3.1.3　高分辨像形成過程中的襯度傳遞函數

試樣透射函數q（x，y）在理想物鏡的背焦面上經過傅里葉變換（用表示）成為衍射波：

　　（3.16）

式中，（u，v）是背焦面上衍射花樣的倒易坐標，其單位為1/nm，在軸對稱條件下可以簡化為u，此時u表示背焦面上離光軸的倒易距離。在正焦條件下，像平面上的圖像ψ（x，y）可以表示為衍射波Q（u）的傅里葉反變換：

　　（3.17）

此時，弱相位像的強度分布為：

I（x，y）=|ψ（x，y）|²=|exp［iσV_t（x，y）］|²=1　　（3.18）

由此可見，對于理想透鏡系統，無法在像平面上看到弱相位物的任何襯度。然而實際情況是物鏡存在像差，高分辨像的形成過程依賴于物鏡的球差C_s、離焦量Δf以及物鏡光闌的限制，以及色差、束發散的影響。這些因素都會導致背焦面上的衍射波產生附加的振幅及相位調制，即：

Q'（u）=Q（u）T（u）　　（3.19）

式中，T（u）稱為襯度傳遞函數（contrast transfer function，CTF），描述不同方向衍射波的襯度能準確地傳遞到像平面的程度，反映了電鏡的固有性能，可以表示為：

T（u）=R（u）D（u）S（u）exp［iχ（u）］　　（3.20）

式中，R（u）是物鏡光闌函數，描述因物鏡光闌的衍射效應而引起的波的衰減；D（u）和S（u）分別為電子源的非相干性（色差效應）和電子源的光延性（束發散）引起的衰減包絡函數；χ（u）是相位函數。一般來說，T（u）是一個隨著空間頻率的變化在［-1，1］區間震蕩的函數。值得注意的是部分書籍和論文將exp［iχ（u）］定義為襯度傳遞函數^［14］，這和本書中的定義并不沖突。T（u）函數中僅exp［iχ（u）］項反映物鏡對電子波相位的調制效應。若僅考慮電鏡系統對衍射波的相位調制效應，根據歐拉公式及卷積定理，像平面上的波函數可以表示為：

　　（3.21）

對應圖像的強度及襯度分布分別表示為：

　　（3.22）

　　（3.23）

由此可見，非理想的透鏡系統可使相位變化轉換成可觀察的強度分布，且主導這一轉換的是sinχ，因此稱之為相位襯度傳遞函數（phase contrast transfer function）。顯然，sinχ干擾了圖像強度與試樣投影勢之間的線性關系，決定了圖像的分辨率，是高分辨透射電鏡分辨本領的判定指標。只有當|sinχ|在相當范圍內接近于1，此時是沖激函數，卷積可忽略，圖像襯度才與試樣投影勢呈現線性關系，圖像才直接反映試樣的真實結構。值得注意的是只有在弱相位物近似及最佳成像條件下拍攝的高分辨像才能正確反映晶體結構，但弱相位物近似的要求極其苛刻較難滿足。當不滿足弱相位物近似條件時，盡管仍可獲得清晰的高分辨像，但像襯度與晶體結構投影不存在一一對應關系，圖像襯度會隨著離焦量和試樣厚度的改變而發生反轉，此時的高分辨像僅反映晶體的平移周期信息，盡管能獲取晶面間距等結構信息，但無法確定原子投影分布的細節。此外，電子束傾斜或試樣傾斜將在衍射束中引入不對稱的相位移動，輕微傾斜也會對高分辨像產生較明顯影響。

電鏡系統對衍射波的相位調制主要由物鏡的離焦量與球差決定。首先考慮離焦的影響，先明確電子束由上而下時欠焦面在背焦面的下面，過焦面在背焦面的上面。按照幾何光學，在正焦情形下，物的平面波會聚于背焦面的光軸點上，且各條光線的相位都相同。如圖3.3所示，繼續向下傳播到達欠焦面時，沿光軸的光線OA和以很小的夾角α前進的光線OB的相位差χ_d為：

　　（3.24）

球差是由于透鏡中心區域和邊緣區域對電子波會聚能力不同，導致同一物點散射的電子波經過透鏡后不會聚于單獨像點而形成彌漫圓斑。在圖3.4（a）中，在像平面上，以孔徑角α入射的光束散開成半徑為Δr的圓斑，且可以表示為：

