第五節　直梁彎曲

一、彎曲變形的概念

當桿件受到垂直于桿軸線的力或力偶作用而變形時，桿的軸線將由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲。彎曲變形是工程實際中最常見的一種基本變形。如圖2-52所示高大的塔設備受風載荷作用；圖2-53所示起重機的橫梁受自重和起吊重物的作用；圖2-54所示臥式容器受到自重和內部物料重量的作用等都是產生彎曲變形的典型實例。工程上把以彎曲變形為主的桿件統稱為梁。

如果梁的軸線是在縱向對稱平面內產生彎曲變形，則稱為平面彎曲，如圖2-55所示。平面彎曲是彎曲問題中最基本和最常見的情況，故本節只研究直梁的平面彎曲問題。

常見的梁有以下三種。

（1）懸臂梁

一端固定，另一端自由的梁稱為懸臂梁。如圖2-52所示，高塔設備就可簡化為懸臂梁。

（2）簡支梁

一端為固定鉸鏈支座，而另一端為活動鉸鏈支座的梁稱為簡支梁。如圖2-53所示，起重機的橫梁即可簡化為一簡支梁。

（3）外伸梁

簡支梁的一端或兩端伸出支座以外的梁稱為外伸梁。如圖2-54所示，放在兩個鞍座上的臥式容器可簡化為一外伸梁。

簡支梁或外伸梁兩個支座間的距離稱為梁的跨度。

二、直梁彎曲時的內力

1.剪力和彎矩

梁在外力作用下，內部將產生內力。如圖2-56所示，為求出梁橫截面1-1上的內力，假想沿1-1截面將梁截為兩段，取其中一段（此處取左段）作為研究對象。在這段梁上作用的外力有支座約束反力R_A。截面上的內力應與這些外力相平衡。由靜力平衡方程∑F_y=0判斷截面上作用有沿截面的力Q，截面上還應有一個力偶M，以滿足平衡方程∑M_o=0，該力偶與外力對截面1-1形心O的力矩相平衡。內力Q稱為橫截面上的剪力。內力偶M稱為橫截面上的彎矩。因此，梁彎曲時的內力包括剪力Q與彎矩M。

運用靜力平衡方程求圖2-56中1-1和2-2截面上的剪力和彎矩。

利用靜力平衡方程可先求出支座反力R_A和R_B。1-1截面，如圖2-56（b），取左段為研究對象。

由方程

∑F_y=0，R_A-Q₁=0

得

Q₁=R_A

由

∑M_o=0，M₁-R_Ax₁=0

得

M₁=R_Ax₁

用同樣的方法，可求出2-2截面上的剪力和彎矩

Q₂=R_A-F

M₂=R_Ax₂-F（x₂-a）

上面是取橫截面1-1，2-2的左段梁為分離體進行分析所得到的剪力和彎矩。如果取橫截面1-1，2-2的右段梁為分離體進行分析，也可求得同樣大小的剪力和彎矩，但方向和轉向相反。這說明梁橫截面上內力的計算，與所取的分離體（左段梁或右段梁）無關。為方便起見，通常是選取外力比較簡單的左（右）段梁為分離體。如在計算橫截面2-2上的剪力和彎矩時，由于右段梁只有支座反力R_B作用，故取右段梁為分離體進行計算較為方便，如圖2-56（d）所示。

用截面法計算橫截面上的剪力和彎矩，是求彎曲內力的基本方法。在這一方法的基礎上，可直接由梁上的外力求截面上的剪力與彎矩。由上面的計算可以得到剪力、彎矩的計算法則如下。

某截面上剪力等于此截面一側所有外力的代數和。

某截面上彎矩等于此截面一側所有外力對該截面形心力矩的代數和。

即

Q=∑F

M=∑M_o（F）

為了使從左右兩段梁上求得的內力符號一致，根據梁的變形情況，對剪力與彎矩的符號作如下規定：以某一截面為界，左右兩段梁發生左上右下的相對錯動時，該截面上剪力為正，反之為負，如圖2-57（a）、（c）所示。若某截面附近梁彎曲呈上凹下凸狀時，該橫截面上的彎矩為正，反之為負，如圖2-57（b）、（d）所示。

