第四節　圓軸扭轉

一、扭轉的概念

在一對大小相等，轉向相反，且作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用下，桿件上的各個橫截面發生相對轉動，這種變形稱為扭轉變形。扭轉變形也是桿件的一種基本變形，在工程實際中，受扭轉變形的桿件是很多的。如汽車的傳動軸，日常生活中常用的螺絲刀。又如圖2-47反應釜中的攪拌軸，在軸的上端作用著由電動機所施加的主動力偶m_A，它驅使軸轉動，而安裝在軸下端的板式槳葉則受到物料阻力形成的阻力偶m_B作用，當攪拌軸等速旋轉時，這兩個力偶大小相等、轉向相反，且都作用在與軸線垂直的平面內，因而會使攪拌軸發生扭轉變形。工程上發生扭轉變形的構件大多數是具有圓形或圓環形截面的圓軸，故這里只研究等截面圓軸的扭轉變形。

二、圓軸扭轉時橫截面上的內力

1.外力偶矩的計算

若已知電動機傳遞的功率P_e和轉速n，則電動機給軸的外力偶矩為

M=9.55×10³P_e/n　　 （2-23）

式中　M——軸的外力偶矩，N·m；

P_e——軸所傳遞的功率，kW；

n——軸的轉速，r/min。

從式（2-23）可知，在轉速一定時力偶矩與功率成正比。但在功率一定的情況下，力偶矩與轉速成反比。因此在同一臺機器中，高速軸上力矩小，軸可以細些，低速軸上力矩大，軸應該粗些。

2.扭矩的計算

如前所述，圖2-47所示的攪拌軸受力情況可以簡化為如圖2-48所示的受力圖，攪拌軸在其兩端受到一對大小相等，轉向相反的外力偶矩（m_A、m_B）的作用，這段攪拌軸的橫截面上必然產生內力，現用截面法求內力。

假想用n—n截面將圓軸截成兩段，以左段為研究對象，在左端作用有力偶矩m_A，為保持左段的平衡，在左段n—n截面上必然有右段給左段作用的內力偶矩，這個內力偶矩稱為扭矩，用符號“M_n”表示，它與外力偶矩m_A相平衡。根據平衡條件

∑M=0　　m_A-M_n=0

M_n=m_A

當軸只受兩個（大小相等，轉向相反的）外力偶作用而平衡時，在這兩個外力偶作用面之間的這段軸內，任意截面上的扭矩是相等的，它等于外力偶矩。

如果軸上受到兩個以上的外力偶作用時，同樣也可以用截面法求出軸上各截面上的扭矩。在這種情況下，軸上任一截面上的扭矩，在數值上等于截面一側所有外力偶矩的代數和。

即

M_n=∑M

扭矩的正負按右手螺旋法則確定，即右手四指彎向表示扭矩的轉向，當拇指指向截面外側時，扭矩為正，反之為負。外力偶矩的正負號規定與扭矩相反。

為了形象地表示各截面扭矩的大小和正負，以便分析危險截面，可畫出扭矩隨截面位置變化的函數圖像，這種圖像稱為扭矩圖。其畫法與軸力圖類同。

三、圓軸扭轉時橫截面上的應力

通過實驗和理論推導得知：圓軸扭轉時橫截面上只產生剪應力，而橫截面上各點剪應力的大小與該點到圓心的距離ρ成正比。在圓心處剪應力為零；在軸表面處剪應力最大，如圖2-49所示。

橫截面上各點剪應力為

　?。?-24）

最大剪應力為

式中，I_P稱為橫截面對圓心的極慣性矩，對于一定的截面，極慣性矩是個常量，它說明截面的形狀和尺寸對扭轉剛度的影響。不同形狀截面的極慣性矩I_P的計算公式見表2-2。

令W_n=I_P/R，稱W_n為抗扭截面模量，它說明截面的形狀和尺寸對扭轉強度的影響。不同形狀截面的抗扭截面模量W_n的計算公式見表2-2。所以

　?。?-25）

四、圓軸扭轉時的變形

圓軸扭轉時，它的各個截面彼此相對轉動。扭轉變形常以軸的兩端橫截面之間相對轉過的角度，即扭轉角φ表示，如圖2-50所示。工程上一般用單位長度的扭轉角θ表示扭轉變形的程度，即

　　（2-26）

式中，G為材料的剪切彈性模量，它是表示材料抵抗剪切變形能力的量。常用鋼材的G為8×10⁴MPa。

GI_P稱為軸的抗扭剛度，決定于軸的材料與截面的形狀與尺寸。軸的GI_P越大，扭轉角φ就越小，表明抗扭轉變形的能力越強。

五、圓軸扭轉時的強度和剛度計算

為了保證圓軸扭轉時安全地工作，就應該限制軸內危險截面上的最大剪應力不超過材料的許用剪應力。因此圓軸扭轉時的強度條件為

　?。?-27）

式中，M_nmax是軸內危險截面上的最大扭矩；［τ］是材料的許用剪應力。

圓軸受扭轉時，除了考慮強度外，有時還應滿足剛度要求。例如機床的主軸和絲杠，若扭轉變形太大，就會引起劇烈的震動，影響加工工件的質量。因此，對精密機器上的軸，還要限制扭轉變形不得超過規定的數值。用許用單位長度上的扭轉角［θ］加以限制，即

　　（2-28）

上式即為圓軸扭轉時的剛度條件。

應用扭轉的強度條件和剛度條件，可以解決校核強度和剛度、設計截面尺寸、確定許可載荷等三類問題。

［例2-8］　圖2-51（a）為帶有攪拌器的反應釜簡圖，攪拌軸上有兩層槳葉，已知電動機功率P_e=22kW，轉速n=60r/min，機械效率為η=90%，上下兩層阻力不同，各消耗總功率的40%和60%。此軸采用?114mm×6mm的不銹鋼管制成，材料的扭轉許用剪應力［τ］=60MPa，G=8×10⁴MPa，［θ］=0.5°/m。試校核攪拌軸的強度和剛度。若將此軸改為材料相同的實心軸，試確定其直徑，并比較兩者用鋼量。

解：攪拌軸可簡化為如圖2-51（b）所示的計算簡圖。

①外力偶矩計算。

因為機械效率η=90%，故傳到攪拌軸上的實際功率為

P=P_eη=22×0.9=19.8（kW）

電動機給攪拌軸的主動力偶矩m_A為

上層阻力偶矩

下層阻力偶矩

用截面法求1-1，2-2截面上扭矩分別為

M_n1=1.8909（kN·m）

M_n2=m_C+m_B=1.8909+1.2606=3.1515（kN·m）

最大扭矩在AB段上，其值為M_nmax=3.1515（kN·m）。

②強度校核。

查表2-2得抗扭截面模量為

最大剪應力為

所以攪拌軸的強度足夠。

③剛度校核。

查表2-2，空心軸截面的極慣性矩為

I_P=π（D⁴-d⁴）/32=π（114⁴-102⁴）/32=5.95×10⁶（mm⁴）

由式（2-28）得

所以攪拌軸的剛度也足夠。

④求實心軸直徑。

如實心軸和空心軸的強度相等和所受的外力偶矩相同，則抗扭截面模量應相等，即

則

⑤空心軸與實心軸用鋼量比較。

即在相同情況下空心軸用鋼量為實心軸的39.5%，由此可見空心軸省料。因為圓軸扭轉時橫截面上剪應力分布不均勻，實心軸靠近中心部分剪應力很小，材料的強度遠沒有被充分利用，如果把這部分材料移到離圓心較遠的位置就可以提高材料強度的利用率。