第一節(jié)　物體的受力分析

一、力的概念與基本性質(zhì)

1.力的概念

力的概念是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐中建立起來(lái)的。力是物體間相互的機(jī)械作用，這種作用使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變或使物體產(chǎn)生變形。

使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的效應(yīng)稱(chēng)為力的外效應(yīng)。如人推小車(chē)，小車(chē)由靜止變?yōu)檫\(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度由慢變快，或者使運(yùn)動(dòng)方向有了改變。

使物體產(chǎn)生變形的效應(yīng)稱(chēng)為力的內(nèi)效應(yīng)。如彈簧受拉力作用會(huì)伸長(zhǎng)；橋式起重機(jī)的橫梁在起吊重物時(shí)要彎曲；鍛壓加工時(shí)工件會(huì)變形等。

力的外效應(yīng)和力的內(nèi)效應(yīng)總是同時(shí)產(chǎn)生的，在一般情況下，工程上用的構(gòu)件大多是用金屬材料制成的，它們都具有足夠的抵抗變形的能力，即在外力的作用下，它們產(chǎn)生的變形是微小的，對(duì)研究力的外效應(yīng)影響不大，在靜力分析中，可以將其變形忽略不計(jì)。在外力作用下永不發(fā)生變形的物體稱(chēng)為剛體。本節(jié)以剛體為研究對(duì)象，只討論力的外效應(yīng)。

實(shí)踐證明，力對(duì)物體的作用效應(yīng)，由力的大小、方向和作用點(diǎn)的位置所決定，這三個(gè)因素稱(chēng)為力的三要素。當(dāng)這三個(gè)要素中任何一個(gè)改變時(shí)，力的作用效果就會(huì)改變。如用扳手?jǐn)Q螺母時(shí)，作用在扳手上的力，其大小、方向或作用點(diǎn)位置不同，產(chǎn)生的效果就不一樣。

力是一個(gè)具有大小和方向的矢量，圖示時(shí)，常用一個(gè)帶箭頭的線(xiàn)段表示，線(xiàn)段長(zhǎng)度AB按一定比例代表力的大小，線(xiàn)段的方位和箭頭表示力的方向，其起點(diǎn)或終點(diǎn)表示力的作用點(diǎn)，如圖2-1所示。書(shū)面表達(dá)時(shí)，用黑體字如F代表力矢量，并以同一字母非黑體字F代表力的大小。

工程上作用在構(gòu)件上的力，常以下面兩種形式出現(xiàn)。

（1）集中力

集中作用在很小面積上的力，一般可以把它近似地看成作用在某一點(diǎn)上，稱(chēng)其為集中力。如圖2-1所示的力F，其單位為“牛頓”（N）或“千牛頓”（kN）。

（2）分布載荷

連續(xù)分布在一定面積或體積上的力稱(chēng)為分布載荷。如果分布載荷的大小是均勻的就稱(chēng)為均布載荷。均布載荷中，單位長(zhǎng)度上所受的力稱(chēng)為載荷集度，用q表示，其單位為“牛頓/米”（N/m）或“千牛頓/米”（kN/m）。如臥式容器的自重、塔設(shè)備所受的風(fēng)載荷都可簡(jiǎn)化為均布載荷。

2.力的基本性質(zhì)

力的性質(zhì)反映了力所遵循的客觀(guān)規(guī)律，它們是進(jìn)行構(gòu)件受力分析、研究力系簡(jiǎn)化和力系平衡的理論依據(jù)。

力的基本性質(zhì)由靜力學(xué)公理來(lái)說(shuō)明。

公理一　二力平衡公理

作用在剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的必要和充分條件是：這兩個(gè)力大小相等、方向相反，且作用在同一直線(xiàn)上。

該公理指出了剛體平衡時(shí)最簡(jiǎn)單的性質(zhì)，是推證各種力系平衡條件的依據(jù)。

凡是可以不計(jì)自重且只在兩點(diǎn)受力而處于平衡的構(gòu)件，稱(chēng)為二力構(gòu)件。二力構(gòu)件的形狀可以是直線(xiàn)形的，也可以是彎曲的，因只有兩個(gè)受力點(diǎn)，根據(jù)平衡公理，力的方向必在兩受力點(diǎn)連線(xiàn)上。在結(jié)構(gòu)中找出二力構(gòu)件，對(duì)物體的受力分析至關(guān)重要。

