第三節　動力學

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1重10N的物塊沿水平面滑行4m，如果摩擦系數是0.3，則重力及摩擦力各做的功是（　　）。[2018年真題]

A．40N·m，40N·m

B．0，40N·m

C．0，12N·m

D．40N·m，12N·m

【答案】C

【解析】重力方向沒有位移，所以重力做功為零；摩擦力做功為W＝f·s＝μmg·s＝0.3×10×4＝12N·m。

2如圖4-3-1示均質圓輪，質量m，半徑R，由掛在繩上的重為W的物塊使其繞質心軸O轉動。設重物的速度為v，不計繩重，則系統動量、動能的大小是（　　）。[2017年真題]

圖4-3-1

A．Wv/g；

B．mv；

C．Wv/g＋mv；

D．Wv/g－mv；

【答案】A

【解析】動量是指：物體的質量與其速度的乘積，即mv，是物體機械運動強弱的一種度量。故系統的動量為：Wv/g。動能是指：由于物體運動而具有的能量。對于平移剛體動能為：T＝mv²/2；對于轉動剛體動能為：T＝J_Z·ω²/2。故系統的動能為：

整理得：

其中，薄圓盤繞圓心的轉動慣量為：J＝mR²/2。

3如圖4-3-2所示質點受彈簧力作用而運動，l₀為彈簧自然長度，k為彈簧剛度系數，質點由位置1到位置2和由位置3到位置2彈簧力所做的功為（　　）。[2016年真題]

圖4-3-2

A．W₁₂＝－1.96J，W₃₂＝1.176J

B．W₁₂＝1.96J，W₃₂＝1.176J

C．W₁₂＝1.96J，W₃₂＝－1.176J

D．W₁₂＝－1.96J，W₃₂＝－1.176J

【答案】C

【解析】彈簧做正功，彈性勢能減小；彈簧做負功，彈性勢能增大。質點由位置1到位置2，彈簧伸長量減小，彈性勢能減小，彈簧做正功，大小為：kx₁²/2－kx₂²/2＝1960×0.06²/2－1960×0.04²/2＝1.96J。位置3到位置2，彈性勢能增加，彈簧做負功，大小為：kx₃²/2－kx₂²/2＝1960×0.02²/2－1960×0.04²/2＝－1.176J。

4圖4-3-3所示均質鏈條傳動機構的大齒輪以角速度ω轉動，已知大齒輪半徑為R，質量為m₁，小齒輪半徑為r，質量為m₂，鏈條質量不計，則此系統的動量為（　　）。[2014年真題]

圖4-3-3

A．（m₁＋2m₂）v（→）

B．（m₁＋m₂）v（→）

C．（2m₂－m₁）v（→）

D．0

【答案】D

【解析】動量是指物體的質量與其運動速度的乘積，是物體機械運動強弱的一種度量。本題中，兩齒輪質心速度v_C＝0，故系統動量為0。

5圖4-3-4所示均質圓輪，質量為m，半徑為r，在鉛垂面內繞通過圓盤中心O的水平軸以勻角速度ω轉動。則系統動量、對中心O的動量矩、動能的大小分別為（　　）。[2011年真題]

圖4-3-4

A．0；mr²ω/2；mr²ω²/4

B．mrω；mr²ω/2；mr²ω²/4

C．0；mr²ω/2；mr²ω²/2

D．0；mr²ω/4；mr²ω²/4

【答案】A

【解析】動量是物體的質量與其速度的乘積，對于質點來說，p＝mv；對于質點系來說，p＝∑m_iv_i；對于該轉動系統來說，圓輪質心速度v_C＝0，故系統動量為0。轉動剛體的動量矩是剛體轉動慣量與角速度的乘積，即L_O＝J_Oω＝mr²/2·ω。轉動剛體的動能是剛體的轉動慣量與角速度的平方乘積的一半，即T＝J_Oω²/2＝（1/2）·（1/2）mr²ω²＝（1/4）mr²ω²。

6質量m₁與半徑r均相同的三個均質滑輪，在繩端作用有力或掛有重物，如圖4-3-5所示。已知均質滑輪的質量為m₁＝2kN·s²/m，重物的質量分別為m₂＝0.2kN·s²/m，m₃＝0.1kN·s²/m，重力加速度按g＝10m/s²計算，則各輪轉動的角加速度α間的關系是（　　）。[2018年真題]

