5.3　課后練習(xí)題詳解

1考察一種有三種可能結(jié)果的彩票：

●獲得125美元的概率為0.2；

●獲得100美元的概率為0.3；

●獲得50美元的概率為0.5。

（1）該彩票的期望值是多少？

（2）結(jié)果的方差是多少？

（3）一個風(fēng)險中性者愿意花多少錢購買這種彩票？

解：（1）期望值EV＝0.2×125＋0.3×100＋0.5×50＝80（美元）。

（2）收益方差σ²＝0.2×（125－80）²＋0.3×（100－80）²＋0.5×（50－80）²＝975。

（3）一個風(fēng)險中性者愿花80美元購買這種彩票，即他愿意支付的價格等于期望收益。

2假設(shè)你正投資于一家新成立的計算機公司，該公司的盈利取決于兩個方面：（1）美國國會是否會通過關(guān)稅議案，從而提高日本產(chǎn)計算機的價格；（2）美國經(jīng)濟增長的快慢。你要關(guān)注的四種相互排斥的情形分別是什么？

解：四種可能處于的狀態(tài)為：

3理查德正在決定要不要購買州發(fā)行的彩票，每張彩票的價格為1美元，取得回報的概率如下所示：

（1）如果理查德購買了一張彩票，它的期望值是多少？方差是多少？

（2）理查德的綽號是“風(fēng)險-不-瑞克”，因為他極度厭惡風(fēng)險。他會購買彩票嗎？

（3）理查德獲得了1000張彩票。討論一下你將怎樣確定他愿意賣出這1000張彩票的最低價格？

（4）從長期來看，給定彩票的價格和回報/概率表，你認為該州可以從該活動中得到什么？

解：（1）期望值EV＝0.5×0＋0.25×1＋0.2×2＋0.05×7.5＝1.025（美元）。

方差σ²＝0.5×（0－1.025）²＋0.25×（1－1.025）²＋0.2×（2－1.025）²＋0.05×（7.5－1.025）²≈2.812。

（2）理查德可能不會購買彩票的，盡管期望收益大于價格，即：1.025美元＞1.00美元。理查德是否將購買股票取決于它的風(fēng)險厭惡程度，也即風(fēng)險溢價水平。如果對于理查德來說，從彩票中獲得的期望回報并不足以補償他所冒的風(fēng)險，則不會購買彩票。現(xiàn)假定他有10美元，買了一張彩票，在四種情況下，他可能得到的收入為：9.00美元，10.00美元，11.00美元和16.50美元，假定他的效用函數(shù)為U＝W^0.5，那么期望效用為：

EU＝0.5×9^0.5＋0.25×10^0.5＋0.2×11^0.5＋0.05×16.5^0.5＝3.157

此時，他得到的期望效用小于他不買彩票時的效用：U（10）＝10^0.5＝3.162，因此他不會買彩票。

（3）理查德獲得1000張彩票，他的期望收益為1025美元，但他從這些彩票中可能獲得的收益從0美元（所有彩票回報都為0的極端情況）一直到7500美元（所有彩票回報都為7.5千美元的極端情況）。基于這種不確定性和理查德是風(fēng)險極度厭惡者的條件，可以知道理查德會愿意在期望收益不足1025美元情況下出售所有彩票，更準確的說是1025美元減去他的風(fēng)險溢價。為了找到這個價格，首先要計算彩票給他帶來的期望效用，類似于圖5.2中的F點，再利用他的效用函數(shù)，可以找到給他帶來同樣效用所對應(yīng)的收益值，這就類似于圖5.2中C點所代表的16000美元的收入，這一準確數(shù)值即為所求。

（4）從長期來看，該彩票發(fā)行者將會破產(chǎn)。給定了彩票價格和報酬概率，發(fā)行者應(yīng)該提高彩票的價格或者降低彩票正收益的概率。

圖5.2?風(fēng)險溢價

4假設(shè)有一位投資者關(guān)心的某項商業(yè)項目可能有三個前景——其概率與回報如下表所示。

這項不確定性投資的期望值是多少？方差呢？

解：期望收益EV＝0.4×100＋0.3×30＋0.3×（－30）＝40（美元）。

方差σ²＝0.4×（100－40）²＋0.3×（30－40）²＋0.3×（－30－40）²＝2940。

5你是一名保險代理人，正與一個新顧客山姆簽訂合同。他的公司，SCAM，目前正致力于為三明治佐料行業(yè)研制一種低脂低膽固醇的蛋黃醬替代品。三明治行業(yè)愿意為這種蛋黃醬替代品的最先發(fā)明者支付高額的專利費。山姆的SCAM公司對你而言具有很大的風(fēng)險性，你已計算出可能回報，如下表所示。