公理二　力的平行四邊形公理

作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力，其合力也作用在該點(diǎn)上，合力的大小和方向由以這兩個(gè)力為鄰邊所作的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)確定。有矢量合成法則：

F=F₁+F₂

該公理說(shuō)明了力的可加性，它是力系簡(jiǎn)化的依據(jù)。

如圖2-2所示，F即為F₁和F₂的合力。F的大小可以由余弦定理計(jì)算，F的方向可以用它與F₁（或F₂）之間的夾角α（或β）來(lái)表示。

　?。?-1）

力的平行四邊形公理是力系合成的依據(jù)，也是力分解的法則，在實(shí)際問(wèn)題中，常將合力沿兩個(gè)互相正交的方向分解為兩個(gè)分力，稱(chēng)為合力的正交分解。

公理三　加減平衡力系公理

在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，不會(huì)改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效應(yīng)。

如圖2-3（a）所示，一剛體受力F作用，作用點(diǎn)為A；沿力的作用線(xiàn)上另一點(diǎn)B處加上等值、反向的兩個(gè)力F₁和F₂，如圖2-3（b）所示，且F₁=F₂=F。由于F₁與F構(gòu)成平衡力系，可除去。此時(shí)，原剛體就受力F₂的作用，如圖2-3（c）所示，而與原來(lái)在F作用下等效。由此，有下面的推論：

作用在剛體上某點(diǎn)的力，沿其作用線(xiàn)移到剛體內(nèi)任一點(diǎn)，不改變它對(duì)剛體的作用。這就是力的可傳性原理。例如，實(shí)踐中用力拉車(chē)和用等量同方向的力去推車(chē)，效果是一樣的。

由力的可傳性原理可以看出，作用于剛體上的力的三要素為：力的大小、方向和力的作用線(xiàn)位置，不再?gòu)?qiáng)調(diào)力的作用點(diǎn)。

需要說(shuō)明的是，公理一、公理三及其推論只對(duì)剛體適用，而不適用于變形體。

公理四　作用力與反作用力公理

當(dāng)甲物體給乙物體一作用力時(shí)，甲物體也同時(shí)受到乙物體的反作用力，且兩個(gè)力大小相等、方向相反、作用在同一直線(xiàn)上。

如圖2-4所示，重物給繩一個(gè)向下的拉力T_A，同時(shí)繩作用在重物上一個(gè)向上的拉力T'_A，T_A與T'_A互為作用力與反作用力。由此可見(jiàn)，力總是成對(duì)出現(xiàn)的。由于作用力與反作用力分別作用在兩個(gè)不同物體上，因而它們不是平衡力。

二、約束及約束反力

凡是對(duì)一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）起限制作用的其他物體，都稱(chēng)為這個(gè)物體的約束。

能使物體運(yùn)動(dòng)或有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力稱(chēng)為主動(dòng)力，主動(dòng)力往往是給定的或已知的。如圖2-4物體所受重力G即為主動(dòng)力。

約束既然限制物體的運(yùn)動(dòng)，也就給予該物體以作用力，約束對(duì)被約束物體的作用力稱(chēng)為約束反力，簡(jiǎn)稱(chēng)反力。如圖2-4所示，繩給重物的作用力T'_A就是約束反力。約束反力的方向總是與約束所阻止的物體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反。

約束反力的方向與約束本身的性質(zhì)有關(guān)。下面介紹幾種工程中常見(jiàn)的約束類(lèi)型及其相應(yīng)的約束反力。

1.柔性約束

繩索、鏈條、膠帶等柔性物體形成的約束即為柔性約束。柔性物體只能承受拉力，而不能受壓。作為約束，它只能限制被約束物體沿其中心線(xiàn)伸長(zhǎng)方向的運(yùn)動(dòng)，而無(wú)法阻止物體沿其他方向的運(yùn)動(dòng)。因此，柔性約束產(chǎn)生的約束反力，通過(guò)接觸點(diǎn)沿著柔體的中心線(xiàn)背離被約束物體（使被約束物體受拉）。如圖2-4所示，重物受柔體約束反力T'_A的作用。

