第4章　非線性振動與隨機振動

4.1　非線性振動

4.1.1　非線性振動問題

在對一個振動系統(tǒng)進行研究時，一般情況下其阻尼、彈性恢復(fù)力和慣性力可線性化。然而，在振幅比較大的情況下，線性化的阻尼、彈性恢復(fù)力和慣性力不能反映其系統(tǒng)的振動特性，必須考慮其非線性項性質(zhì)。構(gòu)成非線性振動系統(tǒng)的原因很多，當(dāng)振幅過大，材料超過線性彈性而進入非線性彈性，甚至超過彈性極限而進入塑性，這種由于材料本身的非線性特性而使系統(tǒng)成為非線性系統(tǒng)，通常稱為材料非線性。另外由于幾何上或構(gòu)造上的原因，雖然材料本身仍符合線彈性，但由于位移過大，或變形過大而使結(jié)構(gòu)的幾何發(fā)生顯著變化，而必須按變形后的關(guān)系建立運動方程，這樣出現(xiàn)的非線性稱為幾何非線性。在機械系統(tǒng)中非線性力有非線性恢復(fù)力、非線性阻尼力和非線性慣性力。

表27-4-1為機械工程中的非線性振動問題的典型例子。

4.1.2　非線性恢復(fù)力的特性曲線

4.1.3　非線性阻尼力的特性曲線

振動系統(tǒng)中的阻尼因素比較復(fù)雜，大多數(shù)情況下具有非線性特性，目前對阻尼的機理研究還不甚清楚，流體阻尼、干摩擦阻尼、材料阻尼、滑移阻尼是其主要的幾種表現(xiàn)形式。其中流體阻尼、干摩擦阻尼指周圍的介質(zhì)或固體外界環(huán)境引起的阻尼，該阻尼隨著速度的增加，阻尼力不再是速度的線性函數(shù)。材料阻尼是由于系統(tǒng)內(nèi)部的材料的內(nèi)摩擦引起的，滑移阻尼是結(jié)構(gòu)由于襯墊、鉚接和用螺栓固定或其他方法連接在一起時，各部件之間由于界面相對滑動或表面層的剪切效應(yīng)而產(chǎn)生的阻尼。材料阻尼和滑移阻尼統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)阻尼。

4.1.4　非線性振動的特性

非線性振動與線性振動相比，主要有如下幾個方面的不同（其特性曲線與說明見表27-4-5）。

1）在線性系統(tǒng)中，由于阻尼的存在，自由振動總是被衰減掉，只有在周期性的激振力作用下才有定常的周期振動；而在非線性系統(tǒng)中，無外激振力作用也有定常的周期振動，如自激振動系統(tǒng)。

2）在線性系統(tǒng)中，固有頻率和初始條件、振幅無關(guān)；而在非線性系統(tǒng)中，固有頻率則和振幅、相位以及初始條件有關(guān)。如表27-4-5中的第2項。

3）在緩慢改變激振力頻率時，幅頻曲線出現(xiàn)分岔點、跳躍和滯后現(xiàn)象，表中第3項為恢復(fù)力硬特性的非線性系統(tǒng)受簡諧激振力作用時的響應(yīng)曲線，第4項為恢復(fù)力軟特性的響應(yīng)曲線。

4）在非線性系統(tǒng)中，對應(yīng)于平衡狀態(tài)和周期振動的定常解一般有數(shù)個，必須研究解的穩(wěn)定性問題，才能決定各個解的特性，如表27-4-5中的第5項。

5）線性系統(tǒng)中的疊加原理對非線性系統(tǒng)不適用，如表27-4-5中的第6項。

6）在線性系統(tǒng)中，強迫振動的頻率和激振力的頻率相同；而在非線性系統(tǒng)中，在簡諧激勵力作用下，其定常強迫振動解中，除有和干擾力同頻的成分外，還有成倍數(shù)的頻率成分存在。多個簡諧激振力作用下的受迫振動有組合頻率的響應(yīng)，在一定條件下，某個組合頻率的分量要比其他頻率分量大很多，出現(xiàn)組合共振或次諧波組合共振，如表27-4-5中的第7項。

