4.2　數據插值

在工程測量與科學實驗中，通常得到的數據都是離散的。如果要得到這些離散數據點以外的其他數據值，就需要根據這些已知數據進行插值。假設測量得到n個點數據，（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），滿足某一個未知的函數關系y=f（x），數據插值的任務就是根據已知的n個數據，構造一個函數y=p（x），使得y_i=p（x_i）（i=1，2，…，n）成立，就稱p（x）為f（x）關于點x₁，x₂，…，x_n的插值函數。求插值函數p（x）的方法為插值法。插值函數p（x）一般可以用線性函數、多項式或樣條函數實現。

根據插值函數的自變量的個數，數據插值可以分為一維插值、二維插值和多維插值等；根據插值函數的不同，可以分為線性插值、多項式插值和樣條函數插值等。MATLAB提供了一維插值interp1、二維插值interp2、三維插值interp3和N維插值interpn函數，以及三次樣條插值spline函數等。

4.2.1　一維插值

所謂一維插值是指被插值函數的自變量是一個單變量的函數。一維插值采用的方法一般有一維多項式插值、一維快速插值和三次樣條插值。

1．一維多項式插值

MATLAB中提供了interp1函數進行一維多項式插值。interp1函數使用了多項式函數，通過已知數據點計算目標插值點的數據。interp1函數的調用格式如下：

其中，Y是在默認自變量x選為1:n的值。

其中，X和Y是長度一樣的已知向量數據，xi可以是一個標量，也可以是向量。

其中，method是插值方法，其取值有下面幾種：

（1）linear線性插值：這是默認插值方法，它是把與插值點靠近的兩個數據點以直線連接，在直線上選取對應插值點的數據。這種插值方法兼顧速度和誤差，插值函數具有連續性，但平滑性不好。

（2）nearest最鄰近點插值：根據插值點和最接近已知數據點進行插值，這種插值方法速度快，占用內存小，但一般誤差最大，插值結果最不平滑。

（3）next下一點插值：根據插值點和下一點的已知數據點插值，這種插值方法的優缺點和最鄰近點插值一樣。

（4）previous前一點插值：根據插值點和前一點的已知數據點插值，這種插值方法的優缺點和最鄰近點插值一樣。

（5）spline三次樣條插值：采用三次樣條函數獲得插值點數據，要求在各點處具有光滑條件。這種插值方法連續性好，插值結果最光滑，缺點為運行時間長。

（6）cubic三次多項式插值：根據已知數據求出一個三次多項式進行插值。這種插值方法連續性好，光滑性較好，缺點是占用內存多，速度較慢。

需要注意，xi的取值如果超出已知數據X的范圍，就會返回NaN錯誤信息。

MATLAB還提供interp1q函數用于一維插值。它與interp1函數的主要區別是，當已知數據不是等間距分布時，interp1q插值速度比interp1快。需要注意，interp1q執行的插值數據x必須是單調遞增的。

【例4-9】　某氣象臺對當地氣溫進行測量，實測數據如表4-1所示，用不同的插值方法計算t=12時的氣溫。

程序代碼如下：

程序運行結果：

【例4-10】　假設測量的數據來自函數f（x）=e^﹣0.5xsinx，試根據生成的數據，用不同的方法進行插值，比較插值結果。

程序代碼如下：

程序運行結果如下，插值效果如圖4-2所示。

由上面的結果可知，interp1q實現插值的速度比interp1要快；最接近點擬合誤差大，直線擬合得到曲線不平滑；采用三次樣條插值效果最好，曲線平滑，誤差很小，基本逼近真實值。

2．一維快速傅里葉插值

在MATLAB中，一維快速傅里葉插值可以用interpft函數實現。該函數利用傅里葉變換將輸入數據變換到頻率域，然后用更多點實現傅里葉逆變換，實現對數據的插值。函數調用格式為

【例4-11】　假設測量的數據來自函數f（x）=sinx，試根據生成的數據，用一維快速傅里葉插值，比較插值結果。

程序代碼如下：

程序運行結果如下，插值效果如圖4-3所示。

由上述結果可知，一維快速傅里葉插值interpft實現插值的速度比較快，曲線平滑，誤差很小，基本逼近真實值。

3．三次樣條插值

三次樣條插值利用多段多項式逼近插值，降低了插值多項式的階數，使得曲線更為光滑。在MATLAB中，interp1插值函數的method選為spline樣條插值選項，就可以實現三次樣條插值。另外，MATLAB專門提供了三次樣條插值函數spline，其格式如下：

【例4-12】　已知數據x=[﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1 0 1 2 3 4 5]，y=[26 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25]，對xi=﹣5:0.5:5，用spline進行三次樣條插值，并比較用interp1實現三次樣條插值的結果。

程序代碼如下：

程序運行結果如下，插值效果如圖4-4所示。

由程序結果可知，三次樣條插值spline函數實現插值的效果和interp1（x，y，xi，'spline'）一樣。

4.2.2　二維插值

二維插值是指已知一個二元函數的若干個采用數據點x、y和z（x，y），求插值點（x1，y2）處的z1的值。在MATLAB中，提供了interp2函數用于實現二維插值，其調用格式為

其中，X和Y是兩個參數的采樣點，一般是向量，Z是參數采樣點對應的函數值。X1和Y1是插值點，可以是標量也可以是向量。Z1是根據選定的插值方法（method）得到的插值結果。插值方法method和一維插值函數相同，linear為線性插值（默認算法），nearest為最近點插值，spline為三次樣條插值，cubic為三次多項式插值。需要注意，X1和Y1不能超出X和Y的取值范圍，否則會得到NaN錯誤信息。

【例4-13】　某實驗對計算機主板的溫度分布做測試。用x表示主板的寬度（cm），y表示主板的深度（cm），用T表示測得的各點溫度（℃），測量結果如表4-2所示。

（1）分別用最近點二維插值和線性二維插值法求（12.6，7.2）點的溫度。

（2）用三次多項式插值求主板寬度每1cm、深度每1cm處各點的溫度，并用圖形顯示插值前后主板的溫度分布圖。

程序代碼如下：

運行程序，結果如下，圖4-5是插值前后主板溫度分布圖。由圖4-5可知，用插值技術處理數據，可以使得溫度分布圖更加光滑。

4.2.3　多維插值

1．三維插值

在MATLAB中，還提供了三維插值的函數interp3，其調用格式為

其中，X、Y、Z是三個參數的采樣點，一般是向量，U是參數采樣點對應的函數值。X1、Y1、Z1是插值點，可以是標量也可以是向量。U1是根據選定的插值方法（method）得到的插值結果。插值方法method和一維插值函數相同，linear為線性插值（默認算法），nearest為最近點插值，spline為三次樣條插值，cubic為三次多項式插值。需要注意，X1、Y1和Z1不能超出X、Y和Z的取值范圍，否則會得到NaN錯誤信息。

2．n維插值

在MATLAB中，還可以實現更高維的插值，interpn函數用于實現n維插值。其調用格式為

其中，X1，X2，…，Xn是n個參數的采用點，一般是向量，U是參數采樣點對應的函數值。Y1，Y2，…，Yn是插值點，可以是標量也可以是向量。U1是根據選定的插值方法（method）得到的插值結果。插值方法method和一維插值函數相同，linear為線性插值（默認算法），nearest為最近點插值，spline為三次樣條插值，cubic為三次多項式插值。需要注意，Y1，Y2，…，Yn不能超出X1，X2，…，Xn的取值范圍，否則會得到NaN錯誤信息。