4.3　名校考研真題詳解

一、選擇題

1如圖4-3-1所示電路，電流i＝（　　）。[電子科技大學2016研]

A．1.6A

B．1A

C．－1.6A

D．－1A

圖4-3-1

【答案】C

【解析】當僅有1A電流源作用時，i′＝－[3/（2＋3）]×1＝－0.6A；當僅5V電壓源作用時，i″＝－5/（2＋3）＝－1A。利用疊加原理，有i＝i′＋i″＝－1.6A。

2電路如圖4-3-2所示，N為含源線性電阻網絡。負載電阻R_L與其所消耗的功率P之間的關系曲線如圖4-3-2所示，則網絡N的戴維南等效內阻R_eq為（　　）。[電子科技大學2016研]

圖4-3-2

A．1Ω

B．2Ω

C．3Ω

D．4Ω

【答案】A

【解析】由最大功率傳輸定理可知，當R_L＝R_eq時，負載取得最大功率。又根據P-R曲線讀得此時R_eq＝R_L＝1Ω。

二、填空題

如圖4-3-3所示電路，N為線性含源網絡，當U_s＝10V時，測得I＝2A；U_s＝20V時，測得I＝6A；則當U_s＝－20V時，I應為______。[電子科技大學2016研]

圖4-3-3

【答案】－10A

【解析】由疊加定理，設I＝AU_s＋B，代入數據得

解得I＝0.4U_s－2，當U_s＝－20V時，I＝－10A。

三、簡答題

（1）戴維寧定理如何描述；

（2）將如圖4-3-4所示電路畫成以ab為端口的戴維寧等效電路。[電子科技大學2016研]

圖4-3-4

答：（1）一個線性含源二端網絡，對外電路來說，可以用一個電壓源和電阻的串聯組合來等效替代，這一等效電路稱為戴維寧等效電路。

（2）其中電壓源電壓等于該二端網絡的開路電壓u_oc，而電阻等于該二端網絡的去源之后的等效電阻R_eq。在圖4-3-4所示電路中u_oc＝1.5V，R_eq＝（15/8）Ω。故可作戴維寧等效電路如圖4-3-5所示。

圖4-3-5

四、計算題

1圖4-3-6所示電路。

（1）求ab端口的戴維南等效電路；

（2）若非線性電阻的伏安特性為u＝i²＋0.5i－0.75（u、i單位分別為V、A），計算靜態工作點處的動態電阻。[南京航空航天大學2018研]

圖4-3-6

解：（1）首先求ab端口的開路電壓u_oc。如圖4-3-7（a）所示選擇參考結點并標明獨立結點，結點電壓分別為、，結點電壓方程為

考慮CCCS的增補方程為，所求開路電壓即。聯立以上各式解得u_oc＝－0.75V。

圖4-3-7（a）

再求ab端口以外的等效電阻。將內部獨立源置零（電壓源短路）并外施電壓源U_S，將左端電阻網絡簡化為R_總＝（2//2＋1）//2Ω＝1Ω，如圖4-3-7（b）所示選取回路，回路電流分別為、，回路電流方程為

考慮CCCS的增補方程

且。聯立以上各式，得R_eq＝U_S/I_S＝1.5Ω。由以上可得ab端口的戴維南等效電路如圖4-3-7（c）所示。

圖4-3-7（b）

圖4-3-7（c）

（2）由KVL得方程－0.75＝1.5i＋u＝1.5i＋i²＋0.5i－0.75，解得i＝－2A或0A（舍去），此時動態電阻為R_dy＝u/i＝（i²＋0.5i－0.75）/（－2）＝－1.125Ω。

2圖4-3-8所示電路中當R為多大時它吸收的功率最大？最大功率是多少？[廣東工業大學2018研]

圖4-3-8

解：首先求電阻R兩端以外電路的等效電阻。將獨立電壓源置零，有R_eq＝10//（10//10＋10//10）＝5Ω，故當R＝R_eq＝5Ω時它吸收的功率最大。如圖4-3-9所示選取參考結點和標明獨立結點。

圖4-3-9

結點①、②的電壓分別為、，可得結點電壓方程為

解得，故

3在圖4-3-10所示電路中，N為一線性不含獨立源的電阻網絡，已知R＝R₁時，I₁＝5A，I₂＝2A；R＝R₂時，I₁＝4A，I₂＝1A。求R＝∞時I₁的值。[西安電子科技大學2017研]