圖4-3-5

A．α₁＝α₃＞α₂

B．α₁＜α₂＜α₃

C．α₁＞α₃＞α₂

D．α₁≠α₂＝α₃

【答案】C

【解析】根據動量矩定理，列出每個圖對滑輪中心的動量矩方程：d（Jω₁）/dt＝1×r，d[Jω₂＋（m₂＋m₃）v₂r]/dt＝（m₂－m₃）gr，d（Jω₃＋m₃v₃r）/dt＝m₃gr。式中，J＝m₁r²/2，v_i＝ω_ir，dω_i/dt＝α_i，i＝1，2，3。

解得：

所以：

7如圖4-3-6所示圓環以角速度ω繞鉛直軸AC自由轉動，圓環的半徑為R，對轉軸的轉動慣量為I；在圓環中的A點放一質量為m的小球，設由于微小的干擾，小球離開A點。忽略一切摩擦，則當小球達到B點時，圓環的角速度是（　　）。[2016年真題]

圖4-3-6

A．mR²ω/（I＋mR²）

B．Iω/（I＋mR²）

C．ω

D．2Iω/（I＋mR²）

【答案】B

【解析】系統初始總動量為Iω，小球達到B點穩定后的系統總動量為（I＋mR²）ω_B。根據動量守恒原理，有：（I＋mR²）ω_B＝Iω，解得：ω_B＝Iω/（I＋mR²）。

8均質細桿AB重P、長2L，A端鉸支，B端用繩系住，處于水平位置，如圖4-3-7所示。當B端繩突然剪斷瞬時，AB桿的角加速度的大小為（　　）。[2011年真題]

圖4-3-7

A．0

B．3g/4L

C．3g/2L

D．6g/L

【答案】B

【解析】對于定軸轉動剛體，動量矩定理公式為：

由題可得：

J_z＝m（2L）²/12＋mL²＝4mL²/3，故得：α＝3g/4L。

9均質圓柱體半徑為R，質量為m，繞關于對墻面垂直的固定水平軸自由轉動，初瞬時靜止（G在O軸的鉛垂線上），如圖4-3-8所示，則圓柱體在位置θ＝90°時的角速度是（　　）。[2014年真題]

圖4-3-8

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據動能定理，mgR＝（1/2）·J_O·ω²。其中，J_O＝（1/2）mR²＋mR²＝（3/2）mR²，代入可解得：

10A塊與B塊疊放如圖4-3-9所示，各接觸面處均考慮摩擦。當B塊受力F作用沿水平面運動時，A塊仍靜止于B塊上，于是（　　）。[2013年真題]

圖4-3-9

A．各接觸面處的摩擦力都作負功

B．各接觸面處的摩擦力都作正功

C．A塊上的摩擦力作正功

D．B塊上的摩擦力作正功

【答案】C

【解析】力所做的功等于力與沿力的作用方向上位移的乘積，A物塊上的摩擦力與A物塊的運動方向相同，B物塊上的摩擦力與B物塊的運動方向相反。可見，A與B之間的摩擦力做正功，B與地面之間的摩擦力做負功。

11如圖4-3-10所示，汽車重2800N，并以勻速10m/s的行駛速度，撞入剛性洼地，此路的曲率半徑是5m，取g＝10m/s²。則在此處地面給汽車的約束力大小為（　　）。[2017年真題]

圖4-3-10

A．5600N

B．2800N

C．3360N

D．8400N

【答案】D

【解析】地面給汽車的約束力為重力與離心力反力之和。其中，離心力F_N＝ma_n，a_n＝v²/r。因此F＝G＋mv²/r＝G＋（G/g）（v²/r）＝2800＋（2800/10）×（10²/5）＝8400N。

12質量為m，長為2l的均質桿初始位于水平位置，如圖4-3-11所示，A端脫落后，桿繞軸B轉動，當桿轉到鉛垂位置時，AB桿B處的約束力大小為（　　）。[2010年真題]

