2.2　課后習題詳解

2-1　電路如圖2-2-1所示，已知u_S＝100V，R₁＝2kΩ，R₂＝8kΩ。試求以下3種情況下的電壓u₂和電流i₂、i₃：

（1）R₃＝8kΩ；

（2）R₃＝∞（R₃處開路）；

（3）R₃＝0（R₃處短路）。

圖2-2-1

解：（1）R₂和R₃并聯，電阻R＝8/2＝4kΩ，干路電流為i₁，則有

i₁＝u_S/（R₁＋R）＝100/（2＋4）＝（50/3）mA

i₂＝i₃＝i₁/2＝50/6＝8.333mA

u₂＝R₂i₂＝8×（50/6）＝66.667V

（2）R₃＝∞，即R₃處開路，則有i₃＝0

i₂＝u_S/（R₁＋R₂）＝100/（2＋8）＝10mA

u₂＝R₂i₂＝8×10＝80V

（3）R₃＝0，即R₃處短路，則有i₂＝0，u₂＝0

i₃＝u_S/R₁＝100/2＝50mA

2-2　電路如圖2-2-2所示，其中電阻、電壓源和電流源均為已知，且為正值。求：

（1）電壓u₂和電流i₂；

（2）若電阻R₁增大，對哪些元件的電壓、電流有影響？影響如何？

圖2-2-2

解：（1）由圖2-2-2可知，R₂和R₃并聯，由并聯電路電流特性可得

i₂＝R₃i_S/（R₂＋R₃）

所以u₂＝R₂i₂＝R₂R₃i_S/（R₂＋R₃）。

（2）由圖2-2-2可知，R₁增大時，其兩端電壓會隨之增大，相應的電流源兩端的電壓也會變化，即

所以隨R₁的增大而增大，但對R₂，R₃，R₄及u_S的電壓和電流都沒有影響。

2-3　圖2-2-3中u_S＝50V，R₁＝2kΩ，R₂＝8kΩ。現欲測量電壓u_o，所用電壓表量程為50V，靈敏度為1000Ω/V（即每伏量程電壓表相當為1000Ω的電阻），問：