7）頻率俘獲現(xiàn)象；當(dāng)非線性系統(tǒng)激振頻率ω比較接近于固有角頻率ω_n時，產(chǎn)生周期變化的拍振，對線性系統(tǒng)，隨ω趨近于ω_n，拍的周期無限增大。在非線性系統(tǒng)中，拍在ω達到某一值時就消失，而且出現(xiàn)不同于ω_n和ω的單一頻率的同步簡諧振動，這就是頻率俘獲現(xiàn)象。產(chǎn)生頻率俘獲現(xiàn)象的頻帶為俘獲帶。

8）廣泛存在混沌現(xiàn)象。混沌是在非線性振動系統(tǒng)上有確定的激勵作用而產(chǎn)生的不規(guī)則的振動。

9）系統(tǒng)激勵受響應(yīng)影響的系統(tǒng)稱為非理想系統(tǒng)，一般來說，非理想系統(tǒng)指供應(yīng)有限功率的系統(tǒng)。對該類系統(tǒng)，必須研究非線性微分方程才能對其振動規(guī)律進行分析，如表27-4-5中的第8項。

非線性振動特性示例如表27-4-6所示。

幾個非線性系統(tǒng)的響應(yīng)曲線見表27-4-7。

4.1.5　分析非線性振動的常用方法及示例

4.1.5.1　分析非線性振動的常用方法

4.1.5.2　非線性振動的求解示例

求解圖27-4-1所示受徑向預(yù)拉力的彈性圓板，考慮其一階模態(tài)，系統(tǒng)在諧波p₀cosΩt激勵下的非線性振動方程為：

　　　（27-4-1）

式中　ε——小參數(shù)，；

ν——泊松比；

a——圓板半徑；

h——板厚；

ψ——一階模態(tài)坐標(biāo)；

ω——一階固有頻率；

Γ——與一階振型、材料參數(shù)相關(guān)的非線性系數(shù)。

利用多尺度法對其求解，把解用不同時間尺度表示為

　　（27-4-2）

式中，T₀=t，T₁=εt。

　　（27-4-3）

　　（27-4-4）

將式（27-4-2）～式（27-4-4） 代入式（27-4-1）中，按ε冪次整理，并使考慮方程式ε⁰和ε¹項系數(shù)等于零，可得

　　（27-4-5）

　　（27-4-6）

式（27-4-5）的解為

　　（27-4-7）

式中，A、是一對共軛復(fù)數(shù)，引進一個解諧參數(shù)σ，并讓Ωt=ωt+σT₁，將式（27-4-7）代入式（27-4-6）可得

　　（27-4-8）

為了消除ψ₁ 中的永期項，必須有

（27-4-9）

為對（27-4-9） 求解，將A 表達成

　　（27-4-10）

式中a和 β是T₁的實函數(shù)，代入（27-4-9）得

　　（27-4-11）

將實部和虛部分開，整理可得

　　（27-4-12a）

　　（27-4-12b）

式（27-4-12a）和式（27-4-12b）可進一步簡化為

　　（27-4-13a）

　　（27-4-13b）

設(shè)，可得，并將其代入式（27-4-13），可簡化為

　　（27-4-14a）

　　（27-4-14b）

對于穩(wěn)態(tài)運動，，式（27-4-14）改寫成

　　（27-4-15a）

　　（27-4-15b）

這兩個方程取平方后相加得

　　（27-4-16）

方程（27-4-16）是響應(yīng)振幅a作為依賴于解諧參數(shù)σ（激振頻率）和激勵幅值f的隱函數(shù)，其幅頻曲線和力幅曲線如圖27-4-2所示。該方程的一階近似穩(wěn)態(tài)解為：