由圖2-57（a）、（c）可看出，截面左側向上，右側向下的外力產生正剪力；截面左側向下，右側向上的外力產生負剪力。因此，由外力計算剪力時，截面左側向上的外力為正，向下的外力為負；截面右側情況與此相反，即“左上右下為正”。外力代數和為正時，剪力為正，反之為負。

由圖2-57（b）、（d）可看出，截面左側外力（包括力偶）對截面形心之矩為順時針轉向時產生正彎矩，逆時針轉向時產生負彎矩；截面右側情況與此相反。因此，由外力計算彎矩時可規定：截面左側對截面形心順時針的外力矩為正，反之為負；截面右側情況與此相反，即“左順右逆為正”。

2.剪力圖和彎矩圖

從上述求剪力和彎矩的方法可以看出，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化。若以坐標x表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩皆可表示為x的函數，即

Q=Q（x）

M=M（x）

上面的函數表達式，即為梁的剪力方程和彎矩方程。

與繪制軸力圖和扭矩圖一樣，也可用圖線表示梁各橫截面上剪力Q和彎矩M沿軸線變化的情況。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，或簡稱為Q圖和M圖。作圖的基本方法是，平行于梁軸線的坐標x表示梁橫截面的位置，縱坐標表示相應截面上的剪力和彎矩，正值畫在x軸的上方，負值畫在x軸的下方，并且在圖上標明端值。有了剪力圖和彎矩圖就能一目了然地看出剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，從而找出最大剪力和最大彎矩所在的橫截面位置及數值。在一般情況下，梁的破壞通常是發生在彎矩最大的橫截面，故彎矩絕對值最大的橫截面就是危險截面。因此，在進行梁的彎曲強度計算時，應以危險截面上的彎矩為依據。

［例2-9］　試作出圖2-56（a）所示梁的剪力圖和彎矩圖。

解：圖2-56（a）梁可簡化為圖2-58（a）。

①求支座反力。

利用靜力平衡方程可求出

②列剪力方程和彎矩方程。

由前面分析可知，AC段梁的剪力方程和彎矩方程為

CB段梁的剪力方程和彎矩方程為

③畫剪力圖和彎矩圖。

由上述方程可知，剪力Q₁、Q₂均為與x無關的常數。Q₁為正的常數，因此在Q-x圖上為一條平行于x軸的直線，且位于x軸的上方。Q₂為負的常數，因此在Q-x圖上也是一條水平直線，但位于x軸的下方。所以整個梁的剪力圖是由兩個矩形所組成，如圖2-58（b）所示。

由彎矩方程可知，AC段和CB段梁的彎矩M₁、M₂均為x的一次函數，故在M-x圖上均為斜直線，只要求出該直線上的兩點就可作圖。

AC段　在x₁=0處，M₁=0；在x₁=a處，。利用這兩個位置處的彎矩值，就可繪出AC段梁的彎矩圖。

CB段　在x₂=a處，；在x₂=l處，M₂=0。利用這兩個位置處的彎矩值，同樣可繪出CB段梁的彎矩圖。

如圖2-58（c）所示，整個梁的彎矩圖為一個三角形，最大彎矩發生在集中力F作用點處的橫截面上，此即危險截面，其最大彎矩值為

如果，則有

［例2-10］　如圖2-59（a）所示，填料塔內支承填料用的柵條可簡化為受均布載荷作用的簡支梁。已知梁所受的均布載荷集度為q（N/m），跨度為l（m）。試作該梁的剪力圖和彎矩圖。

解：①求支座反力。由對稱性可知

②列剪力方程和彎矩方程。

取梁左端A為坐標原點，以梁的軸線為x軸。在距左端為x的橫截面1-1處將梁切開，根據圖2-59（b）所示的分離體的平衡條件，得到的剪力方程和彎矩方程分別為

③作剪力圖和彎矩圖。由式（a）可知，剪力Q為x的一次函數，故在Q-x圖上是一條斜直線。只要求出任意兩個橫截面處的剪力值，就可確定這條斜直線的位置。如在x=0處，；在x=l處，。連接這兩點，即可畫出剪力圖如圖2-59（c）所示。