2.光滑面約束

一些不計(jì)摩擦的支承表面，如導(dǎo)軌、氣缸壁等產(chǎn)生的約束稱(chēng)為光滑面約束。這種約束只能阻止物體沿著接觸點(diǎn)公法線(xiàn)方向的運(yùn)動(dòng)，而不限制離開(kāi)支承面和沿其切線(xiàn)方向的運(yùn)動(dòng)。因此，光滑面約束反力的方向是通過(guò)接觸點(diǎn)并沿著公法線(xiàn)，指向被約束的物體。如圖2-5（a）所示，在主動(dòng)力G的作用下， 物體有向下運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，而約束反力N則沿著公法線(xiàn)垂直向上，指向圓心。圖2-5（b）所示為軸架在V形鐵上， V形鐵對(duì)軸的約束反力N₁、N₂沿接觸斜面的法線(xiàn)方向，指向軸的圓心。

3.固定鉸鏈約束

如圖2-6（a）所示，被連接件A只能繞銷(xiāo)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，而不能沿銷(xiāo)軸半徑方向移動(dòng)。這種結(jié)構(gòu)對(duì)構(gòu)件A的約束就稱(chēng)為固定鉸鏈約束。固定鉸鏈約束通常簡(jiǎn)化為如圖2-6（b）或（c）所示的力學(xué)模型，其約束反力的作用線(xiàn)通過(guò)鉸鏈中心，但其方向待定，可先任意假設(shè)。常用水平和鉛垂兩個(gè)方向的分力來(lái)表示，如圖2-6（b）、（c）中的N_x、N_y所示。

4.活動(dòng)鉸鏈約束

如圖2-7（a）所示，在鉸鏈支座下面裝幾個(gè)輥軸，就成為活動(dòng)鉸鏈支座?；ず褪脱b置中的一些管道、臥式容器及橋梁等，為了適應(yīng)較大的溫度變化而產(chǎn)生的伸長(zhǎng)或收縮，應(yīng)允許支座間有稍許的位移，這些支座可簡(jiǎn)化為活動(dòng)鉸鏈約束，其力學(xué)模型見(jiàn)圖2-7（b）。

活動(dòng)鉸鏈約束不限制物體沿支承面切線(xiàn)方向的運(yùn)動(dòng)，只能限制物體沿支承面的法線(xiàn)方向壓入支承面的運(yùn)動(dòng)，其約束反力與光滑面約束相似，方向是沿著支承面法線(xiàn)通過(guò)鉸鏈中心指向物體，如圖2-7（b）所示。

工程實(shí)際中的軸承約束?？珊?jiǎn)化為固定鉸鏈或活動(dòng)鉸鏈。

5.固定端約束

物體的一部分固嵌于另一物體所構(gòu)成的約束，稱(chēng)為固定端約束，如圖2-8（a）所示。例如，建筑物中的陽(yáng)臺(tái)、插入地面的電線(xiàn)桿、塔設(shè)備底部的約束和插入建筑結(jié)構(gòu)內(nèi)部的懸臂式管架等，這些工程實(shí)例都可抽象為固定端約束。固定端約束既不允許構(gòu)件作縱向或橫向移動(dòng)，也不允許構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)。其力學(xué)模型如圖2-8（b）所示。

固定端約束所產(chǎn)生的約束反力比較復(fù)雜，一般在平面力系中常簡(jiǎn)化為三個(gè)約束反力N_x、N_y、m，如圖2-8（b）所示。

三、受力圖

靜力分析主要解決力系的簡(jiǎn)化與平衡問(wèn)題。為了便于分析計(jì)算，應(yīng)將所研究物體的受力情況用圖形全部表示出來(lái)。為此，需將所研究物體假想地從相互聯(lián)系的結(jié)構(gòu)中“分離”出來(lái)，單獨(dú)畫(huà)出。這種從周?chē)矬w中單獨(dú)隔離出來(lái)的研究對(duì)象，稱(chēng)為分離體。將研究對(duì)象所受到的所有主動(dòng)力和約束反力，無(wú)一遺漏地畫(huà)在分離體上，這樣的圖形稱(chēng)為受力圖。