圖4-3-10

解：U₁、U₂如圖4-3-11所示。

圖4-3-11

記R＝R₁時電路中各值為I(∧)₁、I(∧)₂、U(∧)₁、U(∧)₂，R＝R₂時電路中各值為I(～)₁、I(～)₂、U(～)₁、U(～)₂，R＝∞時電路中各值為I₁、I₂、U₁、U₂。根據特勒根定理

由題可知I(∧)₁＝5A，I(∧)₂＝2A，I(～)₁＝4A，I(～)₂＝1A，I₂＝0，U(∧)₁＝U(～)₁＝U₁＝－u_s。故

解得I₁＝3A。

4如圖4-3-12所示電路，已知網絡N吸收的功率P_N＝2W，求電流i。[西安電子科技大學2017研]

圖4-3-12

解：由替代定理，可用一個u_s＝u的電壓源替代網絡N，并且該電壓源的電流電壓為關聯參考方向，而電路中其他部分的電壓電流各值保持不變，如圖4-3-13所示。

圖4-3-13

電路的回路電流方程為

且，P_N＝ui＝2W。聯立以上各式，解得i＝1A或i＝2A。

5用疊加定理求解圖4-3-14所示電路中的支路電流I。[華南理工大學2017研]

圖4-3-14

解：當10V電壓源單獨作用時：I^（1）＝10/（1＋4）＝2A。

當5A電流源單獨作用時：I^（2）＝1×5/（1＋4）＝1A。

當15V電壓源單獨作用時：I^（3）＝0。

因此總電流I為：I＝I^（1）＋I^（2）＋I^（3）＝3A。

6如圖4-3-15所示電路，當R＝12Ω時，其上電流為I，若要求I增至原來的三倍，而電路中除R以外的其他部分均不變，計算此時的電阻R。[西安電子科技大學2017研]

圖4-3-15

解：由于電路中除R以外的其他部分均不變，故可將R兩端以外的電路1-1′看為一個含源一端口按戴維寧定理進行簡化，如圖4-3-16（a）所示。

圖4-3-16（a）

則1-1′端的開路電壓

u_oc＝[2/（2＋2）－6/（6＋3）]u_s＝－u_s/6

將電壓源短路，得從1-1′看入的等效電阻

R_eq＝[2×2/（2＋2）＋3×6/（6＋3）]＝3Ω

得戴維寧等效電路如圖4-3-16（b）所示。由此可得

I＝－（u_s/6）/（3＋R）

當I′＝3I時，得

解得R′＝（R－6）/3。

將R＝12Ω代入上式得此時電阻應為2Ω。

圖4-3-16（b）

7圖4-3-17所示電路N中僅含有直流電源和線性電阻，已知當I_s＝0A時，U＝－2V；當I_s＝2A時，U＝0V。當開關閉合后，若I＝6A，求I_s為何值？[重慶大學2016研]

圖4-3-17

解：對網絡N作戴維寧等效，開路電壓為U_oc，等效電阻R₀。開關閉合前，當I_s＝0A，U＝－2V時，作等效圖如圖4-3-18（a）所示，當I_s＝2A，U＝0V時作等效圖如圖4-3-18（b）所示。

圖4-3-18（a）

圖4-3-18（b）

分別列KVL方程可得

解得U_oc＝12V，R₀＝4Ω。

因此，開關閉合后作等效圖如圖4-3-18（c）所示。

圖4-3-18（c）

電壓源產生的電流I₂＝12/4＝3A，則I₁＝I－I₂＝3A。

在圖4-3-18（d）中可求得

I_s＝I₁＋2I₁/6＝4A

圖4-3-18（d）

8如圖4-3-19所示電路，求R_L等于多少時獲最大功率，求得最大功率為多少？[西安交通大學2016研]

圖4-3-19

解：首先求電阻R_L兩端的戴維寧等效電路。可先對左半部分電路進行等效變換以化簡電路，再通過外施電壓法進行求解，求解電路如圖4-3-20所示。列結點電壓方程

圖4-3-20

解得U_S＝16－4.5I_S，即U_oc＝16V，R_eq＝4.5Ω。故當R_L＝R_eq＝4.5Ω時可獲得最大功率，最大功率為P_max＝U_oc²/（4R_eq）＝14.22W。