（1）測量得u_o為多少？

（2）u_o的真值u_ot為多少？

（3）如果測量誤差以下式表示：δ（%）＝[（u_o－u_ot）/u_ot]×100%，問此時測量誤差是多少？

圖2-2-3

解：（1）電壓表的電阻R_V＝5×10⁴Ω。

當測電壓時，電壓表與R₂并聯電阻為

根據分壓公式可得

（2）

（3）根據計算公式：δ（%）＝[（u_o－u_ot）/u_ot]×100%＝[（38.7－40）/40]×100%＝－3.1%。

2-4　求圖2-2-4所示各電路的等效電阻R_ab，其中R₁＝R₂＝1Ω，R₃＝R₄＝2Ω，R₅＝4Ω，G₁＝G₂＝1S，R＝2Ω。

圖2-2-4（a）

圖2-2-4（b）

圖2-2-4（c）

圖2-2-4（d）

圖2-2-4（e）

圖2-2-4（f）

圖2-2-4（g）

解：（1）圖2-2-4（a），R₄被短路，原電路等效為R₁、R₂和R₃并聯之后，再與R₅串聯。

所以R_ab＝（R₁//R₂//R₃）＋R₅＝（1//1//2）＋4＝4.4Ω。

（2）圖2-2-4（b），G₁和G₂所在支路的電阻R＝1/G₁＋1/G₂＝2Ω。

所以R_ab＝（R//R₄）＋R₃＝（2//2）＋2＝3Ω。

（3）圖2-2-4（c），為一電橋電路，因R₁＝R₂且R₃＝R₄，故其處于平衡電橋，開關的開閉不影響電路的等效電阻。

所以R_ab＝（R₁＋R₃）//（R₂＋R₄）＝（1＋2）//（1＋2）＝1.5Ω。

（4）圖2-2-4（d），圖最下方的R₂兩端電位相等，即處于電橋平衡狀態，故R₂可視為開路。

所以R_ab＝（R₁＋R₂）//（R₁＋R₂）//R₁＝（1＋1）//（1＋1）//1＝0.5Ω。

（5）圖2-2-4（e）可標記為如圖2-2-5（e₁）所示，結點1和1′，2和2′，3、3′和3″是等電位結點，故原電路可簡化為如圖2-2-5（e₂）所示。

所以R_ab＝2×（R/2＋R/4）＝3R/2＝3Ω。

圖2-2-5（e₁）

圖2-2-5（e₂）

（6）圖2-2-4（f），（1Ω，1Ω，2Ω）和（2Ω，2Ω，1Ω）構成兩個Y形連接，分別轉化為等值的三角形連接，如圖2-2-6所示。

圖2-2-6

R₁＝1＋1＋1×1/2＝2.5Ω

R₂＝1＋2＋1×2/1＝5Ω

R₃＝R₂＝5Ω

R₁′＝2＋2＋2×2/1＝8Ω

R₂′＝1＋2＋1×2/2＝4Ω

R₃′＝R₂′＝4Ω

并接兩個三角形電路后，可得如圖2-2-7所示等效電路。

圖2-2-7

等效電阻

R_ab＝[2//（R₂//R₂′）＋R₁//R₁′]//（R₃//R₃′）＝[2//（5//4）＋2.5//8]//（5//4）＝[20/19＋40/21]//（20/9）＝1.269Ω

（7）圖2-2-4（g），為一對稱電路，若電流從a點流入，b點流出，對應的電流分布如圖2-2-8所示。

u_ab＝iR/3＋iR/6＋iR/3＝5iR/6

R_ab＝u_ab/i＝5R/6＝1.667Ω

圖2-2-8

2-5　用△-Y等效變換法求圖2-2-9中a、b端的等效電阻：

（1）將結點①、②、③之間的三個9Ω電阻構成的△形變換為Y形；

（2）將結點①、③、④與作為內部公共結點的②之間的三個9Ω電阻構成的Y形變換為△形。

圖2-2-9

解：（1）將結點①②③之間的三個9Ω電阻由△形變換為Y形后，R_x＝3Ω，等效電路如圖2-2-10（a）所示，等效電阻

圖2-2-10（a）

圖2-2-10（b）

（2）變換后如圖2-2-10（b）所示，R_x′＝27Ω，等效電阻

2-6　利用Y-△等效變換求圖2-2-11中a、b端的等效電阻。

圖2-2-11

解：原電路的等效電路如圖2-2-12所示。

則有

所以等效電阻R_ab＝10/11＋1/11＋（1×1）/（1＋1）＝1.5Ω。

圖2-2-12

2-7　在圖2-2-13（a）所示電路中，u_S1＝24V，u_S2＝6V，R₁＝12kΩ，R₂＝6kΩ，R₃＝2kΩ。圖2-2-13（b）為經電源變換后的等效電路。

