第二節(jié)　軸向拉伸與壓縮

一、軸向拉伸與壓縮的概念

承受拉伸或壓縮的桿件，工程實際中是很常見的。例如：圖2-26（a）所示壓力容器法蘭的連接螺栓，就是受拉伸的桿件，而圖2-26（c）所示容器的支腳和圖2-27所示千斤頂?shù)穆輻U則是受壓縮的桿件。這類桿件的受力特點是：作用在直桿兩端的外力大小相等、方向相反，且外力的作用線與桿的軸線重合。其變形特點是：沿著桿的軸線方向伸長或縮短。這種變形稱為軸向拉伸或軸向壓縮。

二、軸向拉伸與壓縮時橫截面上的內力

1.內力的概念

研究構件的強度時，把構件所受作用力分為外力與內力。外力是指其他構件對所研究構件的作用力，它包括載荷（主動力）和約束反力。內力是指構件為抵抗外力作用，在其內部產生的各部分之間的相互作用力。內力隨外力的增大而增大，但內力的增大是有限度的，當達到一定限度時，構件就要破壞。這說明構件的破壞與內力密切相關。因此，計算構件的強度時，首先應求出在外力作用下構件內部所產生的內力。

2.截面法

求內力普遍采用的方法是截面法。即欲求某截面上的內力時，就假想沿該截面將構件截開，然后在截面標示出內力，再應用靜力平衡方程求出內力。如圖2-28（a）所示，桿件受拉力F作用，假想沿m—n截面將桿件截為兩段，任取其中一段（此處取左段）作為研究對象，如圖2-28（b）所示，由于各段仍保持平衡狀態(tài)，所以在橫截面上有力N作用，它代表著桿右段對左段的作用，這個力就是截面m—n上的內力。由于內力是分布在整個截面上的力，所以，應把集中力N理解為這些分布力的合力。它的大小可由靜力平衡方程求得

∑F_x=0　　N-F=0

N=F

如取右段為研究對象，則可求出右段上的內力N'=F，如圖2-28（c）所示。力N與N'是左右兩段的相互作用力，它們必然大小相等、方向相反。

軸向拉壓時，橫截面上的內力與桿件的軸線相重合，這種內力稱為軸力，常用符號N表示。通常規(guī)定，拉伸時的軸力為正；壓縮時的軸力為負。

當桿件受到兩個以上的軸向外力作用時，則在桿的不同段內將有不同的軸力。為了清晰地表示桿件各橫截面上的軸力，常把軸力隨橫截面位置的改變而變化的情況用圖線表示出來。一般是以直桿的軸線為橫坐標，表示橫截面的位置，而以垂直于桿軸線的坐標為縱坐標，表示橫截面上的軸力，按一定的比例，正的軸力畫在橫坐標上方，負的畫在下方，這樣繪制出來的圖形，稱為軸力圖。軸力圖可反映軸力沿桿軸線的變化情況。

［例2-5］　如圖2-29所示，構件受力F₁、F₂、F₃作用，求截面1-1、2-2上的內力，并畫出構件的軸力圖。

解：①求截面1-1上的內力。

假想在1-1處將桿件截為兩段，取左段為研究對象，畫出受力圖如圖2-29（b）所示。由靜力平衡方程∑F_x=0得

N₁-F₁=0

N₁=F₁=1（kN）

AC段各橫截面的內力均為N₁=1kN。

②求截面2-2上的內力。

從2-2處“截開”桿件后，其左段的受力圖如圖2-29（c）所示。由靜力平衡方程得

N₂-F₁+F₃=0

N₂=F₁-F₃=1-3=-2（kN）

截面2-2上的內力N₂為負值，說明實際方向與假定方向（受拉）相反，為壓力2kN。CB段各橫截面的內力均為N₂=-2kN。

③畫軸力圖。取N-x坐標系，由于每段內各橫截面上的軸力不變，根據(jù)N₁、N₂的大小，按適當?shù)谋壤⒆⒁?i>N₁、N₂的正負號，在各段桿長范圍內畫出兩條水平線，即可得到該構件的軸力圖，如圖2-29（d）所示。