9圖4-3-21所示電路中，已知當U_s1＝3V時，電壓U＝4V。當U_s1＝6V、其他條件均保持不變時，求電壓U的值。[重慶大學2016研]

圖4-3-21

解：電路可等效為圖4-3-22（a）根據疊加原理，當U_s1＝3V時，設電壓源U_s1和含源網絡N產生的電壓響應分別為U₁′和U₁″。

圖4-3-22（a）

當U_s1單獨作用時，圖4-3-22（a）中，含源網絡N中的電壓源短路，電流源斷路。可得圖4-3-22（b）所示等效電路。由圖4-3-22（b）列KVL方程2×0.5I＋（1＋1）×I＝3，解得I＝1A，則U₁′＝1×I＝1V。

網絡N的響應電壓U₁″＝4－1＝3V。

圖4-3-22（b）

當U_s1＝6V時，根據電路的線性性質，電壓源單獨作用的響應U₂′＝1×6/3＝2V。由于網絡N未發生變化，因此U₂″＝U₁″＝3V。

根據疊加定理，可求得此時電壓U＝U₂′＋U₂″＝2＋3＝5V。

10如圖4-3-23所示電路，N為無源線性純電阻網絡，求U(∧)_S1的功率并說明是吸收還是發出。[西安交通大學2016研]

圖4-3-23

解：標明各參量方向如圖4-3-24（a）、（b）所示。根據特勒根定理2，得

U₁i(∧)₁＋U₂i(∧)₂＋U₃i(∧)₃＝U(∧)₁i₁＋U(∧)₂i₂＋U(∧)₃i₃

將已知值帶入，得15i(∧)₁＝－2U(∧)₁－10×3＋20×4。

圖4-3-24（a）

圖4-3-24（b）

解得：U(∧)₁＝25－7.5i(∧)₁。故可將圖4-3-24（c）等效為如圖所示電路。

圖4-3-24（c）

當25V電壓源單獨作用時，有

i(∧)_S1^（1）＝－[25/（3＋7.5＋1）]×（1/2）＝－1.09A

當U(∧)_S1單獨作用時，有

由疊加定理，有：i(∧)_S1＝i(∧)_S1^（1）＋i(∧)_S1^（2）＝1.63A。故U(∧)_S1發出的功率為

11在圖4-3-25（a）所示的電路中，網絡N₀內不含獨立源和受控源，僅含線性時不變電阻。已知I_S1＝1A，R₂＝2Ω，電流源I_S1的端電壓為U₁；當端口2-2′開路后的電路如圖4-3-25（b）所示，其中U_oc＝3V，R_out＝1Ω，電流源I_S1的端電壓為U₁^（1）。若在圖4-3-25（b）中維持電流源I_S1的端電壓仍為U₁，試求此時與電流源I_S1串接電阻R₁的值。[武漢大學2015研]

圖4-3-25（a）

圖4-3-25（b）

解：由圖4-3-25（b）可得從端口2-2′看進去的戴維寧等效電路如圖4-3-26（a）所示。

圖4-3-26（a）

由此可得圖4-3-25（a）中的電流I₂為

I₂＝U_oc/（R_out＋R₂）＝3/（1＋2）＝1A

根據特勒根定理2，知題中兩電路之間的關系有

－U₁I_S1＋0＝－U₁^（1）I_S1＋U_ocI₂

代入電路中各參數有：U₁^（1）＝U₁＋3。

將電流源I_S1串接電阻R₁后的電路如圖4-3-26（b）所示。

圖4-3-26（b）

為維持電流源I_S1的端電壓仍為U₁，可列回路KVL方程

U₁＋3＝R₁I_S1＋U₁

解得：R₁＝3Ω。

12如圖4-3-27所示電路中，若R為8Ω，R獲得的功率最大，試確定R_x的值及R獲得的最大功率。[西安交通大學2015研]