（1）山姆這個項目的期望回報是多少？方差呢？

（2）山姆最多愿意付出多少錢來購買保險？假定他是風(fēng)險中性的。

（3）假設(shè)你發(fā)現(xiàn)日本正計劃于下月推出它自己的蛋黃醬替代品，而不知此情的山姆剛剛拒絕了你提出的保險費為1000美元的方案。假定山姆告訴你他的公司將在6個月內(nèi)推出新產(chǎn)品，以及你知道日本的上述計劃，那么在你與山姆接下來的談判中，你是提高還是降低保單費用？山姆在他已有信息的基礎(chǔ)上，會接受你的建議嗎？

解：（1）期望收入EV＝0.999×（－1000000）＋0.001×1000000000＝1000（美元）。

方差σ²＝0.999×（－1000000－1000）²＋0.001×（1000000000－1000）²＝1000998999000000。

（2）假定山姆是風(fēng)險中性的，如果投保能夠彌補山姆的全部損失，則在收益等于成本的基礎(chǔ)上，山姆最多原意花費1000美元購買保險。

（3）日本公司的進入將降低山姆獲得高收益的可能性。例如，假設(shè)他獲得10億美元收益的可能性降為0.0001，那么山姆的期望收入為：

ER＝0.9999×（－1000000）＋0.0001×1000000000＝－899900（美元）

這樣，保險代理人應(yīng)該把保險費提到很高的水平。但是，在山姆已有的信息基礎(chǔ)上，不知道日本公司的進入，那么他將繼續(xù)拒絕保險代理人的提議；否則將接受保險代理人的提議。

6假設(shè)娜塔莎的效用函數(shù)為U（I）＝（10I）^1/2給出，式中，I為以千美元為單位的年收入。

（1）娜塔莎是風(fēng)險偏好型的、風(fēng)險中性的，還是風(fēng)險厭惡型的？請解釋。

（2）假設(shè)娜塔莎現(xiàn)在的收入為40000美元（I＝40），同時明年也肯定可以獲得這樣的收入。她現(xiàn)在面臨另外一個工作機會，該工作獲得44000美元收入的概率為0.6，獲得33000美元收入的概率為0.4。她會選擇這個新工作嗎？

（3）在（2）中，娜塔莎為了規(guī)避新工作相對應(yīng)的收入的波動，愿意購買保險嗎？如果愿意，她愿意支付多少保費？（提示：風(fēng)險溢價是多少？）

解：（1）娜塔莎是風(fēng)險厭惡型的。

因為假定她有10000美元，她持有10000美元的效用為U（I）＝（10×10）^1/2＝10。如果現(xiàn)在有一項投機活動，獲得1000美元和損失1000美元的概率都是50%，即0.5，那么她的期望效用：

EU＝0.5×（90^0.5）＋0.5×（110^0.5）＝9.987＜10

所以，她不會參與此項投機活動，證明娜塔莎是風(fēng)險厭惡的。

此外，還可以通過效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為負（U″＝－[（10）^1/2/4]I^－3/2＜0），即收入的邊際效用是遞減的，來判斷娜塔莎是風(fēng)險厭惡型的投資者。

（2）娜塔莎目前工資的效用是U（I）＝（10I）^1/2＝400^0.5＝20；

新工作收入的期望效用是：EU＝0.6×440^0.5＋0.4×330^0.5＝19.85。

因為新工作收入的期望效用小于目前工資的效用，所以她不會換工作。

（3）由（1）可知，娜塔莎是風(fēng)險厭惡者，因此她愿意購買保險。

如果娜塔莎接受了新工作，其期望收入EV＝0.6×44000＋0.4×33000＝39600美元，那么她將愿意為新工作收入的期望效用與新工作的期望收入的效用差距支付保險費，以保證獲得期望收入水平下的效用。