從軸力圖上便可確定最大軸力的數(shù)值及其所在的橫截面位置。在此例中，CB段的軸力最大，即|N_max|=|N₂|=2kN且為壓力。

三、軸向拉伸與壓縮時橫截面上的應力

求出拉壓桿件的軸力之后，還不能判斷桿件的強度是否足夠。例如兩根材料相同，粗細不等的桿件，在相同拉力作用下，它們的內力是相等的。當拉力逐漸增大時，細桿必然先被拉斷。這說明桿件的強度不僅與內力有關，還與橫截面面積有關。實驗證明，桿件的強度須用單位面積上的內力來衡量。單位面積上的內力稱為應力。應力達到一定程度時，桿件就發(fā)生破壞。

取一等截面直桿作試件，如圖2-30所示，在其表面上畫出兩條垂直于桿軸線的橫向線ab和cd，代表兩個橫截面，然后對其施加拉伸載荷F。

在受到拉伸后，試件產生變形，可以看到，ab、cd分別平移到a'b'和c'd'位置，如圖2-30（a）所示，且各線段仍與桿件軸線垂直。根據(jù)這一實驗現(xiàn)象，可以做出一個重要的假設：桿件變形前為平面的各橫截面，在變形后仍為平面。這個假設稱為橫截面平面假設。

設想桿件是由無數(shù)條與軸線平行的縱向纖維構成，由平面假設推斷，縱向纖維產生了相同的伸長量。因此，各縱向纖維的受力也相同。由此可知，桿件受拉伸或壓縮時，其橫截面上的內力是均勻分布的。因而，橫截面上的應力也是均勻分布的，它的方向與橫截面垂直，稱為正應力，如圖2-30（b）所示，其計算公式為

　　（2-12）

式中　N——橫截面上的軸力，N；

A——橫截面面積，mm²。

當正應力σ的作用使構件拉伸時σ為正，壓縮時σ為負。

應力的單位是N/m²，稱為帕（Pa）。因這個單位太小，還常用兆帕（MPa）。

1MPa=10⁶Pa=10⁶N/m²=1N/mm²

四、軸向拉伸與壓縮時的強度計算

桿件是由各種材料制成的。材料所能承受的應力是有限度的，且不同的材料，承受應力的限度也不同，若超過某一極限值，桿件便發(fā)生破壞或產生過大的塑性變形，因強度不夠而喪失正常的工作能力。因此，工程中對各種材料，規(guī)定了保證桿件具有足夠的強度所允許承擔的最大應力值，稱為材料的許用應力。顯然，只有當桿件中的最大應力小于或等于其材料的許用應力時，桿件才具有足夠的強度。許用應力常用符號［σ］表示。

為了保證拉、壓桿具有足夠的強度，必須使其最大正應力σ_max（稱為工作應力）小于或等于材料在拉伸（壓縮）時的許用正應力［σ］，即

　　（2-13）

式（2-13）稱為拉（壓）桿的強度條件，是拉（壓）桿強度計算的依據(jù)。產生σ_max的截面，稱為危險截面。等截面直桿的危險截面位于軸力最大處，而變截面桿的危險截面，必須綜合軸力N和橫截面面積A兩方面來確定。

根據(jù)強度條件，可解決以下三方面的問題。

（1）強度校核

已知構件所受載荷、截面尺寸和材料的情況下，強度是否滿足要求，可由式（2-13）決定。符合σ_max≤［σ］為強度足夠，安全可靠；不符合，則強度不夠，表明構件工作不安全。

（2）設計截面

已知構件所受的載荷和所用材料，則構件的橫截面面積可由下式?jīng)Q定

　　（2-14）

（3）計算許可載荷

已知構件橫截面面積及所用材料就可以按下式計算構件所能承受的最大軸力，即

N_max≤［σ］A　　 （2-15）

根據(jù)構件的受力情況，確定構件的許用載荷。

對上述三類問題的計算，根據(jù)有關設計規(guī)范，最大應力不允許超過許用應力的5%。

［例2-6］　如圖2-31所示，儲罐每個支腳承受的壓力F=90kN，它是用外徑為140mm，內徑為131mm的鋼管制成的。已知鋼管許用應力［σ］=120MPa，試校核支腳的強度。

