1.2　課后習題詳解

1-1　說明圖1-2-1（a）、（b）中：

（1）u、i的參考方向是否關聯？

（2）ui乘積表示什么功率？

（3）如果在圖1-2-1（a）中u＞0、i＜0，圖1-2-1（b）中u＞0、i＞0，元件實際發出還是吸收功率？

圖1-2-1

解：（1）當電流的參考方向與元件兩端電壓降落方向一致時，稱u、i參考方向關聯。因此，圖1-2-1（a）中u，i的參考方向關聯；圖1-2-1（b）中u、i的參考方向非關聯。

（2）一個元件或電路在電壓電流是關聯參考方向下，功率是吸收功率；否則，為發出功率。因此，圖1-2-1（a）中ui乘積表示元件吸收的功率；圖1-2-1（b）中ui乘積表示元件發出的功率。

（3）在關聯參考方向下，ui＞0時，元件實際吸收功率，ui＜0時，元件實際發出功率；在非關聯參考方向下，ui＞0，元件實際發出功率，ui＜0，元件實際吸收功率。圖1-2-1（a）中ui＜0，元件實際發出功率；圖1-2-1（b）中ui＞0，元件實際發出功率。

1-2　在圖1-2-2（a）與（b）中，試問對于N_A與N_B，u、i的參考方向是否關聯？此時乘積ui對N_A與N_B分別意味著什么功率？

圖1-2-2

解：根據關聯參考方向、功率吸收和發出的相關概念可得：

圖1-2-2（a），對于N_A，u、i的參考方向非關聯，乘積ui對N_A意味著發出功率；對于N_B，u，i的參考方向關聯，乘積ui對N_B意味著吸收功率。

圖1-2-2（b），對于N_A，u、i的參考方向關聯，乘積ui對N_A意味著吸收功率；對于N_B，u，i的參考方向非關聯，乘積ui對N_B意味著發出功率。

1-3　求解電路以后，校核所得結果的方法之一是核對電路中所有元件的功率平衡，即一部分元件發出的總功率應等于其他元件吸收的總功率。試校核圖1-2-3中電路所得解答是否正確。

