第4章附錄　需求理論——一種數(shù)學(xué)的處理方法

1下面的效用函數(shù)中哪些符合凸的無(wú)差異曲線？哪些并不符合？

（1）U（X，Y）＝2X＋5Y；

（2）U（X，Y）＝（XY）^0.5；

（3）U（X，Y）＝Min（X，Y），這里Min是X和Y兩個(gè)數(shù)值中的最小值。

答：（2）中效用函數(shù)符合凸的無(wú)差異曲線，（1）和（3）中的效用函數(shù)都不符合。

三者的無(wú)差異曲線分別如圖4.19（a）、4.19（b）和4.19（c）所示。

圖4.19（a）　效用函數(shù)（1）的無(wú)差異曲線

圖4.19（b）　效用函數(shù)（2）的無(wú)差異曲線

圖4.19（c）　效用函數(shù)（3）的無(wú)差異曲線

2證明下面的兩個(gè)效用函數(shù)所導(dǎo)出的商品X和Y的需求函數(shù)是相同的。

（1）U（X，Y）＝ln（X）＋ln（Y）；

（2）U（X，Y）＝（XY）^0.5。

證明：用P_X和X分別表示商品X的價(jià)格和數(shù)量，P_Y和Y分別表示商品Y的價(jià)格和數(shù)量，用I表示收入。

（1）消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題為：

對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為：

L（X，Y，λ）＝ln（X）＋ln（Y）－λ（P_XX＋P_YY－I）

效用最大化條件為：

?L/?X＝1/X－λP_X＝0

?L/?Y＝1/Y－λP_Y＝0

?L/?λ＝I－P_XX－P_YY＝0

通過(guò)解上面三個(gè)方程，可以得到需求函數(shù)：X＝I/（2P_X），Y＝I/（2P_Y）。

（2）消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題為：

對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為：

L（X，Y，λ）＝（XY）^0.5－λ（P_XX＋P_YY－I）

效用最大化條件為：

?L/?X＝0.5（Y/X）^0.5－λP_X＝0

?L/?Y＝0.5（X/Y）^0.5－λP_Y＝0

?L/?λ＝I－P_XX－P_YY＝0

通過(guò)解上面三個(gè)方程，可以得到需求函數(shù)：X＝I/（2P_X），Y＝I/（2P_Y）。

所以，兩個(gè)效用函數(shù)所導(dǎo)出的是相同的需求函數(shù)。

3假設(shè)效用函數(shù)由Min（X，Y）給出，正如練習(xí)1中的（3）部分所示。那么將因?yàn)閄價(jià)格的變化而引起的其需求的變化進(jìn)行分解的斯盧茨基方程是什么？什么是收入效應(yīng)？什么是替代效應(yīng)？

答：斯盧茨基方程是：

其中第1項(xiàng)是替代效應(yīng)（當(dāng)效用水平不變時(shí)需求量的變化），第2項(xiàng)是收入效應(yīng)（在效用水平變化而商品X的相對(duì)價(jià)格不變的情況下需求量的變化）。由于效用函數(shù)形式為Min（X，Y），即完全互補(bǔ)型產(chǎn)品不存在作為價(jià)格變化的替代，所以替代效用為零。因此，固定比例效用函數(shù)的斯盧茨基方程為：

dX/dP_X＝－X（?X/?I）

如圖4.20所示，當(dāng)X的價(jià)格下降時(shí)，預(yù)算線從L₁轉(zhuǎn)動(dòng)到L₂，將新的預(yù)算線平行移動(dòng)到與原無(wú)差異曲線U₁相切，可得補(bǔ)償預(yù)算線L₃。與初始預(yù)算線L₁下一樣，在補(bǔ)償預(yù)算線下消費(fèi)者按固定比例消費(fèi)X和Y，所以不存在替代效應(yīng)，即替代效應(yīng)為零。收入效應(yīng)由預(yù)算線從L₃移動(dòng)到L₂決定，此時(shí)效用從U₁增加到U₂，且X的需求量增加。

圖4.20　固定比例效用函數(shù)的替代效應(yīng)與收入效應(yīng)

4莎倫的效用函數(shù)如下：

U（X，Y）＝X^1/2＋Y^1/2

式中，X是她對(duì)單獨(dú)包裝的塊狀糖的消費(fèi)量，P_X＝1美元，Y是她對(duì)濃咖啡的消費(fèi)量，P_Y＝3美元。

（1）推導(dǎo)莎倫對(duì)單獨(dú)包裝的塊狀糖和濃咖啡的需求函數(shù)。

（2）假定她的收入I為100美元，莎倫將消費(fèi)多少數(shù)量的單獨(dú)包裝的塊狀糖和濃咖啡？

（3）收入的邊際效用為多少？

解：（1）【方法一】根據(jù)效用函數(shù)：

U（X，Y）＝X^1/2＋Y^1/2

邊際效用函數(shù)為：

MU_X＝（1/2）X^－1/2，MU_Y＝（1/2）Y^－1/2

根據(jù)效用最大化原則和預(yù)算約束方程：

MU_X/MU_Y＝P_X/P_Y＝Y(jié)^1/2/X^1/2＝1/3

受預(yù)算線P_XX＋P_YY＝I，即X＋3Y＝I的約束，可以求出莎倫對(duì)單獨(dú)包裝的塊狀糖的需求函數(shù)：X＝（3/4）I；莎倫對(duì)濃咖啡的需求函數(shù)：Y＝I/12。

【方法二】莎倫的效用最大化問(wèn)題為：

對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為：

Φ＝X^1/2＋Y^1/2－λ（X＋3Y－I）

效用最大化的一階必要條件為：

?Φ/?X＝0.5X^－1/2－λ＝0①

?Φ/?Y＝0.5Y^－1/2－3λ＝0②

?Φ/?λ＝I－X－3Y＝0③

由式①②可得：λ＝1/（2X^0.5）＝1/（6Y^0.5），從而X＝9Y。

代入③式，可解得：X＝（3/4）I，Y＝I/12。

（2）假定其收入為100美元，即I＝100。則X＝（3/4）I＝（3/4）×100＝75，Y＝I/12＝100/12≈8。

所以，莎倫會(huì)消費(fèi)75個(gè)單位的單獨(dú)包裝的塊狀糖，8個(gè)單位的濃咖啡。

（3）根據(jù)本章附錄的理論，收入的邊際效用為拉格朗日乘子λ。根據(jù)（1）小題【方法二】的結(jié)果可知：λ＝1/（2X^0.5）＝1/（6Y^0.5），代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得：λ＝0.058。這一數(shù)據(jù)表明，隨著莎倫消費(fèi)的增加，其收入邊際效用隨之增加。

5莫里斯的效用函數(shù)如下：

U（X，Y）＝20X＋80Y－X²－2Y²

式中，X為他對(duì)CD的消費(fèi)量，價(jià)格為1美元；Y為錄像帶的消費(fèi)量，租金價(jià)格為2美元。他計(jì)劃在這兩種形式的娛樂(lè)上花41美元。求最大化莫里斯效用的CD與錄像帶租賃數(shù)量。

解：莫里斯的效用最大化問(wèn)題為：

拉格朗日方程為：

φ＝20X＋80Y－X²－2Y²－λ（X＋2Y－41）

效用最大化的一階條件為：

?φ/?X＝20－2X－λ＝0

?φ/?Y＝80－4Y－2λ＝0

?φ/?λ＝41－X－2Y＝0

從而可得最優(yōu)的CD與錄影帶租賃數(shù)量分別為：X＝7，Y＝17。