在（2）中已經(jīng)求出新工作收入的期望效用是19.85，假設(shè)它相當(dāng)于一項數(shù)額為I的穩(wěn)定收入帶來的效用，即19.85＝（10I）^0.5，解得：I≈39402美元。

所以，娜塔莎愿意支付的保險費為：39600－39402＝198美元。

7假定兩個投資項目有相同的三個支付，但是每個支付相對應(yīng)的概率各不相同，如下表所示：

（1）求每個投資項目的期望回報和標準差。

（2）吉爾的效用函數(shù)為U＝5I，其中I表示支付。她會選擇哪個投資項目呢？

（3）肯恩的效用函數(shù)為U＝5I^0.5，他會選擇哪個投資項目呢？

（4）勞拉的效用函數(shù)為U＝5I²，她會選擇哪個投資項目呢？

解：（1）投資項目A的期望收益為：

EV_A＝0.1×300＋0.8×250＋0.1×200＝250（美元）

該項目方差為：

σ_A²＝0.1×（300－250）²＋0.8×（250－250）²＋0.1×（200－250）²＝500

因而投資項目A的標準差為：σ_A＝（500）^0.5≈22.36。

投資項目B的期望報酬為：

EV_B＝0.3×300＋0.4×250＋0.3×200＝250（美元）

該項目方差為：

σ_B²＝0.3×（300－250）²＋0.4×（250－250）²＋0.3×（200－250）²＝1500

因而投資項目B的標準差為：σ_B＝1500^0.5≈38.73。

（2）吉爾從項目A中獲得的期望效用值為：

EU_A1＝0.1×5×300＋0.8×5×250＋0.1×5×200＝1250

吉爾從項目B中獲得的期望效用值為：

EU_B1＝0.3×5×300＋0.4×5×250＋0.3×5×200＝1250

因此，兩個投資項目帶給吉爾的期望效用都是相等的，而吉爾又是風(fēng)險中性的，所以她對這兩個投資項目沒有差異。

（3）肯恩從項目A中獲得的期望效用值為：

EU_A2＝0.1×5×300^0.5＋0.8×5×250^0.5＋0.1×5×200^0.5≈78.98

肯恩從項目B中獲得的期望效用值為：

EU_B2＝0.3×5×300^0.5＋0.4×5×250^0.5＋0.3×5×200^0.5≈78.82

肯恩將會選擇投資項目A，因為投資項目A能帶給他較高的期望效用。此外，肯恩是風(fēng)險厭惡的，因而他偏好波動性更小的投資項目。

（4）勞拉從項目A中獲得的期望效用值為：

EU_A3＝0.1×5×300²＋0.8×5×250²＋0.1×5×200²＝315000

勞拉從項目B中獲得的期望效用值為：

EU_B3＝0.3×5×300²＋0.4×5×250²＋0.3×5×200²＝320000

勞拉將會選擇投資項目B，因為投資項目B能帶給她較高的期望效用。此外，勞拉是風(fēng)險愛好的，因而她更偏好波動性大的投資項目。

8作為一位擁有25萬美元財富的農(nóng)場主，你要在將上年的收入（20萬美元）投入到一個報酬為5%的無風(fēng)險貨幣市場基金上等待季節(jié)過去與種植夏季玉米之間作選擇。種植的成本為20萬美元，6個月之后可以收割。如果雨水充足，那么種植夏季玉米在收割時將獲得50萬美元的收入；如果遇到干旱，那么收益將為5萬美元。第三種選擇是你可以購買農(nóng)業(yè)公司的抗干旱夏季玉米，成本為25萬美元，如果雨水充足，將會有50萬美元的收益，如果遇到干旱，那么收益為35萬美元。你是風(fēng)險厭惡型的，同時你對家庭財富（W）的偏好由關(guān)系式U（W）＝W^1/2給出。這個夏季發(fā)生干旱的概率為0.30，而雨水充足的概率為0.70。

