1.8 用2累乘的驚人結果

在印度有一個非常古老的傳說，說的是舍罕王為了獎賞國際象棋的發明者，承諾答應他提出的任何要求。結果這位發明者就要求國王在象棋的第一個格子里賞給他1粒麥子，在第二個格子里給2粒，第三個格子里給4粒，以后每一小格所給的麥子都是前一小格的2倍，直到擺滿64個象棋格子。國王覺得這個要求很容易滿足，就答應了他，結果，當仆人們把一袋又一袋的麥子搬來時，國王才驚覺，要滿足這位發明者的要求，他要把全印度，甚至全世界的麥粒全給他。

這是個很好的例子，一個很小的數，如果用2累乘它，所得的結果會迅速變大。

[題] 草履蟲平均每27小時分裂一次，每分裂一次，原來的一個就會變成兩個。假如所有以這種方式分裂出來的草履蟲都能夠存活，那么，一個草履蟲分裂40代之后，它所有的后代所占的體積為1立方米。已知太陽的體積為1027立方米，那么，需要多長時間，一個草履蟲分裂出的后代占據的體積就能像太陽那么大？

[解] 根據已知條件，我們可以把這個問題轉化為，1立方米需要用2累乘多少次才可以達到1027立方米這個體積？

210≈1000，因此，我們可以把1027寫成：

1027=（103）9≈（210）9=290

即1立方米需要用2累乘90次才能達到1027立方米這個體積。據此我們可以得出結論：一只草履蟲要經過130次（90+40）分裂，才能達到1027立方米這個體積。我們知道，草履蟲平均每27小時分裂一次，由此可以計算出，分裂130次所需的時間為：

27×130=3510（小時）

每天有24個小時，把這個時間換算為天數，即

3510÷24=146.25（天）≈147（天）

因此，草履蟲在第147天可以分裂出第130代子孫。這時，它的所有后代的總體積跟太陽一樣大。

據說，曾經有一位微生物學家確實觀察到了一個分裂了8061次的草履蟲。我們可以計算一下，如果這個草履蟲的后代都成活了，那么最后一代要占據多大的體積？

類似的問題還有很多，比如我們拿一張紙，將它對半裁開，然后再把得到的半張對半裁開，這樣一直裁下去，裁多少次之后能得到跟原子一樣大的紙張？

假設一張紙重1克，而原子的質量是克。由于

1024=（103）8≈（210）8=280

所以，一共要對裁80次。而人們通常以為要達到這樣的目標估計要裁幾百萬次。

相似地，我們把剛才關于草履蟲和太陽的問題反過來問：

如果太陽分裂成兩個，每一半又分裂成兩個，這樣一直分下去，假設分的過程中是平分，而且總體積是不變的，那么經過多少次分裂，能得到和草履蟲一樣大的粒子？

雖然經過前面的計算我們已經知道了答案是130，但還是會因為這個數字這么小而覺得不可思議。