圖4-3-11

A．F_Bx＝0；F_By＝0

B．F_Bx＝0；F_By＝mg/4

C．F_Bx＝l；F_By＝mg

D．F_Bx＝0；F_By＝5mg/2

【答案】D

【解析】根據機械能守恒定律，mgl＝Jω²/2，J＝[m（2l）²]/3，得ω²＝3g/2l。則到達鉛垂位置時向心加速度為：lω²＝3g/2。根據達朗貝爾原理，F_By＝mg＋mlω²＝5mg/2，又水平方向合力為零，得F_Bx＝0。

13均質細桿OA，質量為m，長l。在如圖4-3-12所示水平位置靜止釋放，釋放瞬時軸承O施加于桿OA的附加動反力為（　　）。[2018年真題]

圖4-3-12

A．3mg（↑）

B．3mg（↓）

C．3mg/4（↑）

D．3mg/4（↓）

【答案】C

【解析】設該瞬時桿質心的加速度為a，方向向下。則該均質細桿慣性力F_IO＝ma，方向向上。向O點簡化，則O點虛加向上的慣性力F_IO＝ma，虛加逆時針慣性力偶M_IO＝J_Oα＝（ml²/3）·[a/（l/2）]＝2mla/3。根據動靜法對O點取矩，由∑M_O（F）＝0，mgl/2－M_IO＝0，解得a＝3g/4。因此，軸承O加于桿OA的附加動反力F_IO＝ma＝3mg/4（↑）。

14如圖4-3-13示均質圓輪，質量為m，半徑為r，在鉛垂平面內繞通過圓盤中心O的水平軸轉動，角速度為ω，角加速度為ε，此時將圓輪的慣性力系向O點簡化，其慣性力主矢和慣性力主矩的大小分別為（　　）。[2010年真題]

圖4-3-13

A．0，0

B．mrε，mr²ε/2

C．0，mr²ε/2

D．0，mr²ε/4

【答案】C

【解析】根據定軸轉動剛體慣性力系的簡化結果，上述圓盤的慣性力系可簡化為作用于質心的一個力F_Ⅰ和一力偶矩為M_IC的力偶，且F_I＝－ma，M_IO＝－J_Oα。其中，a＝0；J_O＝mr²/2；α＝ε。因此，慣性力主矢F_I＝0，慣性力主矩M_IO＝mr²ε/2。

15質量不計的水平細桿AB長為L，在鉛垂平面內繞A軸轉動，其另一端固連質量為m的質點B，在圖4-3-14所示水平位置靜止釋放，則此瞬時質點B的慣性力為（　　）。[2014年真題]

圖4-3-14

A．F_g＝mg

B．

C．0

D．

【答案】A

【解析】設該瞬時桿質心的加速度為a，方向向下。則該質點慣性力F_IO＝ma，方向向上。向A點簡化，則A點虛加向上的慣性力F_IO＝ma，虛加逆時針慣性力偶M_IO＝J_Oα＝（mL²）·[a/L]＝maL。根據動靜法對A點取矩，由∑M_A（F）＝0，mgL－M_IO＝0，解得a＝g。則此瞬時質點B的慣性力為：F_IO＝ma＝mg，方向向上。

16質量為m，半徑為R的均質圓輪，繞垂直于圖面的水平軸O轉動，其角速度為ω。在圖4-3-15所示瞬時，角加速度為0，輪心C在其最低位置，此時將圓輪的慣性力系向O點簡化，其慣性力主矢和慣性力主矩的大小分別為（　　）。[2013年真題]

圖4-3-15

A．，0

B．mRω²，0

C．0，0

D．0，

【答案】A

【解析】因角加速度為0，故質心處無切向加速度，法向加速度大小為Rω²/2，故慣性力大小為mRω²/2，方向豎直向下，作用線通過O點。所以慣性力主矢大小為mRω²/2，主矩為零。

17質量為m的物塊A，置于與水平面成θ角的斜面B上，如圖4-3-16所示。A與B間的摩擦系數為f，為保持A與B一起以加速度a水平向右運動，則所需的加速度a至少是（　　）。[2013年真題]