（1）求等效電路的i_S和R；

（2）根據等效電路求R₃中電流和消耗功率；

（3）分別在圖2-2-13（a）、（b）中求出R₁、R₂及R₃消耗的功率；

（4）試問u_S1、u_S2發出的功率是否等于i_S發出的功率？R₁、R₂消耗的功率是否等于R消耗的功率？為什么？

圖2-2-13

解：（1）利用電源的等效變換，可將電壓源轉換為電流源，如圖2-2-14所示。

圖2-2-14

i_S1＝u_S1/R₁＝24/12＝2mA，i_S2＝u_S2/R₂＝6/6＝1mA

所以i_S＝i_S1＋i_S2＝2＋1＝3mA，R＝R₁//R₂＝（12×6）/（12＋6）＝4kΩ；

（2）根據等效電路，R與R₃并聯：R//R₃＝（4/3）kΩ，所以u＝i_S×（R//R₃）＝3×4/3＝4V；

則R₃的電流和消耗的功率分別為

i₃＝u/R₃＝4/2＝2mA，P₃＝R₃i₃²＝2×2²＝8mW

（3）①圖2-2-13（a），R₁、R₂兩端的電壓分別為

u₁＝u_S1－u＝24－4＝20V，u₂＝u_S2－u＝6－4＝2V

R₁、R₂、R₃消耗的功率分別為

P₁＝u₁²/R₁＝20²/12＝100/3＝33.33mW

P₂＝u₂²/R₂＝2²/6＝0.67mW

P₃＝R₃i₃²＝2×2²＝8mW

②圖2-2-13（b），R消耗的功率為：P＝u²/R＝4²/4＝4mW；

圖（a）、（b）中R₃消耗的功率相等。

（4）圖2-2-13（a），u_S1、u_S2發出的功率分別為

圖2-2-13（b），i_S發出的功率為

計算得：

又由（3）知P≠P₁＋P₂；

所以u_S1、u_S2發出的功率不等于i_S發出的功率，R₁、R₂消耗的功率也不等于R消耗的功率。

這是因為電源作等效變換僅是對外部等效，在圖2-2-13（a）、（b）所示兩個電路中，R₃中的電流、電壓和功率是相同的。對被變換部分內部，則并不等效。

2-8　求圖2-2-15所示電路中對角線電壓U及總電壓U_ab。

圖2-2-15

解：將圖2-2-15中10Ω，8Ω，2Ω三電阻構成的△形等效為Y形，如圖2-2-16所示。

圖2-2-16

R₁＝8×2/（10＋8＋2）＝0.8Ω

R₂＝2×10/（10＋8＋2）＝1Ω

R₃＝10×8/（10＋8＋2）＝4Ω

所以等效電阻R＝（10＋R₃）//（5＋R₂）＋R₁＝5Ω，U_ab＝i·R＝4×5＝20V；

則有

i₁＝i×（10＋R₃）/（5＋R₂＋10＋R₃）＝4×（10＋4）/（5＋1＋10＋4）＝2.8A

i₂＝i×（5＋R₂）/（5＋R₂＋10＋R₃）＝4×（5＋1）/（5＋1＋10＋4）＝1.2A

建立KVL方程：i₂×10＋U－i₁×5＝0?U＝5i₁－10i₂＝5×2.8－10×1.2＝2V。

2-9　圖2-2-17所示為由橋T電路構成的衰減器。

（1）試證明當R₂＝R₁＝R_L時，R_ab＝R_L，且有u_o/u_i＝0.5；

（2）試證明當R₂＝2R₁R_L²/（3R₁²－R_L²）時，R_ab＝R_L，并求此時電壓比u_o/u_i。

圖2-2-17

證明：（1）當R₂＝R₁＝R_L時，電橋處于平衡狀態，可等效為如圖2-2-18（a）所示。

R_ab＝（R₁＋R₁）//（R₂＋R_L）＝R_L

u_o＝u_i/2，即u_o/u_i＝0.5；

命題得證。

圖2-2-18（a）

圖2-2-18（b）

（2）將由三個R₁構成的Y形變換為△形，R＝3R₁，如圖2-2-18（b）所示。

R_L′＝R_L//R＝3R₁R_L/（3R₁＋R_L）

所以u_o/u_i＝（3R₁－R_L）/（3R₁＋R_L）；

命題得證。

2-10　在圖2-2-19（a）中，u_S1＝45V，u_S2＝20V，u_S4＝20V，u_S5＝50V，R₁＝R₃＝15Ω，R₂＝20Ω，R₄＝50Ω，R₅＝8Ω；在圖2-2-19（b）中u_S1＝20V，u_S5＝30V，i_S2＝8A，i_S4＝17A，R₁＝5Ω，R₃＝10Ω，R₅＝10Ω。利用電源的等效變換求圖2-2-19（a）、（b）中的電壓u_ab。