通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明受力圖的畫(huà)法。

［例2-1］　如圖2-9（a）所示，水平梁AB用斜桿CD支撐，A、D、C三處均為圓柱鉸鏈連接。水平梁的重力為G，其上放置一個(gè)重為Q的電動(dòng)機(jī)。如斜桿CD所受的重力不計(jì)，試畫(huà)出斜桿CD和水平梁AB的受力圖。

解：①斜桿CD的受力圖。如圖2-9（b）所示，將斜桿解除約束作為分離體。該桿的兩端均為圓柱鉸鏈約束，在不計(jì)斜桿自身重力的情況下，它只受到桿端兩個(gè)約束反力R_C和R_D作用而處于平衡狀態(tài)，故CD桿為二力桿。根據(jù)二力桿的特點(diǎn)，斜桿兩端的約束反力R_C和R_D的方位必沿兩端點(diǎn)C、D的連線(xiàn)且等值、反向。又由圖可斷定斜桿是處在受壓狀態(tài)，所以約束反力R_C和R_D的方向均指向斜桿。

②水平梁AB的受力圖。如圖2-9（c）所示，將水平梁AB解除約束作為分離體（包括電動(dòng)機(jī)）。作用在該梁上的主動(dòng)力有梁和電動(dòng)機(jī)自身的重力G和Q。梁在D、A兩處受到約束，D處有約束反力R'_D與二力桿上的力R_D互為作用力與反作用力，所以R'_D的方向必沿CD桿的軸線(xiàn)并指向水平梁。A處為固定鉸鏈，其約束反力一定通過(guò)鉸鏈中心A，但方向不能預(yù)先確定，一般可用相互垂直的兩個(gè)分力N_x和N_y表示。

通過(guò)以上例題，可以把受力圖的畫(huà)法歸納如下：

①明確研究對(duì)象，解除約束，畫(huà)出分離體簡(jiǎn)圖；

②在分離體上畫(huà)出全部的主動(dòng)力；

③在分離體解除約束處，畫(huà)出相應(yīng)的約束反力。

四、平面匯交力系

1.平面匯交力系的簡(jiǎn)化

凡各力的作用線(xiàn)均在同一平面內(nèi)的力系，稱(chēng)為平面力系。各力的作用線(xiàn)全部匯交于一點(diǎn)的平面力系，稱(chēng)為平面匯交力系。如圖2-10所示，滾筒、起重吊鉤受力都是平面匯交力系，它是最基本的力系。

（1）力在坐標(biāo)軸上的投影

力在坐標(biāo)軸上的投影定義為：從力F的兩端分別向選定的坐標(biāo)軸x、y作垂線(xiàn)，其垂足間的距離就是力F在該軸上的投影。如圖2-11所示。圖中ab和a'b'即為力F在x和y軸上的投影。

　　（2-2）

式中，α是力F與x軸正向間的夾角。

如圖2-11所示，若將力F沿x、y軸方向分解，則得兩分力F_x、F_y。

力F在x軸上的分力大?。?i>F_x=Fcosα

力F在y軸上的分力大小：F_y=Fsinα

由此可知，力在坐標(biāo)軸上的投影，其大小就等于此力沿該軸方向分力的大小。力的分力是矢量，而力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，它的正負(fù)規(guī)定如下：若此力沿坐標(biāo)軸的分力的指向與坐標(biāo)軸一致，則力在該坐標(biāo)軸上的投影為正值；反之，則投影為負(fù)值。在圖2-11中，力F在x、y軸的投影都為正值。圖2-12中各力投影的正負(fù)，讀者可自行判斷。