你將選擇上述三個投資項目中的哪一個？請解釋。

答：第一個投資項目所能帶來的期望效用為：

EU₁＝[250000＋200000×（1＋0.05）]^0.5≈678.23

第二個投資項目所能帶來的期望效用為：

EU₂＝0.7×[250000＋（500000－200000）]^0.5＋0.3×[250000＋（50000－200000）]^0.5＝614.00

第三個投資項目所能帶來的期望效用為：

EU₃＝0.7×[250000＋（500000－250000）]^0.5＋0.3×[250000＋（350000－250000）]^0.5≈672.46

因而最終將選擇第一個投資項目，因為第一個投資項目所帶來的期望效用最高。

【說明】該題中，種植玉米的周期為6個月，而貨幣市場基金的利率5%如果是年利率，應(yīng)該將三個投資項目放在同一個時間周期內(nèi)考查。因此，貨幣市場基金6個月的利率為2.5%，從而第一個投資項目帶來的期望效用為：E（U）＝[250000＋200000×（1＋0.025）]^0.5≈674.54。此時，第一個投資項目帶來的期望效用仍是最高的，但比第三個投資項目的期望效用只高出很小的幅度。

9畫出這樣一個人的以收入為變量的效用函數(shù)曲線U（I）：他在收入較低時為風(fēng)險偏好型的，但在收入較高時為風(fēng)險厭惡型的。你能說明為什么這樣一個效用函數(shù)可能合理地描述了一個人的偏好嗎？

答：假設(shè)一人維持生活的最低收入為I^*。如圖5.3所示，當(dāng)收入大于I^*時，其邊際效用是遞減的，此時他是風(fēng)險規(guī)避者，為了避免損失他可能會購買保險；當(dāng)收入小于I^*時，他是風(fēng)險愛好者，為維持生活他會冒險從事高風(fēng)險的投機活動以獲取較大的收入。所以，這樣一種效用函數(shù)能夠合理地解釋該投資者的偏好。

圖5.3　表示收入高低情況下不同風(fēng)險偏好的效用曲線

10一個城市正考慮花多少錢去雇人來監(jiān)控停車計時器。以下信息是城市管理員可得的：

●雇傭一個計時器監(jiān)視人員每年需花費1萬美元；

●雇傭一個監(jiān)視人員時，違章者受到處罰的概率為0.25；

●雇傭兩個監(jiān)視人員時，受到處罰的概率變?yōu)?.5；雇傭三個時概率為0.75；雇傭四個時概率為1；

●目前有兩個監(jiān)視人員，違章超時停車的罰款為20美元。

（1）假設(shè)所有的司機都是風(fēng)險中性的，為了在最小成本下維持現(xiàn)在的處罰率，市政當(dāng)局會對每次違章征收多少罰款？雇傭多少監(jiān)視人員（1，2，3還是4）？

（2）假設(shè)所有司機都是高度風(fēng)險厭惡的，那么你對（1）的回答又如何？

（3）（討論）如果司機為規(guī)避違章停車處罰的風(fēng)險購買了保險，情況又會怎樣呢？從公共政策的角度而言，準許這樣的保險合理嗎？

答：（1）如果司機是風(fēng)險中性的，則他們的行為僅取決于期望的罰款數(shù)額。雇傭兩人時，處罰率為0.5且罰款為20美元，此時期望罰款為10美元。為了維持期望的處罰率，雇傭一人時，罰款應(yīng)定為40美元，雇傭三人時，罰款定為13.33美元，雇傭四人時，罰款定為10美元。

為了在最小成本下維持現(xiàn)在的處罰率，市政當(dāng)局要盡量少雇傭監(jiān)視員，所以市政當(dāng)局可以只雇傭一人，對每次違章的罰款定為40美元。

（2）如果司機是風(fēng)險厭惡的，不到40美元的罰款將保持目前的處罰率。

（3）司機可以采取多種方法來逃避罰款，例如在他們目的地旁邊不受監(jiān)視的停車點停車，或者使用公共交通工具。私人保險公司可以為司機受到的處罰買單，保險費基于每個司機受到處罰的概率和提供保險服務(wù)的機會成本而定。

公共政策應(yīng)該使整個社會成本和收益之間的差別最大化。從公共政策的角度處出發(fā)，允許這類保險的存在是不合理的。當(dāng)司機為規(guī)避違章停車罰款而購買保險，不利于相對稀缺的停車場的有效配置，使其他群體的利益受到損害。市政當(dāng)局可以考慮提供其他形式的保險，例如，出售停車點、對亂停車給以罰款等等。

