2.2 相對(duì)誤差度量

在2.1節(jié)提到的誤差度量都是絕對(duì)誤差度量，即沒(méi)有參考量。這些度量明顯受評(píng)估時(shí)場(chǎng)景的影響，包括估計(jì)量的幅值、數(shù)據(jù)精度，以及當(dāng)估計(jì)器為貝葉斯估計(jì)器時(shí)的先驗(yàn)信息。因此，絕對(duì)誤差度量指標(biāo)適合對(duì)整個(gè)估計(jì)系統(tǒng)的評(píng)估，而對(duì)估計(jì)算法的評(píng)估則不很理想。因此，應(yīng)使用相對(duì)于某一參考量的評(píng)估準(zhǔn)則，參考量可以是估計(jì)的幅值、先驗(yàn)誤差、量測(cè)誤差等。

2.2.1 貝葉斯估計(jì)誤差商

貝葉斯估計(jì)誤差商（Bayesian Estimation Error Quotient, BEEQ）是用來(lái)評(píng)估貝葉斯估計(jì)的一種相對(duì)度量[73]。對(duì)于動(dòng)態(tài)的估計(jì)器，它刻畫(huà)了估計(jì)精度相對(duì)于預(yù)測(cè)估計(jì)的改進(jìn)；對(duì)于參數(shù)估計(jì)器，它可以理解為估計(jì)相對(duì)于先驗(yàn)均值x的改進(jìn)。BEEQ的定義為

式中，M 為總的蒙特卡洛次數(shù)，xi、分別為第 i 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的待估量和估計(jì)量，為第i次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的先驗(yàn)均值或預(yù)測(cè)值。

BEEQ量化的是數(shù)據(jù)對(duì)貝葉斯估計(jì)的貢獻(xiàn)。隨著誤差的增加，一個(gè)近似為常值的BEEQ意味著數(shù)據(jù)對(duì)估計(jì)的貢獻(xiàn)不顯著，其量測(cè)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于; BEEQ下降的幅度可以反映出數(shù)據(jù)對(duì)估計(jì)精度的貢獻(xiàn)。一個(gè)好的估計(jì)器，其BEEQ的值應(yīng)小于1。這意味著，估計(jì)值比均值更為精確。BEEQ越小，說(shuō)明估計(jì)精度相對(duì)于均值越好。

因?yàn)镽MSE容易受大值主導(dǎo)，不推薦使用RMSE形式：

代數(shù)平均形式（其中）也不合適，因?yàn)樗踩菀资艽笾抵鲗?dǎo)。換句話說(shuō)，就是有些好的性能本該計(jì)算在內(nèi)卻很容易被忽略掉。更糟糕的是，這一形式下，即使對(duì)很多最優(yōu)的估計(jì)器，BEEQ的值也遠(yuǎn)大于1，這是與直觀相悖的。因此，幾何均值較為合適，幾何均值形式下的定義為。由于數(shù)值原因，BEEQ通常是通過(guò)其對(duì)數(shù)形式進(jìn)行計(jì)算得到的：

BEEQ的取值范圍為

式中，rmin=min{r1,…,rM}, rmax=max{r1,…,rM}。

2.2.2 估計(jì)-量測(cè)誤差比

估計(jì)精度不僅依賴于先驗(yàn)信息，還依賴于量測(cè)值的精度。估計(jì)器的一個(gè)很優(yōu)良的性質(zhì)是估計(jì)往往要比量測(cè)更精確。估計(jì)-量測(cè)誤差比（Estimate-Measurement Error Ratio, EMER）可刻畫(huà)相對(duì)于量測(cè)值的估計(jì)性能的改進(jìn)。假定z與x間的量測(cè)函數(shù)為z=g(x,v)，其中v為量測(cè)噪聲，則EMER定義為

式中，AEE*表示量測(cè)空間里的AEE，即

式（2.2-6）的定義表明：在評(píng)估估計(jì)相對(duì)于量測(cè)的性能時(shí)，是把量測(cè)值xi和估計(jì)值分別轉(zhuǎn)換到量測(cè)空間而進(jìn)行的，計(jì)算的是x和之間的平均距離與x和z之間平均距離的比值。這里仍然不推薦使用RMSE形式。

和BEEQ類似，EMER的幾何均值形式為

和BEEQ的式（2.2-4）類似，EMER的兩種形式都以ρ 或ρ*的最小值和最大值為上下界。顯然，對(duì)于一個(gè)好的估計(jì)器，仍期望EMER的值小于1。這意味著，估計(jì)值比量測(cè)值更為精確。EMER越小，說(shuō)明相對(duì)于量測(cè)值的估計(jì)精度越高。