若已知力在坐標(biāo)軸上的投影F_x、F_y，則力F的大小和方向可按下式求出

　?。?-3）

式中，α為力F與x軸正向間的夾角；力F的指向由F_x、F_y的正負(fù)號(hào)判定。

（2）平面匯交力系的簡(jiǎn)化

如圖2-13（a）所示，設(shè)物體上作用著匯交的兩個(gè)力F₁、F₂，則其合力F可由平行四邊形ABDC的對(duì)角線(xiàn)AD表示。

根據(jù)投影的定義，分力和合力的投影關(guān)系為

F_1x=ab　　F_2x=ac=bd　　F_x=ad

F_1y=a'b'　　F_2y=a'c'=b'd'　　F_y=a'd'

由圖可知，表示投影的線(xiàn)段有如下關(guān)系

ad=ab+bd　　a'd'=a'b'+b'd'

即

F_x=F_1x+F_2x　　F_y=F_1y+F_2y

在圖2-13（b）中，上述關(guān)系仍然存在，但投影的正負(fù)不一定完全相同，應(yīng)根據(jù)具體情況確定，運(yùn)算時(shí)應(yīng)該特別注意。

上面證明了兩個(gè)力合成時(shí)的投影關(guān)系，顯然上述方法可以推廣到任意多個(gè)匯交力的情況。設(shè)有n個(gè)力匯交于一點(diǎn)，如圖2-14（a）所示，它們的合力為F。可以證明，合力F在坐標(biāo)軸上的投影，等于各分力在該軸上投影的代數(shù)和，這個(gè)關(guān)系稱(chēng)合力投影定理。用數(shù)學(xué)式表達(dá)為

　?。?-4）

由投影F_x、F_y就可以求合力F的數(shù)值［圖2-14（b）］為

　?。?-5）

合力F的方向由F_x、F_y的正負(fù)決定。

2.平面匯交力系的平衡

若平面匯交力系的合力為零，則該力系將不引起物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，即該力系是平衡力系。從式（2-5）可知，平面匯交力系保持平衡的必要條件是

要使上式成立，則必須同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件

　?。?-6）

上式稱(chēng)為平面匯交力系的平衡方程，它的意義是：平面匯交力系平衡時(shí)，力系中所有各力在x、y兩坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。

［例2-2］　如圖2-15（a）所示，儲(chǔ)罐架在磚座上，罐的半徑r=0.5m，重G=12kN，兩磚座間距離L=0.8m。不計(jì)摩擦，試求磚座對(duì)儲(chǔ)罐的約束反力。

解：①取儲(chǔ)罐為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。磚座對(duì)儲(chǔ)罐的約束是光滑面約束，故約束反力N_A和N_B的方向應(yīng)沿接觸點(diǎn)的公法線(xiàn)指向儲(chǔ)罐的幾何中心o點(diǎn)，它們與y軸夾角設(shè)為θ。G、N_A、N_B三個(gè)力組成平面匯交力系，如圖2-15（b）所示。

②選取坐標(biāo)oxy如圖2-15（b）所示，列平衡方程求解

∑F_x=0　　N_Asinθ-N_Bsinθ=0　　（a）

∑F_y=0　　N_Acosθ+N_Bcosθ-G=0　?。╞）

解式（a）得

N_A=N_B

由圖中幾何關(guān)系可知

所以

θ=53.13°

代入式（b）得

五、平面力偶系

1.力矩

如圖2-16所示，當(dāng)人們用扳手?jǐn)Q緊螺母時(shí)，力F對(duì)螺母擰緊的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)不僅取決于力F的大小和方向，而且還與該力作用線(xiàn)到O點(diǎn)的垂直距離d有關(guān)。F與d的乘積越大，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)越強(qiáng)，螺母就越容易擰緊。因此，在力學(xué)上用物理量Fd及其轉(zhuǎn)向來(lái)度量力F使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，稱(chēng)為力對(duì)O點(diǎn)之矩，簡(jiǎn)稱(chēng)力矩，以符號(hào)M_o（F）表示。即