圖1-2-3

解：A元件的電壓與電流參考方向非關聯，功率為發出功率，其他元件的電壓與電流方向關聯，功率為吸收功率。

總發出功率：P_A＝60×5＝300W；

總吸收功率：P_B＋P_C＋P_D＋P_E＝60×1＋60×2＋40×2＋20×2＝300W；

顯然，總發出功率和總吸收功率是相等的，所以整個電路功率是平衡的。

1-4　在指定的電壓u和電流i的參考方向下，寫出圖1-2-4所示各元件的u和i的約束方程（即VCR）。

圖1-2-4

解：圖1-2-4（a）是電阻元件，u、i參考方向關聯，由歐姆定律可得

u（t）＝Ri（t），u＝Ri＝10⁴i

圖1-2-4（b）是電阻元件，u、i參考方向非關聯

u（t）＝－Ri（t），u＝－Ri＝－10i

圖1-2-4（c），u與電壓源的激勵電壓方向相同，u＝10V；

圖1-2-4（d），u與電壓源的激勵電壓方向相反，u＝－5V；

圖1-2-4（e），i與電流源的激勵電流方向相同，i＝10×10^－3A；

圖1-2-4（f），i與電流源的激勵電流方向相反，i＝－10×10^－3A。

1-5　試求圖1-2-5中各電路中電壓源、電流源及電阻的功率（須說明是吸收還是發出）。

圖1-2-5

解：（1）圖1-2-5（a）所示

電壓源u、i參考方向非關聯，發出功率：P_U＝U_SI＝15×2＝30W；

電阻元件吸收功率：P_R＝I²R＝2²×5＝20W，U_R＝IR＝2×5＝10V；

電流源u、i參考方向關聯，吸收功率：P_I＝U_II＝（U_S－U_R）I＝（15－10）×2＝10W。

（2）圖1-2-5（b）所示

I_R＝U_R/R＝U_S/R＝15/5＝3A，U_S＝U_R＝U_I，I_U＝I_R－I_S＝3－2＝1A

電阻元件吸收功率：P_R＝I_R²R＝3²×5＝45W；

電流源u、i參考方向非關聯，發出功率：P_I＝I_SU_I＝2×15＝30W；

電壓源u、i參考方向非關聯，發出功率：P_U＝I_UU_S＝1×15＝15W。

（3）圖1-2-5（c）所示

U_S＝U_R＝U_I＝15V，I_S＝2A，I_R＝U_R/R＝15/5＝3A，I_U＝I_S＋I_R＝2＋3＝5A

電阻吸收功率：P_R＝I_R²R＝3²×5＝45W；

電流源u、i參考方向關聯，吸收功率：P_I＝I_SU_I＝2×15＝30W；

電壓源u、i參考方向非關聯，發出功率：P_U＝I_UU_S＝5×15＝75W。

1-6　以電壓U為縱軸，電流I為橫軸，取適當的電壓、電流標尺，在同一坐標上：畫出以下元件及支路的電壓、電流關系（僅畫第一象限）。

（1）U_S＝10V的電壓源，如圖1-2-6（a）所示；

（2）R＝5Ω線性電阻，如圖1-2-6（b）所示；

（3）U_S、R的串聯組合，如圖1-2-6（c）所示。

圖1-2-6

圖1-2-7

解：（1）理想電壓源的電壓恒定，與電流無關：U＝U_S＝10V。

（2）電阻元件的電壓、電流滿足歐姆定律：U＝IR＝5I。

（3）根據基爾霍夫電壓定律：U_S＝U＋U_R＝U＋IR，即U＝U_S－IR＝10－5I。

取電壓標尺為4V/cm，電流標尺為1A/cm，各元件及支路的伏安特性如圖1-2-7所示。

1-7　圖1-2-8中各元件的電流I均為2A。

（1）求各圖中支路電壓；

（2）求各圖中電源、電阻及支路的功率，并討論功率平衡關系。

圖1-2-8

解：（1）各圖支路電壓為

U_a＝IR＋U_S＝2×2＋12＝16V

U_b＝－IR＋U_S＝－2×2＋12＝8V

U_c＝IR－U_S＝2×2－12＝－8V

U_d＝－IR－U_S＝－2×2－12＝－16V

（2）①圖1-2-8（a），標準電壓源和電阻的u、i參考方向都關聯，都吸收功率

P_R＝I²R＝2²×2＝8W，P_S＝U_SI＝12×2＝24W

支路吸收功率：P＝U_aI＝16×2＝32W；

P_R＋P_S＝P，所以功率平衡。

②圖1-2-8（b），電阻吸收功率：P_R＝I²R＝8W；

標準電壓源的u、i參考方向非關聯：P_S＝U_SI＝24W；

支路發出功率：P＝U_bI＝16W；

功率平衡關系：P＝P_S－P_R。

③圖1-2-8（c），電阻吸收功率：P_R＝I²R＝8W；

標準電壓源u、i參考方向非關聯，發出功率：P_S＝U_SI＝24W；

支路吸收功率：P＝U_CI＝－16W，即放出功率16W；

功率平衡關系：－P＝P_S－P_R。

④圖1-2-8（d），標準電壓源和電阻的u、i參考方向都關聯，都吸收功率

P_R＝I²R＝2²×2＝8W，P_S＝U_SI＝12×2＝24W

支路放出功率：P＝U_dI＝－32W，即吸收功率32W；

P_R＋P_S＝－P，所以功率平衡。

1-8　試求圖1-2-9中各電路的電壓U，并分別討論其功率平衡。

圖1-2-9

解：（1）圖1-2-9（a），I_R＝8A，U＝U_R＝2×I_R＝2×8＝16V；

所以輸入電路的吸收功率：P＝U×I＝32W；

電流源發出功率：P_I＝6×U＝6×16＝96W；

電阻吸收功率：P_R＝2×I_R²＝2×8²＝128W；

因為P＝P_R－P_I，所以功率平衡。

（2）圖1-2-9（b），I_R＝6－2＝4A，U＝U_R＝2×I_R＝2×4＝8V；

所以輸入電路的發出功率：P＝U×I＝16W；