解：支腳的軸力為壓力

N=F=90（kN）

支腳的橫截面面積

壓應力

所以支腳的強度足夠。

五、軸向拉伸與壓縮時的變形

1.變形分析

桿件受拉壓作用時，它的長度將發(fā)生變化，拉伸時伸長，壓縮時縮短。

設桿件原長為l，拉伸或壓縮后長度為l₁（圖2-32），則桿件的伸長量Δl為

Δl=l₁-l

Δl稱為絕對變形，拉伸時Δl>0，壓縮時Δl<0。原長不等的桿件，其變形Δl相等時，它們變形的程度并不相同。因此，用Δl與原長l的比值表示桿件的變形程度，即

　　（2-16）

式中，ε稱為相對變形，也稱為應變。它是一個無因次量，工程中也用百分數(shù)表示。

桿件軸向伸長（或縮短）時，它的橫向尺寸將縮短（或伸長），若桿件的橫向尺寸原為d，受拉時變?yōu)?i>d₁（圖2-32），則桿件橫向縮短為

Δd=d₁-d

橫向的相對變形，即橫向應變ε'為

橫向應變ε'與軸向應變ε之比的絕對值稱為橫向變形系數(shù)或泊松比μ。即

μ也是一個無因次量，對于一定的材料，μ為定值。如鋼材的μ值一般為0.3左右。

2.虎克定律

實驗證明，桿件受拉伸或壓縮作用時，變形與軸力之間存在一定的關系。當應力未超過某一限度（稱為材料的比例極限）時，桿件的絕對變形Δl與軸力N、原長l成正比，而與桿件的橫截面面積成反比，即

引進比例系數(shù)E，可將上式寫成等式

　　（2-17）

式中，E僅與材料的性能有關，稱為材料的拉壓彈性模量。這個關系稱為拉壓虎克定律。

將式（2-17）等式兩邊各除以原長l，則得

　　（2-18）

這是虎克定律的另一種表達形式：當應力未超過材料的比例極限時，桿件的應力與應變成正比。

對于某種材料，在一定溫度下，E有一確定的數(shù)值。常用材料在常溫下的E值列于表2-1中。須注意ε無單位，E的單位與應力的單位相同，即常采用Pa或MPa。

六、典型材料拉伸與壓縮時的力學性能

所謂材料的力學性能（機械性能），是指材料從開始受力到破壞為止的整個過程中所表現(xiàn)出來的各種性能，如彈性、塑性、強度、韌性、硬度等。這些性能指標是進行強度、剛度設計和選擇材料的重要依據(jù)。

低碳鋼和鑄鐵是工程上常用的兩類典型材料，它們在拉伸和壓縮時所表現(xiàn)出來的力學性能具有廣泛的代表性。這里主要介紹這兩種材料在常溫靜載下受拉伸和壓縮時所表現(xiàn)出來的力學性能。

1.低碳鋼拉伸時的力學性能

試驗前，把要進行試驗的材料做成如圖2-33所示的標準拉伸試件，其標距l有l=5d和l=10d兩種規(guī)格。試驗時，將試件的兩端裝夾在試驗機上后，在其上施加緩慢增加的拉力，直到把試件拉斷為止。在不斷緩慢增加拉力的過程中，試件的伸長量Δl也逐漸增大。在試驗機的測力表盤上可以讀出一系列的拉力F值，同時可以測出與每一個F值所對應的Δl值。若以伸長量Δl為橫坐標，以拉力F為縱坐標，可以做出拉力F與絕對變形Δl關系的曲線——拉伸圖。一般的試驗機上有自動繪圖裝置，可以自動繪出拉伸圖。

為了消除試件尺寸的影響，將拉力F除以試件橫截面面積A得σ，又將Δl除以試件原標距l得ε。以應力σ為縱坐標、應變ε為橫坐標，可以得到應力應變關系曲線——應力應變圖（或稱σ-ε曲線），如圖2-34所示。以Q235鋼的σ-ε曲線為例，討論低碳鋼在拉伸時的力學性能。

（1）比例極限σ_p

σ-ε曲線的oa段是斜直線，這說明試件的應變與應力成正比，材料符合虎克定律σ=Eε。oa段的斜率tanα=E，直線部分最高點a點所對應的應力值σ_p，是材料符合虎克定律的最大應力值，稱為材料的比例極限。Q235鋼的比例極限σ_p≈200MPa。