M_o（F）=±Fd　　 （2-7）

式（2-7）中，O點(diǎn)稱(chēng)為力矩的中心，簡(jiǎn)稱(chēng)矩心；O點(diǎn)到力F作用線(xiàn)的垂直距離d稱(chēng)為力臂。式中正負(fù)號(hào)表示兩種不同的轉(zhuǎn)向。通常規(guī)定：使物體產(chǎn)生逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的力矩為正值；反之為負(fù)值。力矩的單位是牛頓·米（N·m）或千牛頓·米（kN·m）。

在平面問(wèn)題中，由分力F₁、F₂、…F_n組成的合力F對(duì)某點(diǎn)O的力矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)力矩的代數(shù)和。這就是合力矩定理（證明從略）。

即

M_o（F）=M_o（F₁）+M_o（F₂）+…+M_o（F_n）=∑M_o（F）

合力矩定理不僅適用于平面匯交力系，而且也同樣適用于平面一般力系。

由力矩定義可知：

①如果力的作用線(xiàn)通過(guò)矩心，則該力對(duì)矩心的力矩等于零，即該力不能使物體繞矩心轉(zhuǎn)動(dòng)；

②當(dāng)力沿其作用線(xiàn)移動(dòng)時(shí)，不改變?cè)摿?duì)任一點(diǎn)之矩；

③等值、反向、共線(xiàn)的兩個(gè)力對(duì)任一點(diǎn)之矩總是大小相等、方向相反，因此兩者的代數(shù)和恒等于零；

④矩心的位置可以任意選定，即力可以對(duì)其作用平面內(nèi)的任意點(diǎn)取矩，矩心不同，所求的力矩的大小和轉(zhuǎn)向就可能不同。

2.力偶

（1）力偶的概念

力學(xué)上把一對(duì)大小相等、方向相反，作用線(xiàn)平行且不重合的力組成的力系稱(chēng)為力偶，通常用（F，F'）表示。力偶中兩個(gè)力所在的平面稱(chēng)為力偶的作用面，兩力作用線(xiàn)之間的垂直距離d稱(chēng)為力偶臂，如圖2-17所示。

實(shí)踐證明，力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，不僅與力偶中力F的大小成正比，而且與力偶臂d的大小成正比。F與d越大，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)越顯著。因此，力學(xué)上用兩者的乘積Fd來(lái)度量力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，這個(gè)物理量稱(chēng)為力偶矩，記作M（F，F'）或簡(jiǎn)單地以M表示。

M=M（F，F'）=±Fd　　 （2-8）

力偶矩與力矩一樣，也是代數(shù)量，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向，其規(guī)定與力矩相同，即逆正順負(fù)。單位也和力矩相同，常用N·m和kN·m。

力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向和力偶的作用面，稱(chēng)這三個(gè)因素為力偶的三要素。常用圖2-18所示的方法表示力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向、作用面。

（2）力偶的性質(zhì)

根據(jù)力偶的概念，可以證明，力偶具有以下性質(zhì)。

①力偶無(wú)合力。如圖2-19所示，在力偶作用平面內(nèi)取坐標(biāo)軸x、y，由于構(gòu)成力偶的兩平行力是等值、反向（但不共線(xiàn)），故在x、y軸上投影的代數(shù)和為零。這一性質(zhì)說(shuō)明力偶無(wú)合力，所以它不能用一個(gè)力來(lái)代替，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡，力偶只能用力偶來(lái)平衡。由此可見(jiàn)，力偶是一個(gè)不平衡的、無(wú)法再簡(jiǎn)化的特殊力系。

②力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與矩心的位置無(wú)關(guān)。如圖2-20所示，設(shè)物體上作用一力偶（F，F'），其力偶矩M=Fd。在力偶作用平面內(nèi)任取一點(diǎn)O為矩心，將力偶中的兩個(gè)力F、F'分別對(duì)O點(diǎn)取矩，其代數(shù)和為

M=M_o（F）+M_o（F'）=F（d+l）-Fl=Fd

這表明，力偶中兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為一常數(shù)，恒等于其力偶矩。而力對(duì)某點(diǎn)之矩，矩心的位置不同，力矩就不同，這是力偶與力矩的本質(zhì)區(qū)別之一。