電流源發出功率：P_I＝6×U＝6×8＝48W；

電阻吸收功率：P_R＝2×I_R²＝2×4²＝32W；

因為P＝P_I－P_R，所以功率平衡。

（3）圖1-2-9（c），I_R＝2－4＝－2A，U＝U_R＝3×I_R＝3×（－2）＝－6V；

所以輸入電路的吸收功率：P＝U×I＝－12W；

電流源吸收功率：P_I＝4×（－6）＝－24W；

電阻吸收功率：P_R＝3×I_R²＝3×（－2）²＝12W；

因為P＝P_I＋P_R，所以功率平衡。

（4）圖1-2-9（d），I_R＝5－3＝2A，U＝U_R＝4×I_R＝4×2＝8V；

所以輸入電路的吸收功率：P＝U×I＝40W；

電流源吸收功率：P_I＝3×U＝3×8＝24W；

電阻吸收功率：P_R＝4×I_R²＝4×（2）²＝16W；

因為P＝P_I＋P_R，所以功率平衡。

1-9　圖1-2-10中各受控源是否可看為電阻？并求各圖中a、b端口的等效電阻。

圖1-2-10

解：（1）圖1-2-10（a），受控源可看作是電阻，設支路總電流為I，則U＝20（I－0.2U），即5U＝20I，所以等效電阻為：R_ab＝U/I＝4Ω。

（2）圖1-2-10（b），受控源可看作電阻，U＝IR＝20I，支路總電流I_ab＝3I，所以等效電阻為：R_ab＝U_ab/I_ab＝20/3＝6.67Ω。

（3）圖1-2-10（c），由于受控源電壓與電流參考方向非關聯，且受控源電壓為5I，因此CCVS可看做電阻，其阻值為：R_eq＝－5I/I＝－5Ω。

所以等效電阻為：R_ab＝R_eq＋10＝－5＋10＝5Ω。

（4）圖1-2-10（d），受控源可以看成電阻，U_ab＝10U₁＋U₁＝11U₁＝11×20I＝220I，I_ab＝I，所以等效電阻為：R_ab＝U_ab/I_ab＝220Ω。

1-10　電路如圖1-2-11所示，試求：

（1）圖（a）中，i₁與u_ab；

（2）圖（b）中，u_cb。

圖1-2-11

解：（1）由圖1-2-11（a）可得：0.9i₁＝10/5＝2A，則有：i₁＝2/0.9≈2.222A；

所以u_ab＝4×i_ab＝4×（i₁－0.9i₁）＝4×0.1×（20/9）≈0.889V。

（2）由圖1-2-11（b）可得：u₁＝5×2＝10V，則有：i＝0.05u₁＝0.5A；

所以U_cb＝U_ca＋U_ab＝20×（－0.5）－3＝－13V。

1-11　我國自葛洲壩水電站至上海的高壓直流輸電線示意圖如圖1-2-12。輸電線每根對地耐壓為500kV，導線容許電流為1kA。每根導線電阻為27Ω（全長1088km）。試問當首端線間電壓U₁為1000kV時，可傳輸多少功率到上海？傳輸效率是多少？

圖1-2-12

解：根據題意可知：U₂＝U₁－2IR＝1000－2×1×27＝946kV＝9.46×10⁵V；

所以傳輸功率為：P＝U₂I＝9.46×10⁵×1＝9.46×10⁵kW；

傳輸效率為：η＝（u₂I）/（u₁I）＝（u₂/u₁）×100%＝（946/1000）×100%＝94.6%。

1-12　對圖1-2-13所示電路，若：

（1）R₁、R₂、R₃不定；

（2）R₁＝R₂＝R₃。

在以上兩種情況下，盡可能多地確定各電阻中的未知電流。

圖1-2-13

解：如圖1-2-14電流標注所示。

圖1-2-14

（1）當R₁、R₂、R₃不定時，流過它們的電流也是不定的；i₄＝3＋4－6＝1A；i₅＝i₄＋2－（－10）＝13A。

（2）當R₁＝R₂＝R₃時，i₄＝3＋4－6＝1A，i₅＝i₄＋2－（－10）＝13A。

對右邊回路和B、C點分別列出KVL、KCL方程

代入R₁＝R₂＝R₃并整理得

解得：i₁＝（10/3）A，i₂＝（1/3）A，i₃＝（－11/3）A。

1-13　在圖1-2-15所示電路中，已知u₁₂＝2V，u₂₃＝3V，u₂₅＝5V，u₃₇＝3V，u₆₇＝1V，盡可能多地確定其他各元件的電壓。

圖1-2-15

解：對各回路列出KVL方程

U_a＝u₁₅＝u₁₂＋u₂₅＝2＋5＝7V

U_k＝u₁₃＝u₁₂＋u₂₃＝2＋3＝5V

U_f＝u₅₆＝u₂₃＋u₃₇－u₆₇－u₂₅＝3＋3－1－5＝0V

U_e＝u₃₆＝u₃₇－u₆₇＝3－1＝2V

U_i＝u₅₇＝u₅₆＋u₆₇＝0＋1＝1V

所以各元件的電壓為：U_a＝7V；U_b＝2V；U_c＝5V；U_d＝3V；U_e＝2V；U_f＝0V；U_g不定；U_h不定；U_i＝1V；U_j＝1V；U_k＝5V。

1-14　對上題所示電路，指定各支路電流的參考方向，然后列出所有結點處的KCL方程，并說明這些方程中有幾個是獨立的。

解：各支路電流的參考方向指定如圖1-2-16所示。對各結點列出KCL方程：

①i_a＋i_b＋i_k＝0

②－i_b＋i_c＋i_d＝0

③－i_d＋i_e＋i_g－i_k＝0

④－i_g＋i_h＝0

⑤－i_a－i_c＋i_f＋i_i＝0

⑥－i_e－i_f＋i_j＝0

⑦－i_j－i_i－i_h＝0

以上7個方程相加，可得0＝0，所以這7個方程不是相互獨立的，但是其中任意6個是相互獨立的。

圖1-2-16

1-15　電路如圖1-2-17所示，該電路可列KVL的回路共有7個。試按給定支路電流的參考方向列出這些KVL方程。并找出其中三組獨立方程（每組中方程應盡可能多）。

