4.3　數據擬合

與數據插值類似，數據擬合的目的也是用一個較為簡單的函數g（x）去逼近一個未知的函數f（x）。利用已知測量的數據（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），構造函數y=g（x），使得誤差δ_i=g（x_i）﹣f（x_i）（i=1，2，…，n）在某種意義上達到最小。

一般用得比較多的是多項式擬合，所謂多項式擬合是利用已知測量的數據（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），構造一個m（m＜n）次多項式p（x）：

使得擬合多項式在各采樣點處的偏差的平方和最小。

在MATLAB中，用polyfit函數可以實現最小二乘意義的多項式擬合。polyfit擬合函數求的是多項式的系數向量。該函數的調用格式為

其中，p為最小二乘意義上的n階多項式系數向量，長度為n＋1；x和y為數據點向量，要求是等長的向量；S為采樣點的誤差結構體，包括R、df和normr分量，分別表示對x進行QR分解為三角元素、自由度和殘差。

【例4-14】　在MATLAB中，用polyfit函數實現一個4階和5階多項式，在區間[0，3π]內逼近函數f（x）=e^﹣0.5xsinx，利用繪圖的方法，比較擬合的4階多項式、5階多項式和f（x）的區別。

程序代碼如下：

程序運行結果如下，圖4-6是4階多項式和5階多項式擬合f（x）函數的比較結果。

由上述例題結果可知，用高階多項式擬合f（x）函數的效果更好，誤差小，更加逼近實際函數f（x）。