由式（b）可知，彎矩是x的二次函數，說明彎矩圖是一條拋物線。為此，至少要定出曲線上的三個點，才能近似地畫出彎矩圖。由

x=0，M=0

x=l，M=0

畫出彎矩圖，如圖2-59（d）所示。

由Q、M圖可知，最大剪力發生在梁的兩端，其值為；而最大彎矩發生在梁的中間截面，即l處，其值為，此即為危險截面。

三、純彎曲時橫截面上的應力

前面討論了梁彎曲時橫截面上的內力。在一般情況下，截面上既有彎矩又有剪力。為了使問題簡化，先討論只有彎矩而無剪力的所謂純彎曲的情況。梁在其兩端只受到在縱向對稱平面內的一對力偶作用時，其彎曲即屬于純彎曲。

為了分析彎曲時的應力及其分布規律，首先觀察梁純彎曲時的變形情況。如圖2-60所示，取一矩形截面梁，在它的側面畫上很多間距相等的縱向線與橫向線，然后在梁的兩端各作用一個力偶M，使其發生純彎曲。實驗結果表明：

①側面的縱向線彎曲成了弧線，而且向外凸出一側的縱向線伸長，凹進一側的縱向線縮短，中間一條縱向線長度不變；

②側面上的橫向線仍保持為直線，且仍垂直于梁的軸線。

可設想梁由許多縱向纖維組成，并且梁內部纖維的變形與表面纖維的變形相同。那么，在凸出一側的各層纖維都是伸長的，而凹進一側的纖維層是縮短的。中間的一層既不伸長也不縮短，稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，如圖2-61所示。由于代表橫截面的橫向線仍保持為直線，且仍垂直于梁的軸線，故梁變形時橫截面仍保持為平面，這就是彎曲變形的橫截面平面假設。

由以上實驗觀察，可判斷梁純彎曲時，橫截面上只有正應力。梁凸出一側的纖維層伸長，其應力為拉應力。凹側纖維層縮短，應力為壓應力。注意到梁變形時橫截面仍保持為平面的特點，可知，縱向纖維層的伸長或縮短與它到中性層的距離成正比，其應變也與此距離成正比。

根據變形現象及平面假設，從變形的幾何關系、物理關系、靜力平衡條件可以推導出純彎曲時橫截面上任一點的正應力計算公式為

　?。?-29）

式中　σ——橫截面上距中性軸為y的各點的正應力；

M——橫截面上的彎矩；

y——計算正應力的點到中性軸的距離；

I_z——橫截面對中性軸z的慣性矩，它表示截面的幾何性質，是一個僅與截面形狀和尺寸有關的幾何量，反映了截面的抗彎能力，常用單位有m⁴、cm⁴和mm⁴。

由式（2-29）可知：梁彎曲變形時，橫截面上任意點的正應力與該點到中性軸的距離成正比，亦即橫截面上的正應力沿截面高度按直線規律變化；中性軸上各點（y=0），正應力為零；離中性軸最遠的點，正應力最大，彎曲正應力沿截面寬度方向（距中性軸等距的各點）相同，如圖2-62所示。

由圖2-62可見，橫截面上離中性軸最遠的點（y=y_max），正應力值最大。

令

則

　?。?-30）

式中　M——截面上的彎矩，N·mm；

W_z——橫截面對中性軸z的抗彎截面模量，是一個僅與截面形狀和尺寸有關的幾何量，反映了截面的抗彎能力，單位為m³或mm³，常見截面的軸慣性矩I_z和抗彎截面模量W_z如表2-3所示。