圖4-3-16

A．a＝g（fcosθ＋sinθ）/（cosθ＋fsinθ）

B．a＝gfcosθ/（cosθ＋fsinθ）

C．a＝g（fcosθ－sinθ）/（cosθ＋fsinθ）

D．a＝gfsinθ/（cosθ＋fsinθ）

【答案】C

【解析】A受到沿斜面向上的靜摩擦力以提供水平向右的加速度。利用達朗貝爾原理，給A施加向左的慣性力。根據動靜法，對A進行受力分析：

又F_f＝fF_N，代入上述公式，mgsinθ＋macosθ＝f（mgcosθ－masinθ），解得：a＝g（fcosθ－sinθ）/（cosθ＋fsinθ）。

18圖4-3-17所示質量為m、長為l的均質桿OA繞O軸在鉛垂平面內作定軸轉動。已知某瞬時桿的角速度為ω，角加速度為α，則桿慣性力系合力的大小為（　　）。[2012年真題]

圖4-3-17

A．

B．

C．lmα/2

D．lmω²/2

【答案】B

【解析】慣性力系的合力大小F₁＝ma_C，而質心C有切向加速度和法向加速度。故

又有a_n＝lω²/2，a_τ＝lα/2。故

19均質細桿AB重P，長2L，A端鉸支，B端用繩系住，處于水平位置，如圖4-3-18所示。當B端繩突然剪斷瞬時，AB桿的角加速度大小為3g/4L，則A處約束力大小為（　　）。[2009年真題]

A．F_Ax＝0；F_Ay＝0

B．F_Ax＝0；F_Ay＝P/4

C．F_Ax＝0；F_Ay＝3P/4

D．F_Ax＝0；F_Ay＝P

圖4-3-18

【答案】B

【解析】受力圖如圖4-3-19所示，圖中C為質心。對桿AB進行運動分析如下：當B端繩突然剪斷瞬時，ω＝0，所以a_Cn＝lω²＝0，a_C＝a_Cτ＝lα＝3g/4。對桿AB進行受力分析如下：桿AB受重力P、約束反力F_Ax和F_Ay，慣性力主矢F₁＝ma_C，方向與a_C相反，慣性力主矩M_IA＝J_Aα與α相反。由動靜法平衡方程∑F_y＝0，F_Ay＋F₁－P＝0，解得：F_Ay＝P－F₁＝P－3mg/4＝P/4，由∑F_x＝0，得F_Ax＝0。

圖4-3-19

20圖4-3-20所示兩系統均做自由振動，其固有圓頻率分別為（　　）。[2018年真題]

圖4-3-20

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【解析】設圖（a）斜面傾角為α，平衡狀態下彈簧變形為δ_st，由kδ_st＝mgsinα，解得：δ_st＝mgsinα/k。設物塊沿斜面從平衡點向下運動x，此時加速度沿斜面向上，則慣性力F＝－md²x/dt²沿斜面向下，列出物塊沿截面的運動微分方程為：－md²x/dt²＋mgsinα＝k（δ＋x），化簡得：md²x/dt²＋kx＝0，即物塊運動微分方程與傾角α無關。故圖（a）固有圓頻率為：

對于圖（b），兩彈簧串聯的等效剛度為1/（1/k＋1/k）＝k/2，其固有圓頻率為：

21重為W的質點，由長為l的繩子連接，如圖4-3-21所示，則單擺運動的固有圓頻率為（　　）。[2017年真題]

圖4-3-21

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】固有圓頻率是指2π秒內的振動次數。周期是指：振動一次所需要的時間。單擺周期公式為：

式中，l為擺長；g為當地重力加速度。故單擺運動的固有圓頻率為：

225kg質量塊振動，其自由振動規律是x＝Xsinω_nt，如果振動的圓頻率為30rad/s，則此系統的剛度系數為（　　）。[2016年真題]

A．2500N/m

B．4500N/m

C．180N/m

D．150N/m

【答案】B

【解析】自由振動的圓頻率計算公式為：

故剛度系數為：k＝mω²＝5×900＝4500N/m。

23圖4-3-22所示系統中，當物塊振動的頻率比為1.27時，k的值是（　　）。[2014年真題]

圖4-3-22

A．1×10⁵N/m

B．2×10⁵N/m

C．1×10⁴N/m

D．1.5×10⁵N/m

【答案】A

【解析】已知頻率比ω/ω₀＝1.27，且ω＝40rad/s，

所以k＝（40/1.27）²×100＝9.9×10⁴N/m≈1×10⁵N/m。

24質量為110kg的機器固定在剛度為2×10⁶N/m的彈性基礎上，當系統發生共振時，機器的工作頻率為（　　）。[2013年真題]