圖2-2-19

解：利用電源的等效轉換，將圖2-2-19（a）、（b）的電壓源轉換為電流源與電阻并聯的形式。

圖2-2-20（a₁）

圖2-2-20（a₂）

圖2-2-20（b₁）

圖2-2-20（b₂）

（1）圖2-2-19（a）轉換為圖2-2-20（a₁），則有

i_S1＝u_S1/R₁＝45/15＝3A

i_S2＝u_S2/R₂＝20/20＝1A

i_S4＝u_S4/R₄＝20/50＝0.4A

i_S5＝u_S5/R₅＝50/8＝6.25A

進一步將所有電流源合并，所有電阻并聯得圖2-2-20（a₂）所示，則有

i_S＝i_S1＋i_S2－i_S4＋i_S5＝3＋1－0.4＋6.25＝9.85A

R＝R₁//R₂//R₃//R₄//R₅＝15//20//15//50//8＝（600/197）Ω

因此u_ab＝i_SR＝9.85×600/197＝30V。

（2）同理可得圖2-2-19（b）中的電壓u_ab

i_S＝i_S1＋i_S2－i_S4＋i_S5＝4＋8－17＋3＝－2A

R＝R₁//R₃//R₅＝5//10//10＝2.5Ω

u_ab＝i_S×R＝－2×2.5＝－5V

2-11　利用電源的等效變換，求圖2-2-21所示電路的電流i。

圖2-2-21

解：利用電源的等效變換可得圖2-2-22。

圖2-2-22

則有：i₁＝2.5/10＝0.25A，i＝i₁/2＝0.125A。

2-12　利用電源的等效變換，求圖2-2-23所示電路中電壓比u_o/u_S。已知R₁＝R₂＝2Ω，R₃＝R₄＝1Ω。

圖2-2-23

解：利用電源等效變換，對圖2-2-23中u_S、R₁、R₂進行變換

u_S′＝（u_S/R₁）·[R₁R₂/（R₁＋R₂）]＝u_S/2

R＝R₁R₂/（R₁＋R₂）＝1Ω

等效圖如圖2-2-24所示。

圖2-2-24

對圖2-2-24建立KVL方程：iR＋u₃＋2u₃R₄＋iR₄＝u_S/2；

其中u₃＝R₃i，代入上式得：i＝u_S/10；

則有u_o＝2u₃R₄＋R₄i＝2×u_S/10＋u_S/10＝3u_S/10；

所以u_o/u_S＝3/10＝0.3。

2-13　圖2-2-25所示電路中R₁＝R₃＝R₄，R₂＝2R₁，CCVS的電壓u_c＝4R₁i₁，利用電源的等效變換求電壓u₁₀。

圖2-2-25

解：將原電路圖2-2-25右邊回路等效為一個受控電壓源和電阻的串聯，等效圖如圖2-2-26所示。

圖2-2-26

其中R＝（R₃＋R₄）//R₂＝（2R₁）//（2R₁）＝R₁；

對圖2-2-26回路建立KVL方程

（R₁i₁＋Ri₁＋u_CR/R₂）＝u_S，即2R₂i₁＋4R₁i₁×R₁/（2R₁）＝u_S；

解得：i₁＝u_S/（4R₁）；

所以u₁₀＝u_S－R₁i₁＝u_S－u_S/4＝3u_S/4。

2-14　試求圖2-2-27（a）、（b）的輸入電阻R_ab。

圖2-2-27

解：（1）設圖2-2-27（a）中電流參考方向如圖2-2-28（a）所示，對回路建立KVL方程

u_ab＝R₂i－μu₁＋R₁i＝R₂i－μ（R₁i）＋R₁i＝（R₁＋R₂－μR₁）i

所以a，b端的輸入電阻：R_ab＝u_ab/i＝R₁＋R₂－μR₁。

圖2-2-28

（2）設圖2-2-27（b）電路中電流參考方向如圖2-2-28（b）所示，由回路KVL、KCL方程可得

u_ab＝R₁i₁＋R₂i₂＝R₁i₁＋R₂（i₁＋βi₁）

所以a，b端的輸入電阻

R_ab＝u_ab/i₁＝R₁＋R₂（1＋β）

2-15　試求圖2-2-29（a）、（b）的輸入電阻R_i。

圖2-2-29

解：（1）圖2-2-29（a），在1、1′兩端施加電壓u_S，干路電流如圖2-2-30（a）所示。

建立KCL方程：i₁＋βi₁＋i－u_S/R₂＝0；

其中i₁＝－u_S/R₁，代入方程得：[（1＋β）/R₁＋1/R₂]u_S＝i；

所以

圖2-2-30

（2）圖2-2-29（b），在1、1′兩端施加電壓u_S，干路電流如圖2-2-30（b）所示。

則有：u₁＝－u_S，u_S＝R₁i₁－μu₁＝R₁i₁＋μu_S，i₁＝i－u_S/R₃；

整理得

2-16　圖2-2-31所示電路中全部電阻均為1Ω，求輸入電阻R_i。

圖2-2-31

解：右邊5個電阻構成的回路是電橋回路，因電阻相等，電橋平衡，所以可將最右邊的電阻看成開路，原電路可依次等效為如圖2-2-32所示。

圖2-2-32

建立KVL方程：u＝1.6i－1.2i＝0.4i，所以R_i＝u/i＝0.4Ω。