Δr=C_sα³　　（3.25）

現在考慮球差在背焦面上引起的相位移動。如圖3.4（b）所示，在前焦面發射的與光軸夾角為θ的光波經過透鏡后偏離了平行光軸的方向變成稍微會聚的光波，會聚角為δ。從前面的分析可知，dR=C_sθ³≈δf，則球差引入的相位移動可以表示為：

　　（3.26）

式中，f為焦距。考慮到物點發出的所有夾角的光波經透鏡后的球差效應，相位差應為上式的積分：

　　（3.27）

若寫成倒易坐標的形式，則有α²=λ²（u²+v²），代入得到欠焦和球差引起的相位變化為：

χ（u，v）=χ_d+χ_s=π［Δfλ（u²+v²）+0.5C_sλ³（u²+v²）²］　　（3.28）

這里的（u，v）是背焦面上的倒易坐標。在軸對稱條件下上式可以簡化為

χ（u）=π（Δfλu²+0.5C_sλ³u⁴）　　（3.29）

此外，由于電磁透鏡不能嚴格滿足軸對稱性，光軸外成像電子束不再在像平面上會聚成幾何點，物點的像將變為短線或模糊圓點，這就是像散。像散引起的衍射波振幅的相位移動與離焦效應有類似的性質，也與成像電子束的散射角的二次方成比例。商業化的高分辨透射電鏡一般都配備了性能良好的消像散器，通過附加的電場校正電磁透鏡磁場的軸對稱不完善，使像散在日常的操作條件下減小至可忽略的地步。因此，在本書的討論中，我們不再討論像散對成像的影響。

式（3.29）表明相位襯度傳遞函數是離焦量、加速電壓（波長）和球差系數的函數，而傳統的高分辨透射電鏡的球差系數C_s是固定的，因此對于特定的加速電壓，離焦量是影響相位襯度傳遞函數的主要因素。圖3.5反映了200kV下球差系數為1.2mm時離焦量對相位襯度傳遞函數的影響。可以看出，襯度傳遞函數隨成像時的離焦條件改變而發生急劇變化。值得注意的是，在Δf=-66nm（欠焦為負，過焦為正）的條件下，sinχ（u）≈-1處有一個較寬的平臺，圖像在此范圍內受到襯度傳遞函數的干擾較小，其強度與試樣的投影勢成正比，此時能得到清晰、可分辨、不失真的圖像。

u較小時，對應大的晶面間距，若在左側偏離平臺，大尺寸晶體結構細節可以在透射電子顯微鏡中被觀察到，但可能是失真的；u較大時，在右側偏離平臺，由于成像系統引起的相位變化中包含有空間頻率u的高階項，相位襯度傳遞函數曲線迅速振蕩引起失真，從而不能直觀地利用。通常，圖像質量的關鍵是有效范圍的最大波數或空間頻率u，波數越大，空間分辨率越高。因此，在透射電鏡成像過程中，通過優化離焦量的值使|sinχ（u）|≈1的平臺展開最寬，繼而達到最佳成像效果。在最佳成像條件下，成像系統對平臺范圍內的所有衍射波近似地進行相同的相位調制，對透射束則是零相位調制。這些經過調制的衍射波如同通過了一個Zernike相位板，將反映原子尺度結構細節（即勢函數）的相位分布轉化為可觀察的襯度分布。

理論計算表明欠焦量滿足Scherzer條件時平臺最寬^［3］，即：

Δf=-1.2（C_sλ）^1/2　　（3.30）

在Scherzer欠焦條件下，sinχ曲線和波數軸u的交點值為1.6λ^-3/4。定義該交點對應的空間頻率的倒數為電子顯微鏡的點分辨率d_s，即：

　　（3.31）

由上式可知，點分辨率依賴于C_s和λ。傳統電鏡的球差系數C_s是固定的，因此要獲得高分辨率，縮短波長（提高加速電壓）會有較大的效果。圖3.6為透射電鏡（C_s=1.2mm）在不同加速電壓及最佳離焦條件下的相位襯度傳遞函數曲線。加速電壓為60kV，sinχ（u）在（1.2～2.3）/nm的范圍內接近于-1，它的分辨率為0.394nm；加速電壓為80kV，平臺范圍拓寬至（1.3～2.5）/nm，分辨率為0.352nm；加速電壓為200kV，平臺范圍為（1.9～3.7）/nm，分辨率提高至為0.24nm；加速電壓為300kV，平臺范圍拓寬至（2.3～4.4）/nm，分辨率提高至為0.20nm。由此可見，隨著加速電壓增加，平臺的范圍拓寬，并向高u方向移動，可分辨更小的晶面間距。然而，300kV以上的TEM價格昂貴，且極易破壞試樣的晶體結構，不利于試樣的高分辨結構表征。人們希望能在200kV甚至更低加速電壓下得到高的分辨率，這就有必要采用新的方法來減小球差以提高分辨率。