（2）彈性極限σ_e

當應力超過材料比例極限σ_p后，圖上aa'已不是直線，這說明應力與應變不再成正比，材料不符合虎克定律。但是，當應力值不超過a'點對應的應力值σ_e時，拉力F解除后，變形也完全隨之消失，試件恢復原長，材料只出現(xiàn)彈性變形。應力值若超過σ_e，即使把拉力F全部解除，試件也不能恢復原長，會保留有殘余變形，這部分不可恢復的殘余變形稱為塑性變形。a'點對應的應力值σ_e是材料只出現(xiàn)彈性變形的極限應力值，稱為彈性極限。實際上a'與a兩點非常接近，在應用時通常對比例極限和彈性極限不作嚴格區(qū)分。Q235鋼的彈性極限σ_e近似等于200MPa。

試件的應力在從零緩慢增加到彈性極限σ_e的過程中，只產生彈性變形，不產生塑性變形，故σ-ε曲線上從o至a'這一階段叫彈性階段。

（3）屈服極限（屈服點σ_s）

當應力超過彈性極限σ_e后，σ-ε圖上出現(xiàn)一段近似與橫坐標軸平行的小鋸齒形曲線bc。說明這一階段應力雖有波動，但幾乎沒有增加，而變形卻在明顯增加，材料好像失去了抵抗變形的能力。這種應力大小基本不變而應變顯著增加的現(xiàn)象稱為屈服或流動。圖上從b至c所對應的過程叫屈服階段。這一階段應力波動的最低值σ_s稱為材料的屈服點。如果試件表面光滑，可在試件表面上看到與軸線成45°角的條紋，如圖2-35所示。一般認為，這是材料內部的晶粒沿最大剪應力方向相對滑移的結果，這種滑移是造成塑性變形的根本原因。因此，屈服階段的變形主要是塑性變形。塑性變形在工程上一般是不允許的，所以屈服點σ_s是材料的重要強度指標。Q235鋼的σ_s=235MPa。

（4）強度極限σ_b

經(jīng)過屈服階段以后，曲線從c點開始逐漸向上凸起，這意味著要繼續(xù)增加應變，必須增加應力，材料恢復了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為材料的強化。從c點到d點所對應的過程叫強化階段，曲線最高點d對應的應力σ_b是試件斷裂前所承受的最大應力值，稱為強度極限。強度極限σ_b是表示材料強度的另一個重要指標。Q235鋼的強度極限σ_b≈400MPa。

在應力值小于強度極限σ_b時，試件的變形是均勻的。當應力達到σ_b后，在試件的某一局部，縱向變形顯著增加，橫截面積急劇減小，出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象，如圖2-36所示，試件被迅速拉斷。頸縮現(xiàn)象出現(xiàn)后，試件繼續(xù)變形所需的拉力F也相應減小，用原始面積算出的應力值F/A也隨之下降，所以σ-ε曲線出現(xiàn)了de部分。在e點試件斷裂。曲線上從d點至e點所對應的過程叫頸縮階段。

（5）伸長率δ和斷面收縮率ψ

伸長率

式中　l₀——試件標距；

l₁——試件拉斷后的長度；

l₁-l₀——塑性變形。

δ值的大小反映材料塑性的好壞。工程上一般把δ>5%的材料稱為塑性材料，如低碳鋼、銅、鋁等；將δ<5%的材料稱為脆性材料，如鑄鐵等。Q235鋼的δ=25%～27%。

斷面收縮率

式中　A₀——試件橫截面原始面積；

A₁——試件斷口處的橫截面面積。

ψ值的大小也反映材料的塑性好壞。Q235鋼的ψ=60%，它是典型的塑性材料。

2.其他塑性材料拉伸時的力學性能

圖2-37（a）為伸長率δ>10%的幾種沒有明顯屈服階段的塑性材料拉伸時的力學性能。由它們的應力-應變曲線圖可以看出，在拉伸的開始階段，σ-ε也成直線關系（青銅除外），符合虎克定律。與Q235鋼相比，這些塑性材料并沒有明顯的屈服階段。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，工程上常采用名義屈服極限σ_0.2作為其強度指標。σ_0.2是產生0.2%塑性應變時的應力值，如圖2-37（b）所示。