圖4-3-27

解：首先求電阻R兩端的戴維寧等效電路。

開路電壓u_oc＝20×20/（30＋20）＝8V。

由外施電源法求等效電阻的電路如圖4-3-28所示。

圖4-3-28

列KVL方程有

u_S＝（i－3i）R_x＋20×30i/（20＋30）＝（12－2R_x）i_S

R_eq＝u_S/i_S＝12－2R_x

當R＝R_eq時R獲得的功率最大，即：12－2R_x＝8，R_x＝2Ω。

R獲得的最大功率為P_max＝u_oc²/（4R_eq）＝82/（4×8）＝2W。

13圖4-3-29所示無源電阻網絡P在U_S＝8V、I_S＝2A時，開路電壓U_AB＝0V；當U_S＝8V、I_S＝0A時，開路電壓U_AB＝6V，短路電流為6A。則當U_S＝0、I_S＝2A時，且AB間接入9Ω電阻時，電流I為多少？[北京交通大學2014研]

圖4-3-29

解：首先求AB端左側電路的戴維寧等效電路。由齊性定理，開路電壓響應U_AB可看為電源U_S和I_S的線性疊加，即

U_AB＝K₁U_S＋K₂I_S

根據已知兩組數據，有

解得：K₁＝0.75，K₂＝－3。故當U_S＝0、I_S＝2A時，開路電壓

U_AB＝－3×2＝－6V

由第二組數據可知，AB兩端的等效電阻為R_eq＝U_oc/I_sc＝6/6＝1Ω。

則AB兩端左側電路可等效為開路電壓U_AB＝－6V、等效電阻1Ω的戴維寧等效電路。

接入9Ω電阻后I＝－6/（1＋9）＝－0.6A。

14圖4-3-30所示電路，N為含獨立電源的線性電阻網路，當R＝0時，I₁＝1.75A，I₂＝3A；當R＝12Ω時，I₁＝1A，I₂＝0.75A。試確定R為何值時，I₁＝1.25A。[西安交通大學2015研]

圖4-3-30

解：設U₂與I₂取關聯參考方向。設電阻R兩端的戴維寧等效電路開路電壓為u_oc，等效電阻為R_eq，則根據已知條件有

解得：u_oc＝12V，R_eq＝4Ω。

由疊加定理和齊性定理，響應I₁可看做網絡N引起的響應和u₂引起的響應的疊加，且與u₂引起的響應成正比，N引起的響應不變，即：I₁＝I_N＋Ku₂。根據已知條件

當I₁＝1.25A時，有：I₁＝1.75－u₂/12＝1.25，解得：u₂＝6V。

再由戴維寧等效電路：I₂＝（12－u₂）/4＝1.5A，故此時電阻R為：R＝U₂/I₂＝4Ω。

15已知圖4-3-31所示電路中R₁＝2Ω，R₂＝1Ω，u_S1＝50V，

求兩個安培表的讀數。[北京交通大學2014研]

圖4-3-31

解：（1）當u_S1單獨作用時，電路如圖4-3-32所示。

圖4-3-32

采用“追趕法”，設i₂′＝1A，則

u_ao＝2V，i_ao＝2A，i_ba＝i_ao＋i₂^（1）＝3A

u_bo＝2i_ba＋u_ao＝8V，i_bo＝8A，i_cb＝i_bo＋i_ba＝11A

u_co＝2i_cb＋u_bo＝30V，i_co＝30A，i_dc＝i_co＋i_cb＝41A

u_do＝2i_dc＋u_co＝112V，i_do＝112A，i₁′＝i_do＋i_dc＝153A

u_S1′＝2i₁′＋u_do＝418V

實際u_S1＝50V，故：k^（1）＝u_S1/u_S1′＝50/418＝0.12，實際電流i₁^（1）、i₂^（1）分別為

i₁^（1）＝k^（1）i₁′＝0.12×153＝18.36A

i₂^（1）＝k^（1）i₂′＝0.12×1＝0.12A

（2）當u_S2單獨作用時，由于中間電路為結構相同的線性電阻網絡，根據互易定理

兩電流的有效值分別為：I₁^（2）＝0.024A，I₂^（2）＝3.67A。

（3）根據疊加定理，電路的總響應為兩電源分別同時作用時的響應之和，而有效值為

因此安培表A₁的讀數為18.36A，A₂的讀數為3.67A。

16圖4-3-33所示直流電路中，網絡N為不含獨立電源的線性電阻網絡。當I_S＝1A，U_S＝0時，U＝（4/3）V；當I_S＝2A，U_S＝10V時，U＝4V。求當I_S＝3A，U_S＝30V時，電壓U為多少？[哈爾濱工業大學2013研]

