如，軸向力、橫向力、溫度場、阻尼、多支承軸中各支承不同心、轉軸的特殊結構形式等。另外，由于轉軸水平安裝時受重力的影響，還會產生1/2的第一階臨界轉速的振動。這些影響因素一般可忽略不計，在特殊情況下，應予考慮。可參考相應的振動理論進行處理。最終以實物測試來修正與確定其實在的臨界轉速。

7.8.5　改變臨界轉速的措施

當轉軸的工作轉速與其臨界轉速比較接近而工作轉速又不能變動時，應采取措施改變軸的臨界轉速。

設計時，一般可采取以下措施：改變軸的剛度和質量分布；合理選取軸承和設計軸承支座。此外，對高速轉軸的油膜振蕩，對大型機組的基礎剛度也要考慮它們對臨界轉速的影響。

機器運行中發生強烈振動時，首先要檢查軸的彎曲變形、動平衡和裝配質量等情況。當判別清楚強烈振動是因工作轉速和臨界轉速接近而引起時，一般可采取以下措施：在結構允許的條件下附加質量；改變油膜剛度和軸瓦結構；改變軸承座剛度；采用阻尼減振、動力減振或其他減振措施。