3.1.2　電子波的傳播和衍射

如圖3.2所示，平行光經過試樣后得到的出射波q（x，y）從試樣上的（x，y）點以球面次波方式傳播到觀察點（s，t）后可以表示為：

　　（3.10）

式中，c為常數；k=2π/λ為波數；α為散射角；r是（x，y）到（s，t）的距離并且可以表示為：

r²=R²+（s-x）²+（t-y）²　　（3.11）

當散射角很小時，滿足菲涅爾衍射條件，上式可做如下近似處理：

r=［R²+（s-x）²+（t-y）²］^1/2≈R+（s-x）²/2R+（t-y）²/2R　　（3.12）

上述小角近似（又稱菲涅爾近似）的本質是在近光軸區域用二次曲面形的電子波代替球面波。在此簡化條件下，菲涅爾衍射的結果為：

　　（3.13）

式中，*為卷積符號；p（s，t）為菲涅爾傳播函數（Fresnel Propagation Function），是菲涅爾衍射的擴展函數，也是描述電子波近場傳播的基本函數。

進一步假定試樣線度比物平面到觀察平面的距離R小很多，即R?x、y，滿足夫瑯禾費衍射條件，可做如下近似處理：

r=［R²+（s-x）²+（t-y）²］^1/2≈［R²+s²+t²-2（sx+yt）］^1/2≈r₀-sx/r₀-yt/r₀　　（3.14）

式中，r₀是物平面原點到（s，t）的距離。令s/（λr₀）=u，t/（λr₀）=v（u和v的量綱是長度的倒數），代入式（3.10），可得：

　　（3.15）

式（3.15）右側與傅里葉變換形式一致，表明傅里葉變換可作為處理遠場問題、計算夫瑯禾費衍射振幅和強度分布的數學工具。這就是說，在觀察點離試樣很遠的條件下，所觀察到的電子波經過物的傳播是夫瑯禾費衍射，或試樣透射函數的傅里葉變換。由于電子顯微鏡中的物鏡可將平行束會聚在其背焦面上，因此夫瑯禾費衍射條件在透鏡的背焦面處也是成立的，背焦面上的衍射花樣在數學上可以用傅里葉變換來表述。