在實際的高分辨電子顯微像的觀察中，除物鏡的球差和離焦量會引起相位變化，物鏡光闌、色差和試樣上入射電子的會聚角等也會引起分辨率下降。物鏡光闌的影響表現在它限定了衍射波的范圍，可以表示為背焦面上的低通函數，即：

　　（3.32）

式中u₀為物鏡光闌半徑。為了避免傳遞函數的高空間頻率振蕩引起的像襯度復雜化，通常選用適當尺寸的物鏡光闌剛好擋住所有高頻振蕩部分，只讓對應傳遞函數平臺部分的衍射束通過。一般情況下，物鏡光闌引起的效應較球差和離焦量的影響相比可以忽略。

色差主要來自于電子槍出射電子的能量漲落ΔE、加速電壓的隨機漲落ΔU和物鏡電流的隨機漲落ΔI，它們對相位襯度傳遞函數的影響是非相干的。可以把色差的影響表示為高斯型包絡函數D（u）：

D（u）=exp（-0.5π²λ²δ²u⁴）　　（3.33）

式中，δ為色差引起成像時聚焦的變化，可以表示為：

　　（3.34）

式中，C_c為色差系數。色散效應的物理本質相當于在物鏡的背焦面上引入一個虛擬的光闌。由于D（u）與exp（-u⁴）成正比，色差效應對衍射花樣中的高頻分量有嚴重的衰減。δ綜合了各種產生波長不穩定性的因素，它的值越大，衰減包絡越窄，被衰減的范圍越向衍射花樣中心收縮，像的分辨率越低。當衰減包絡寬度大于物鏡光闌大小時，它就不再是限制分辨率的因素。

此外，TEM圖像是直徑遠大于晶體周期的電子束獲得的圖像，需要考慮電子源尺寸的影響，主要表現為電子束會聚角α（會聚到物點上的電子束會聚角）的影響。α又被稱為發散角，因為電子束會聚到物后繼續向前的傳播是發散的。入射電子來自電子源不同的出射點，相互間是相干的。假定電子源強度分布為高斯分布時，可以把會聚角α的影響表示為另一高斯型包絡函數S（u）：

　　（3.35）

由于色散和束發散產生的衰減包絡函數使得高空間頻率中的結構信息極大的衰減。圖3.7是場發射槍200kV電鏡在Scherzer條件下（C_s=1.2mm，C_c=1.2mm，Δf=-66nm，α=0.1mrad）并考慮色散效應和束發散影響后的襯度傳遞函數。色差包絡函數和會聚角包絡函數均為實的高斯函數，可以和相位襯度傳遞函數直接相乘。根據卷積定理，兩函數卷積的傅里葉變換是兩函數各自傅里葉變換的乘積，D（u）或S（u）的影響就是它的傅里葉反變換和相位襯度傳遞函數的傅里葉反變換進行卷積。根據高斯函數的傅里葉反變換仍是高斯函數，D（u）或S（u）的影響相當于在像平面將點函數擴展為具有一定模糊斑的高斯函數，從而影響分辨率。從圖3.7可見，D（u）或S（u）對低空間頻率的襯度傳遞函數影響不大，對高空間頻率的影響較大。

將相位襯度傳遞函數振幅衰減到1/e的分辨極限標線與衰減包絡函數曲線的最遠交點對應的空間頻率的倒數規定為電鏡的信息分辨率。D（u）或S（u）的影響實際上是把信息分辨率右側的信號降低到噪聲水平，因此通過減小球差改善點分辨率時，只能達到但不能超過信息分辨率。要改善信息分辨率，需要減小色差和電子源會聚焦，如用場發射電子槍等。熱電子發射槍發射的電子能量漲落為1～2eV，場發射電子槍發射的電子能量漲落為0.2～0.7eV，因此，后者的信息分辨率更高。