③力偶的等效性。大量實(shí)踐證明，凡是三要素相同的力偶，彼此等效。如圖2-21（a）、（b）、（c）所示，作用在同一平面內(nèi)的三個(gè)力偶，它們的力偶矩都等于240N·cm，轉(zhuǎn)向也相同，因此，它們互為等效力偶，可以相互代替。有時(shí)就用一個(gè)帶箭頭的弧線(xiàn)來(lái)表示一個(gè)力偶，如圖2-21（d）所示。

（3）平面力偶系的合成與平衡

作用于同一物體上的若干個(gè)力偶組成一個(gè)力偶系，若力偶系中各力偶均作用在同一平面，則稱(chēng)為平面力偶系。

既然力偶對(duì)物體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而且，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)由力偶矩來(lái)度量，那么，平面內(nèi)有若干個(gè)力偶同時(shí)作用時(shí)（平面力偶系），也只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，且其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小等于各力偶轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的總和。可以證明，平面力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。即

M=m₁+m₂+……+m_n=∑m　　 （2-9）

若物體在平面力偶系作用下處于平衡狀態(tài)，則合力偶矩必定等于零，即

M=∑m=0 　?。?-10）

上式稱(chēng)為平面力偶系的平衡方程。利用這個(gè)平衡方程，可以求出一個(gè)未知量。

［例2-3］　圖2-22（a）為塔設(shè)備上使用的吊柱，供起吊頂蓋之用。吊柱由支承板A和支承托架B支承，吊柱可在其中轉(zhuǎn)動(dòng)。圖中尺寸單位為mm。已知起吊頂蓋重力為1000N，試求起吊頂蓋時(shí)，吊柱A、B兩支承處受到的約束反力。

解：①以吊柱為研究對(duì)象，支承板A對(duì)吊柱的作用可簡(jiǎn)化為向心軸承，它只能阻止吊柱沿水平方向的移動(dòng)，故該處只有一個(gè)水平方向的反力N_Ax。支承托架B可簡(jiǎn)化為一個(gè)固定鉸鏈約束，它能阻止吊柱鉛垂向下、水平兩個(gè)方向的移動(dòng)，故該處有一個(gè)鉛垂向上的反力N_By，一個(gè)水平反力N_Bx。畫(huà)出吊柱的受力圖如圖2-22（b）。

②吊柱上共有四個(gè)力作用，其中G和N_By是兩個(gè)鉛垂的平行力，N_Ax、N_Bx是兩個(gè)水平的平行力，由于吊柱處于平衡狀態(tài)，它們必互成平衡力偶。

由力偶（G，N_By）可知N_By的大小為

N_By=G=1000（N）

由∑m=0得

-G×500+N_Ax×400=0

所以

N_Bx=N_Ax=1250（N）

六、平面任意力系

1.力的平移

有了力偶的概念以后，可進(jìn)一步討論力的平移問(wèn)題。

如圖2-23（a）所示，設(shè)有一力F作用在物體上的A點(diǎn)，今欲將其平行移動(dòng)（平移）到o點(diǎn)。如圖2-23（b）所示，在o點(diǎn)加一對(duì)平衡力F'和F″，其大小和力F相等，且平行于F。根據(jù)加減平衡力系公理，這時(shí)，三個(gè)力F、F'、F″對(duì)物體的作用效果與原來(lái)的一個(gè)力F對(duì)物體的作用效果是相同的。F、F'、F″三力中，F″和F兩力是等值、反向，但不共線(xiàn)的平行力，因而它們構(gòu)成一個(gè)力偶，通常稱(chēng)為附加力偶，其臂長(zhǎng)為d，其力偶矩為m恰好等于原力F對(duì)o點(diǎn)之矩。

即

m=M_o（F）=Fd

而剩下的力F'，即為由A點(diǎn)平移到o點(diǎn)的力，如圖2-23（c）所示。于是，原來(lái)作用在A點(diǎn)的力F，現(xiàn)在被一個(gè)作用在o點(diǎn)的力F'和一個(gè)附加力偶（F，F″）所代替，顯然它們是等效的。