式（2-29）和式（2-30）是梁在純彎曲的情況下建立起來的，對于橫力彎曲的梁，若其跨度l與截面高度h之比l/h大于5，仍可使用這些公式計算彎曲正應力。

四、梁的正應力強度計算

彎曲變形的梁，其橫截面上通常既有由彎矩引起的正應力，又有由剪力引起的剪應力。對于工程中常見的梁，理論分析表明，正應力是引起梁破壞的主要因素，所以要進行強度計算，首先要找出最大彎矩M_max的危險截面。對于等截面直梁，彎矩最大的截面就是危險截面。在危險截面上，離中性軸最遠的上下邊緣各點的應力最大，破壞往往就是從這些具有最大正應力的點開始。因此，為了保證梁能安全工作，最大工作應力σ_max應不得超過材料的許用彎曲應力。于是，梁彎曲正應力的強度條件為

　　（2-31）

式中，［σ］為彎曲許用應力，通常其值等于或略高于同一材料的許用拉（壓）應力。

利用梁的正應力強度條件，可以對梁進行強度校核；確定梁的截面形狀和尺寸；計算梁的許可載荷。

［例2-11］　如圖2-63所示，分餾塔高H=20m，作用于塔上的風載荷分兩段計算：q₁=420N/m，q₂=600N/m；塔內徑為1000mm，壁厚6mm，塔與基礎的連接方式可看成固定端。塔體的許用應力［σ］=100MPa。試校核塔體的彎曲強度。

解：①求最大彎矩值。

將塔簡化為受均布載荷q₁、q₂作用的懸臂梁，由前面的知識畫出其彎矩圖，如圖2-63（b）所示。由圖可見，在塔底截面彎矩值最大，其值為

②校核塔的彎曲強度。

由表2-3查得，塔體抗彎截面模量為

W_z=πd²δ/4=π×1000²×6/4=4.7×10⁶（mm³）

塔體因風載荷引起的最大彎曲應力為

所以塔體在風載荷作用下強度足夠。

五、提高彎曲強度的主要措施

提高梁的強度，就是在材料消耗最低的前提下，提高梁的承載能力，從而滿足既安全又經濟的要求。

從彎曲強度條件

可以看出，要提高梁的承載能力，應從兩方面考慮。一方面是合理安排梁的受力情況，以降低M_max的數值；另一方面則是采用合理截面，以提高抗彎截面模量W_z的數值，充分利用材料的性能。

1.降低最大彎矩值M_max

梁的最大彎矩值M_max不僅取決于外力的大小，而且還取決于外力在梁上的分布。力的大小由工作需要而定，而力在梁上分布的合理性，可通過支座與載荷的合理布置達到。

如圖2-64（a）所示，在均布載荷作用下的簡支梁，最大彎矩為

若將兩端支承各自向里移動0.2l，如圖2-64（b）所示，則最大彎矩減小為

僅為前者的1/5?；S里的臥式儲罐的支座就是這樣布置的，這使得因儲罐和物料自重引起的罐壁彎曲應力較小，如圖2-65所示。

如圖2-66（a）所示簡支梁AB，集中力F作用于梁的中點，則M_max=Fl/4。若按圖2-66（b）所示，將F移至距支座A點l/6處，則M_max=5Fl/36。相比之下，后者的最大彎矩就減少近一半。工程上常使梁上的集中力靠近支座作用，這可大大減小梁的最大彎矩值。

2.選擇合理的截面形狀

若把彎曲正應力的強度條件改寫成

M_max≤［σ］W_z

可見，梁可能承受的M_max與抗彎截面模量W_z成正比，W_z越大越有利。另一方面，使用材料的多少與自重的大小，則與截面面積A成反比，面積越小越經濟，越輕巧。因而合理的截面形狀應該是截面積A較小而抗彎截面模量W_z較大，可用比值W_z/A來衡量截面形狀的合理性和經濟性?，F將幾種常用截面的比值W_z/A列于表2-4。

從表中所列數值可看出，工字鋼或槽鋼優于環形，環形優于矩形，矩形優于圓形。其原因是中性軸附近的正應力很小，該處材料的作用未充分發揮，將它們移置到離中性軸較遠處，可使材料得到充分利用。由此，選擇合理截面的原則是使盡量多的材料分布到彎曲正應力較大的、遠離中性層的邊緣區域，在中性層附近區域留用少量材料，以使材料得到充分利用。所以橋式起重機的大梁以及其他鋼結構中的抗彎桿件，經常采用工字形、槽形等截面。