4.1　多項式

多項式在代數中占有重要的地位，廣泛用于數據插值、數據擬合和信號與系統等應用領域。MATLAB提供了多項式的創建和各種多項式的運算方法，處理起來非常簡單方便。

4.1.1　多項式的創建

一個多項式按降冪排列為

在MATLAB中多項式的各項系數用一個行向量表示，使用長度為n＋1的行向量按降冪排列，多項式中某次冪的缺項用0表示，則表示為

例如，多項式p₁（x）=x³﹣2x²＋4x＋6，在MATLAB中可以表示為p₁=[1，﹣2，4，6]；p₂（x）=x³＋3x＋6可表示為p₂=[1，0，3，6]。

在MATLAB中，創建一個多項式，可以用poly2str和poly2sym函數實現，其調用格式如下：

其中，f=poly2str（p，'x'）表示創建一個系數為p，變量為x的字符串型多項式；f=poly2sym（p）表示創建一個系數為p，默認變量為x的符號型多項式。兩者在命令窗口的顯示形式類似，但數據類型是不一樣的，一個是字符串型，另一個是符號型。

【例4-1】　已知多項式系數為p=[1，﹣2，4，6]，分別用poly2str（p，'x'）和poly2sym（p）創建多項式，比較它們有什么不同。

程序代碼如下：

顯然，兩種函數創建的多項式f1和f2顯示形式類似，但數據類型和大小都不一樣，如圖4-1所示。

4.1.2　多項式的值和根

1．多項式的值

在MATLAB里，求多項式的值可以用polyval和polyvalm函數。它們的輸入參數都是多項式系數和自變量，兩者區別是前者是代數多項式求值，后者是矩陣多項式求值。

1）代數多項式求值

polyval函數可以求代數多項式的值，其調用格式為

其中，p為多項式的系數，x為自變量，當x為一個數值，則求多項式在該點的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣的每個元素求多項式的值。

【例4-2】　已知多項式為f（x）=x³﹣2x²＋4x＋6，分別求x₁=2和x=[0，2，4，6，8，10]向量的多項式的值。

程序代碼如下：

程序運行結果：

2）矩陣多項式求值

polyvalm函數以矩陣為自變量求多項式的值，其調用格式為

其中，p為多項式系數，X為自變量，要求為方陣。

MATLAB用polyvalm和polyval函數求多項式的值是不一樣的，因為運算規則不一樣。例如，假設A為方陣，p為多項式x²﹣5x＋6的系數，則polyvalm（p，A）表示A?A﹣5?A＋6?eye（size（A）），而polyval（p，A）表示A?A﹣5?A＋6?ones（size（A））。

【例4-3】　已知多項式為f（x）=x²﹣3x＋2，分別用polyvalm和polyval函數，求的多項式的值。

程序代碼如下：

程序運行結果：

2．多項式的根

一個n次多項式有n個根，這些根有實根，也有可能包含若干對共軛復根。MATLAB提供了roots函數用于求多項式的全部根，其調用格式為

其中，p為多項式的系數向量，r為多項式的根向量，r（1），r（2），…，r（n）分別表示多項式的n個根。

MATLAB還提供了一個由多項式的根，求多項式的系數的函數poly，其調用格式為

其中，r為多項式的根向量，p為由根r構造的多項式系數向量。

【例4-4】　已知多項式為f（x）=x⁴＋4x³﹣3x＋2。

（1）用roots函數求該多項式的根r。

（2）用poly函數求根為r的多項式系數。

程序代碼如下：

程序運行結果：

顯然，roots和poly函數的功能正好相反。

4.1.3　多項式的四則運算

多項式之間可以進行四則運算，其結果仍為多項式。在MATLAB中，用多項式系數向量進行四則運算，得到的結果仍為多項式系數向量。

1．多項式的加減運算

MATLAB沒有提供多項式加減運算的函數。事實上多項式的加減運算，是合并同類型，可以用多項式系數向量相加減運算。如果多項式階次不同，則把低次多項式系數不足的高次項用0補足，使得多項式系數矩陣具有相同維度，以便進行加減運算。

2．多項式乘法運算

在MATLAB中，兩個多項式的乘積可以用函數conv實現。其調用格式為

其中，p1和p2是兩個多項式的系數向量；p是兩個多項式乘積的系數向量。

3．多項式除法運算

MATLAB可以用函數deconv實現兩個多項式的除法運算。其調用格式為

其中，q為多項式p1除以p2的商式；r為多項式p1除以p2的余式。q和r都是多項式系數向量。

deconv是conv的逆函數，即滿足p1=conv（p2，q）＋r。

【例4-5】　已知兩個多項式為f（x）=x⁴＋4x³﹣3x＋2，g（x）=x³﹣2x²＋x。

（1）求兩個多項式相加f（x）＋g（x）和兩個多項式相減f（x）﹣g（x）的結果。

（2）求兩個多項式相乘f（x）×g（x）和兩個多項式相除f（x）/g（x）的結果。

程序代碼如下：

程序運行結果：

4.1.4　多項式的微積分運算

1．多項式的微分

對于n階多項式p（x）=a_nxⁿ＋a_n﹣1x^n﹣1＋…＋a₁x¹＋a₀的求導，其導數為n﹣1階多項式dp（x）=na_nx^n﹣1＋（n﹣1）a_n﹣1x^n﹣2＋…＋a₁。原多項式及其導數多項式的系數分別為p=[a_n，a_n﹣1，…，a₁，a₀]，d=[na_n，（n﹣1）a_n﹣1，…，a₁]。

在MATLAB中，可以用polyder函數來求多項式的微分運算，polyder函數可以對單個多項式求導，也可以對兩個多項式乘積和商求導，其調用格式如下：

【例4-6】　已知兩個多項式為f（x）=x⁴＋4x³﹣3x＋2，g（x）=x³﹣2x²＋x。

（1）求多項式f（x）的導數。

（2）求兩個多項式乘積f（x）?g（x）的導數。

（3）求兩個多項式相除g（x）/f（x）的導數。

程序代碼如下：

程序運行結果：

2．多項式的積分

對于n階多項式p（x）=a_nxⁿ＋a_n﹣1x^n﹣1＋…＋a₁x¹＋a₀，其不定積分為n＋1階多項式，其中k為常數項。原多項式和積分多項式分別可以表示為系數向量p=[a_n，a_n﹣1，…，a₁，a₀]，I=。

在MATLAB中，提供了polyint函數用于多項式的積分。其調用格式為

顯然polyint是polyer的逆函數，即有p=polyder（I）。

【例4-7】　求多項式的積分I=∫（x⁴＋4x³﹣3x＋2）dx。

程序代碼如下：

程序運行結果：

4.1.5　多項式的部分分式展開

由分子多項式B（s）和分母多項式A（s）構成的分式表達式進行多項式的部分分式展開，表達式如下：

MATLAB可以用residue函數實現多項式的部分分式展開，residue函數的調用格式如下：

其中，B為分子多項式系數行向量；A為分母多項式系數行向量；[p₁；p₂；…；p_n]為極點列向量；[r₁；r₂；…；r_n]為零點列向量；k為余式多項式行向量。

residue函數還可以將部分分式展開式轉換為兩個多項式的除的分式，其調用格式為

【例4-8】　已知分式表達式為。

（1）求f（s）的部分分式展開式。

（2）將部分分式展開式轉換為分式表達式。

程序代碼如下：

程序運行結果：