3.灰鑄鐵拉伸時的力學性能

灰鑄鐵靜拉伸試驗的σ-ε曲線，如圖2-38所示。應力應變曲線沒有真正的直線部分，但是在較小的應力范圍內很接近于直線。這說明在應力不大時，可近似地認為灰鑄鐵符合虎克定律。

灰鑄鐵沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，斷裂時塑性變形很小，伸長率一般只有0.5%～0.6%，斷口較平齊。灰鑄鐵的拉伸強度極限較低，其σ_b在100～200MPa之間，故一般不用灰鑄鐵作承受拉伸的構件。

4.低碳鋼壓縮時的力學性能

將低碳鋼做成高與直徑之比為1.5～3的圓柱形試件，并在萬能材料試驗機上進行壓縮試驗。其σ-ε曲線如圖2-39所示，圖中虛線表示拉伸時的σ-ε曲線。我們發(fā)現(xiàn)，在屈服階段以前，壓縮時的力學性能與拉伸時的力學性能相同，即比例極限σ_p、屈服點σ_s和彈性模量E都與拉伸時相同。但過了屈服階段后，隨著壓力的增大，試件越壓越扁，試件的橫截面積也不斷地增大，試件不會斷裂，所以低碳鋼壓縮時不存在強度極限σ_b。

5.灰鑄鐵壓縮時的力學性能

灰鑄鐵壓縮試驗時的σ-ε曲線如圖2-40所示。曲線上也沒有真正的直線部分，材料只是近似地符合虎克定律，壓縮過程中沒有屈服現(xiàn)象。灰鑄鐵壓縮破壞時，變形很小，而且是沿著與軸線大致成45°的斜截面斷裂。值得注意的是，灰鑄鐵的抗壓強度極限比抗拉強度極限大約高4倍，故常用灰鑄鐵等脆性材料作承受壓縮的構件。

6.許用應力

材料喪失正常工作能力時的應力，稱為極限應力。通過對材料力學性能的研究，知道塑性材料和脆性材料的極限應力分別為屈服點和強度極限。為了確保構件在外力作用下安全可靠地工作，考慮到由于理論計算的近似性和實際材料的不均勻性，當構件中的應力接近極限應力時，構件就處于危險狀態(tài)。為此，必須給構件工作時留有足夠的強度儲備。即將極限應力除以一個大于1的系數(shù)n作為構件工作時允許產生的最大應力，這個應力稱為許用應力，常以［σ］表示。

對于塑性材料

對于脆性材料

式中，n_s、n_b分別為屈服安全系數(shù)和斷裂安全系數(shù)，它的選取涉及安全與經(jīng)濟的問題。根據(jù)有關設計規(guī)范，對一般構件常取n_s=1.5～2、n_b=2～5。

7.應力集中

受軸向拉伸或壓縮的等截面直桿，其橫截面上的應力是均勻分布的。但實際工程中，這樣外形均勻的等截面直桿是不多見的。由于結構和工藝等方面的要求，桿件上常常帶有孔、槽等結構。在這些地方，桿件的截面形狀和尺寸有突然的改變。實驗證明，在桿件截面發(fā)生突變的地方，即使是在最簡單的軸向拉伸或壓縮的情況下，截面上的應力也不再是均勻分布的。而在開槽、開孔、切口等截面發(fā)生驟變的區(qū)域，應力局部增大，如圖2-41所示，它是平均應力的數(shù)倍，并且經(jīng)常出現(xiàn)桿件在截面突然改變處斷裂，離開這個區(qū)域，應力就趨于平均。這種由于截面突然改變而引起的應力局部增高的現(xiàn)象，稱為應力集中。

實驗證明，截面尺寸改變得越急劇，應力集中程度就越嚴重，局部區(qū)域出現(xiàn)的最大應力σ_max就越大。由于應力集中對桿件的工作是不利的，因此，在設計時盡可能設法降低應力集中的影響。為此，桿件上應盡可能避免用帶尖角的孔和槽，在階梯軸的軸肩處要用圓弧過渡。

化工容器在開孔接管處也存在應力集中，在這些區(qū)域附近常需采用補強結構，以減緩應力集中的影響。