11有一位投資者對風(fēng)險的規(guī)避程度適中，其投資組合50%投資于股票，另外50%投資于無風(fēng)險的國庫券。分別說明下述各個事件對該投資者的預(yù)算線以及股票在投資組合中的比重會有怎樣的影響：

（1）股票市場回報的標準差增加了，但是期望回報保持不變；

（2）股票市場的期望回報增加了，但是回報的標準差保持不變；

（3）無風(fēng)險國庫券的回報增加了。

答：（1）根據(jù)教材5.4部分，可知預(yù)算線方程為：

R_p＝[（R_m－R_f）/σ_m]σ_p＋R_f

R_p是資產(chǎn)組合的期望報酬，R_m是風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益，R_f是無風(fēng)險資產(chǎn)的期望收益，σ_m是風(fēng)險資產(chǎn)報酬的標準差，σ_p是資產(chǎn)組合報酬的標準差，預(yù)算線方程展示了資產(chǎn)組合報酬R_p和標準差σ_p的正向變化關(guān)系。

在這種情況下，如果股票市場上的報酬標準差σ_m增加，也即預(yù)算線的斜率變小，預(yù)算線將更加平滑。給定任何資產(chǎn)組合報酬的水平，該報酬水平將會對應(yīng)更大的標準差，所以投資者會減少股票在資產(chǎn)組合中所占的比例。

（2）如果股票市場上的期望收益增加，預(yù)算線的斜率會發(fā)生變化，預(yù)算線變得更加陡峭。給定報酬的標準差σ_p，將會對應(yīng)更高的資產(chǎn)報酬R_p。在這種情況下，投資者會增加股票在資產(chǎn)組合中所占的比例。

（3）無風(fēng)險國庫券的報酬R_f增加，預(yù)算線會向上移動，而且變得更加平滑。股票在資產(chǎn)組合中所占的比例可能增加也可能減少。

一方面，投資者可以從國庫券上獲得更大的報酬，所以可以減少對股票的持有而仍然保持原來的報酬水平；另一方面，投資者可能愿意把更多的儲蓄用于風(fēng)險資產(chǎn)的購買，這取決于該投資者的偏好和兩種資產(chǎn)總報酬的規(guī)模。這種情況類似于利率增加對儲蓄的影響，一方面因為報酬增加而增加儲蓄；但另一方面，由于可以減少儲蓄而仍然保持原來的儲蓄規(guī)模下的報酬水平，所以可能減少儲蓄。

12假設(shè)有兩類電子書消費者：100名“標準”消費者，需求為Q＝20－P；100名“拇指法則”消費者，只有價格低于10美元時才會購買10本電子書。（他們的需求為若P＜10，則Q＝10；若P≥10，則Q＝0。）畫出電子書的整體需求曲線。這種“拇指法則”行為是如何影響對電子書的需求彈性的？

圖5.4　電子書的市場需求曲線

答：（1）電子書的整體需求曲線如圖5.4所示。需求曲線的上半部分可以視為標準消費者的需求曲線。當(dāng)P＝20時，電子書的需求量為0；當(dāng)P＝10時，每位標準消費者的需求量為10，每名拇指法則消費者的電子書需求量為0。由于有100名標準消費者，因此，總需求量為1000；當(dāng)價格下降到9.99美元時，每名拇指法則消費者都將購買10本電子書，從而總需求量為2000。最終，當(dāng)電子書價格降為0時，每位標準消費者都將購買20本電子書，每位拇指法則消費者將購買10本電子書，此時總購買量為3000本。

（2）上半部分市場需求曲線方程等于100名單個標準消費者需求方程之和，即有：Q＝2000－100P。

因此，需求曲線的斜率為：ΔQ/ΔP＝－100。

由需求價格彈性公式E_D＝（P/Q）·（ΔQ/ΔP），可知當(dāng)P＝10時，需求價格彈性為：

E_D＝（10/1000）·（－100）＝－1

假設(shè)當(dāng)價格降為P＝9.99時，此時拇指法則消費者進入市場，需求價格彈性變?yōu)椋?/p>

E_D＝（9.99/2000）·（－100）≈－0.50

即“拇指法則”行為導(dǎo)致電子書需求價格彈性下降。其原因在于：一旦拇指法則消費者進入市場，由于他們的需求完全缺乏彈性，拇指法則消費者將降低價格在10美元以下的電子書的需求價格彈性。