由上可知：作用在物體上某點(diǎn)的力，可平行移動(dòng)到該物體上的任意一點(diǎn)，但平移后必須附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)之矩，這就是力的平移定理。力的平移定理只適用于剛體，它是平面任意力系簡(jiǎn)化的理論依據(jù)。

2.平面任意力系的簡(jiǎn)化

各力作用線(xiàn)任意分布的平面力系，稱(chēng)為平面任意力系。

如圖2-24（a）所示，設(shè)物體上作用著一個(gè)平面一般力系：F₁、F₂、F₃、F₄。在物體上任意選取o點(diǎn)作為簡(jiǎn)化中心。根據(jù)力的平移定理將此四個(gè)力平移到o點(diǎn)，最后得到一個(gè)匯交于o點(diǎn)的平面匯交力系和一個(gè)平面力偶系，如圖2-24（b）所示。換言之，原來(lái)的平面任意力系與一個(gè)平面匯交力系和一個(gè)平面附加力偶系等效。

3.平面任意力系的平衡

根據(jù)上述平面任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果，若簡(jiǎn)化后的平面匯交力系和平面附加力偶系平衡，則原來(lái)的平面任意力系也一定平衡。因此，只要綜合上述兩個(gè)特殊力系的平衡條件，就能得出平面任意力系的平衡條件。具體地說(shuō)：

①平面匯交力系合成的合力為零　F=0

②平面力偶系合成的合力偶矩為零　∑M_o=0

當(dāng)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)要求時(shí)，平面任意力系作用的物體既不能移動(dòng)，也不能轉(zhuǎn)動(dòng)，即物體處于平衡狀態(tài)。

由平面匯交力系的平衡條件可知，欲使合力F=0，則必須使∑F_x=0及∑F_y=0，因此得到平面任意力系的平衡方程為

　?。?-11）

由這組平面任意力系的平衡方程，可以解出平衡的平面任意力系中的三個(gè)未知量。

［例2-4］　如圖2-25所示的塔設(shè)備，塔重G=450kN，塔高h=30m，塔底用螺栓與基礎(chǔ)緊固連接。塔體的風(fēng)力可簡(jiǎn)化為兩段均布載荷，h₁=h₂=15m，h₁段均布載荷的載荷集度為q₁=380N/m；h₂段載荷集度為q₂=700N/m。試求塔設(shè)備在支座處所受的約束反力。

解：由于塔設(shè)備與基礎(chǔ)用地腳螺栓牢固連接，塔既不能移動(dòng)，也不能轉(zhuǎn)動(dòng)，所以可將基礎(chǔ)對(duì)塔設(shè)備的約束視為固定端約束。

①選塔體為研究對(duì)象，分析其受力情況。作用在塔體上的主動(dòng)力有塔身的重力G和風(fēng)力q₁、q₂，塔底處為固定端約束，故有約束反力N_x、N_y和m_A，其中N_x防止塔體在風(fēng)力作用下向右移動(dòng)，N_y防止塔體因自重而下沉，而m_A則限制塔體在風(fēng)力作用下繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。在計(jì)算支座反力時(shí)，均布載荷q₁和q₂可用其合力Q₁和Q₂表示，它們分別作用在塔體兩段受載部分的中點(diǎn)即h₁/2和h'=h₁+h₂/2處，合力的大小分別為Q₁=q₁h₁，Q₂=q₂h₂，方向與風(fēng)力方向一致。約束反力N_x、N_y和m_A的大小未知，但它們的指向和轉(zhuǎn)向可預(yù)先假定。其受力圖如圖2-25（b）所示。

②在塔體受力圖上建立直角坐標(biāo)系Axy；選取A點(diǎn)為矩心。

③列平衡方程，求解未知力。

由

∑F_x=0　Q₁+Q₂-N_x=0

得

由

∑F_y=0　N_y-G=0

得

N_y=G=450（kN）

由

∑M_A=0

計(jì)算求得的N_x、N_y和m_A均為正值，說(shuō)明受力圖上假定的指向和轉(zhuǎn)向與實(shí)際指向和轉(zhuǎn)向相同。