圖4-3-33

解：設從網絡N左側、右側流出的電流分別為I₁、I₂，左側、右側電壓分別為U₁、U₂。

根據第一組數據：I₁＝U/4－I_S＝（－2/3）A，U₁＝（4/3）V，U₂＝0。

根據第二組數據：I(∧)₁＝U(∧)/4－I(∧)_S＝－1A，U(∧)₁＝4V，U(∧)₂＝10V。

根據第三組數據：I(～)₁＝U(∧)/4－I(～)_S＝U(∧)/4－3，U(～)₁＝U為待求量，U(～)₂＝30V。

根據特勒根定理2

代入已知數據，有

解得：U＝4V。

17圖4-3-34所示電路，已知U_S＝5V，R＝100Ω，β＝1，α＝1，P為純電阻網絡，當R₂＝∞時，I＝（1/25）A，U₂＝4V；當R₂＝100Ω時，端口a-b左側的電路向右側電路輸出最大功率。求：

（1）端口a-b左側電路的戴維南等效電路；

（2）改變R₂使得電阻R₂上獲得最大功率，問此最大功率為多少？[浙江大學2013研]

圖4-3-34

解：（1）先求開路電壓：當a-b開路，I＝0，βI＝0，整個回路中無電流，故

u_oc＝U_S＋U＝10V

再求等效電阻：將U_S置零，在a-b端口外施電壓源，如圖4-3-35（a）所示。

圖4-3-35（a）

解得：R_eq＝u_S/i_s＝R＝100Ω。

a-b端口左側電路的戴維南等效電路如圖4-3-35（b）所示。

圖4-3-35（b）

（2）求電阻R₂兩端的戴維南等效電路。當R₂＝∞時，U₂＝4V，故開路電壓為：u_oc2＝4V。求等效電阻使用特勒根定理。當R₂分別為∞、100Ω、0時的電路如圖4-3-35（c）、（d）、（e）所示。

圖4-3-35（c）

圖4-3-35（d）

圖4-3-35（e）

圖4-3-35（c）中：U₁＝10－100I₁＝6V。

圖4-3-35（d）中，由于此時ab端輸出最大功率，因此：U(∧)₁/I₁＝R_eq＝100Ω，又：U(∧)₁＝10－100I(∧)₁。解得：I(∧)₁＝（1/20）A，U(∧)₁＝5V。

對圖4-3-35（c）、（d）使用特勒根定理2

U₁（－I(∧)₁）＋U₂I(∧)₂＝U(∧)₁（－I₁）＋U(∧)₂I₂

－6/20＋4I(∧)₂＝5（－1/25）

解得：I(∧)₂＝（1/40）A，U(∧)₂＝100I(∧)₂＝（5/2）V。

圖4-3-35（e）中，U(～)₁＝10－100I(～)₁，U(～)₂＝0。

對圖4-3-35（c）、（e）使用特勒根定理2

U₁（－I(～)₁）＋U₂I(～)₂＝U(～)₁（－I₁）＋U(～)₂I₂

－6I(～)₁＋4I(～)₂＝（10－100I(～)₁）（－1/25）

對圖4-3-35（d）、（e）使用特勒根定理2

U(∧)₁（－I(～)₁）＋U(∧)₂I(～)₂＝U(～)₁（－I(∧)₁）＋U(～)₂I(∧)₂

－5I(～)₁＋5I(～)₂/2＝（10－100I(～)₁）（－1/20）

由以上兩式解得：I(～)₂＝i_sc2＝（1/15）A。

因此等效電阻為：R_eq2＝4/（1/15）＝60Ω。

故當R₂＝R_eq2＝60Ω時，可取得最大功率

P_max＝u_oc2²/（4R_eq2）＝4²/（4×60）＝（1/15）W

18圖4-3-36所示二端口N中含有理想變壓器，求二端口網絡N的導納參數矩陣Y。[哈爾濱工業大學2013研]

圖4-3-36

解：根據電路可列方程

整理成Y參數的標準形式

故Y矩陣為