圖1-2-17

解：作出電路的圖及各支路參考方向如圖1-2-18（a）所示。取順時針方向，可得到7個不同的回路如圖1-2-18所示。

圖1-2-18

于是可分別列回路KVL方程如下：

l₁：R₃i₃－u_S3－R₄i₄－R₂i₂＝0

l₂：R₂i₂＋R₅i₅－u_S5＋u_S1＋R₁i₁＝0

l₃：R₄i₄＋R₆i₆＋u_S5－R₅i₅＝0

l₄：R₃i₃－u_S3－R₄i₄＋R₅i₅－u_S5＋u_S1＋R₁i₁＝0

l₅：R₃i₃－u_S3＋R₆i₆＋u_S5－R₅i₅－R₂i₂＝0

l₆：R₂i₂＋R₄i₄＋R₆i₆＋u_S1＋R₁i₁＝0

l₇：R₃i₃－u_S3＋R₆i₆＋u_S1＋R₁i₁＝0

由這些方程可以看出：l₆＝l₂＋l₃，l₄＝l₁＋l₂，l₅＝l₁＋l₃，l₇＝l₁＋l₂＋l₃。顯然這些KVL方程并非相互獨立，獨立回路的數目可由公式l＝b－n＋1決定，由于本題中支路數b為6，結點數n為4，因此可有3個回路構成獨立回路組。例如：l₁，l₂，l₃；l₂，l₃，l₇；l₂，l₃，l₄等。

1-16　電路如圖1-2-19所示，試求每個元件發出或吸收的功率。

圖1-2-19

解：（1）圖1-2-19（a），由KVL可得：U＝IR＋2U，解得U＝－1V；

電阻吸收功率：P_R＝I²R＝0.5²×2＝0.5W；

電壓源吸收功率：P_U＝－UI＝－（－1）×0.5＝0.5W；

受控源發出功率：P＝2UI＝2×（－1）×0.5＝－1W，發出功率1W。

（2）圖1-2-19（b），設流經1Ω電阻的電流為I₂，由KCL可得：I₂＝I₁＋2I₁＝3I₁，所以由KVL得：2＝2×I₁＋1×3I₁，解得I₁＝0.4A。

1Ω電阻吸收功率：P₁＝（I₁＋2I₁）²R₁＝（3×0.4）²×1＝1.44W；

2Ω電阻吸收功率：P₂＝I₁²R₂＝0.4²×2＝0.32W；

電壓源發出功率：P_U＝U_SI₁＝2×0.4＝0.8W；

受控源發出功率：P＝2I₁U＝2I₁U₁＝2×0.4×1.2＝0.96W。

1-17　利用KCL與KVL求圖1-2-20中I（提示：利用KVL將180V電源支路電流用I來表示，然后在結點①寫KCL方程求解）。

圖1-2-20

解：設流經20Ω電阻的電流為I₁，方向向右，根據基爾霍夫電壓定律可得：20I₁＋180＝15I，所以I₁＝（15I－180）/20，列寫節點①的KCL方程，得2＋I＋I₁＝0，將I₁表達式代入其中，解得I＝4A。

1-18　（1）已知圖1-2-21（a）中，R＝2Ω，i₁＝1A，求電流i；

（2）已知圖1-2-21（b）中，u_S＝10V，i₁＝2A，R₁＝4.5Ω，R₂＝1Ω，求i₂。

圖1-2-21

解：（1）由圖1-2-21（a）可列KVL方程：10＋5i₁－iR＝0。

代入已知條件得：i＝7.5A。

（2）由圖1-2-21（b）可列KVL方程

代入已知條件得i₂＝6A。

1-19　試求圖1-2-22所示電路中控制量I₁及電壓U₀。

圖1-2-22

解：設R₁＝1kΩ，R₂＝6kΩ，流經R₂的電流為I₂，方向向下，R₃＝5kΩ，流經的電流為I₃，U_S＝20V，列KVL、KCL方程

解得：I₁＝5mA，I₂＝2mA，I₃＝3mA，U₀＝15V。

1-20　試求圖1-2-23所示電路中控制量u₁及電壓u。

圖1-2-23

解：設電路流經電流為I，方向為順時針，建立KVL方程：2＝10³I＋10⁴I＋10u₁①

由圖1-2-23可知：u₁＝10⁴I＋10u₁②

聯立式①②得：u₁＝20V，u＝200V。