　　（27-4-17）

對于穩(wěn)態(tài)解，式中θ是響應(yīng)和激勵的相位差為一常數(shù)。

4.2　自激振動

4.2.1　自激振動系統(tǒng)的特性

4.2.2　機械工程中的自激振動現(xiàn)象

4.2.3　非線性振動的穩(wěn)定性

對于線性系統(tǒng)，除了無阻尼共振的情況外，所有的運動都是穩(wěn)定的。但是對于非線性系統(tǒng)，正像表27-4-5所表述的，可能出現(xiàn)許多不同的周期運動，如各種組合頻率振動，其中有些振動是穩(wěn)定的，有些振動是不穩(wěn)定的。確定非線性系統(tǒng)運動穩(wěn)定性是非常重要的，有時判斷系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性比求得運動精確形態(tài)更重要。例如機床切削過程中常碰到的自激振動，重要的是判斷系統(tǒng)在什么條件下會產(chǎn)生顫振及系統(tǒng)各參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，人們并不關(guān)心自激振動產(chǎn)生后的頻率和振幅。

4.2.4　相平面法及穩(wěn)定性判據(jù)

相平面法就是在相平面圖上作出系統(tǒng)的運動速度和位移的關(guān)系，稱相軌跡，以此了解系統(tǒng)可能發(fā)生的運動的情況。如表27-4-8所示，作為一種定性分析方法可以研究非線性系統(tǒng)在整個相平面上運動的全貌。例如，對于自治系統(tǒng)（見表27-4-8的注），非線性單自由度系統(tǒng)的微分方程式可寫作：

令

上式可化為：

而

兩式相除，得：

積分后，即為以x，y為坐標(biāo)的相平面圖上，由初始條件（x₀，y₀）開始畫出的等傾線（以斜率m為參數(shù)）族，作出系統(tǒng)的相平面圖。單自由度系統(tǒng)相平面及穩(wěn)定性的幾種主要情況見表27-4-11。

4.3　隨機振動

4.3.1　隨機振動問題

隨機振動是指系統(tǒng)的振動情況不可能用一個明確的函數(shù)表達式來描述，并且根據(jù)以往的記錄也無法預(yù)測將來振動響應(yīng)。它的特征是從振動的單個樣本觀察，有不確定性、不可預(yù)估性和相同條件下的各次振動的不重復(fù)性。各次振動記錄是隨機函數(shù)，這一類函數(shù)的集合稱隨機過程。隨機振動的激勵或響應(yīng)過程的按統(tǒng)計規(guī)則性可分為平穩(wěn)隨機和非平穩(wěn)隨機過程；按記憶能力可分純隨機過程（白噪聲），馬爾可夫過程，獨立增量過程，維納過程和泊松過程。隨機振動的系統(tǒng)還可以根據(jù)其動態(tài)特性分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。

4.3.2　平穩(wěn)隨機振動

4.3.3　單自由度線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1）頻率響應(yīng)函數(shù)（或復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)）：描述系統(tǒng)在頻率ω下的響應(yīng)特性。

2）脈沖響應(yīng)函數(shù)h（t）：穩(wěn)態(tài)、靜止系統(tǒng)受到單位脈沖激勵后的響應(yīng)。

4.3.4　單自由度線性系統(tǒng)的隨機響應(yīng)

工程中窄帶隨機振動問題的處理方法和確定性振動問題相似，所以，通常將其轉(zhuǎn)化為確定性振動來處理。對寬帶隨機過程，如果其功率譜密度在一定的頻帶范圍內(nèi)緩慢變化，為了分析方便，可以近似處理為白噪聲過程，雖然白噪聲是指在（-∞，∞）整個頻域功率譜密度為常數(shù)的隨機過程，是一種理想狀態(tài)。表27-4-14為單自由度系統(tǒng)響應(yīng)。

式中，x（t）是各態(tài)歷經(jīng)具有高斯分布的白噪聲過程。