A．66.7rad/s

B．95.3rad/s

C．42.6rad/s

D．134.8rad/s

【答案】D

【解析】共振時，機器的工作頻率與固有頻率相等，振幅最大。因此，根據固有頻率公式可計算工作頻率為：

25已知單自由度系統振動的固有頻率ω₀＝2rad/s，若在其上分別作用幅值相同而頻率為ω₁＝1rad/s、ω₂＝2rad/s、ω₃＝3rad/s的簡諧干擾力，則此系統強迫振動的振幅為（　　）。[2012年真題]

A．ω₁＝1rad/s時振幅最大

B．ω₂＝2rad/s時振幅最大

C．ω₃＝3rad/s振幅最大

D．不能確定

【答案】B

【解析】根據共振原理，當干擾力的頻率等于固有頻率ω₀時，系統發生共振，此時振幅最大。因此，當ω₂＝2rad/s時，振幅最大。

26圖4-3-23所示裝置中，已知質量m＝200kg，彈簧剛度k＝100N/cm，則圖中各裝置的振動周期為（　　）。[2011年真題]

圖4-3-23

A．圖（a）裝置振動周期最大

B．圖（b）裝置振動周期最大

C．圖（c）裝置振動周期最大

D．三種裝置振動周期相等

【答案】B

【解析】圖（a）彈簧為并聯，等效彈簧剛度為2k，則系統的固有頻率為：

圖（b）彈簧為串聯，等效彈簧剛度為k·k/（k＋k）＝k/2，則系統的固有頻率為：

圖（c）彈簧為并聯，等效彈簧剛度為3k，則系統的固有頻率為：

裝置周期T＝2π/ω，由于ω_b最小，故圖（b）裝置振動周期最大。

27如圖4-3-24所示，一彈簧質量系統，置于光滑的斜面上，斜面的傾角α可以在0～90°間改變，則隨α的增大系統振動的固有頻率（　　）。[2009年真題]

圖4-3-24

A．增大

B．減小

C．不變

D．不能確定

【答案】C

【解析】設平衡狀態下彈簧變形為δ_st，由kδ_st＝mgsinα，解得δ_st＝mgsinα/k。設物塊沿斜面從平衡點向下運動x，此時加速度沿斜面向上，則慣性力F＝－md²x/dt²沿斜面向下，列出物塊沿截面的運動微分方程為：－md²x/dt²＋mgsinα＝k（δ＋x），化簡得md²x/dt²＋kx＝0。因此，系統振動的固有頻率只與自身固有的m和k有關，與傾角α無關。

28如圖4-3-25所示，質量為m，半徑為r的定滑輪O上繞有細繩。依靠摩擦使繩在輪上不打滑，并帶動滑輪轉動。繩之兩端均系質量m的物塊A與B。塊B放置的光滑斜面傾角為α，0＜α＜π/2，假設定滑輪O的軸承光滑，當系統在兩物塊的重力作用下運動時，B與O間，A與O間的繩力F_T1和F_T2的大小有（　　）關系。

圖4-3-25

A．F_T1＝F_T2

B．F_T1＜F_T2

C．F_T1＞F_T2

D．只依據已知條件則不能確定

【答案】B

【解析】在右側物重力作用下，滑輪沿順時針方向轉動。根據動量矩定理，（F_T2－F_T1）r＝J_Oα＞0，故F_T1＜F_T2。

29如圖4-3-26所示，重為P的小球系于細繩的一端，繩的另一端穿過光滑水平面上的小孔O，令小球在此水平面上沿半徑為r的圓周作勻速運動，其速度為v₀。如果將繩下拉，使圓周的半徑減小為r/2，則此時繩的拉力為（　　）。

圖4-3-26

A．T＝2Pv₀²/（gr）

B．T＝8Pv₀²/（gr）

C．T＝Pv₀²/（gr）

D．T＝4Pv₀²/（gr）

【答案】B

【解析】小球關于轉動中心O的動量矩守恒，即Pv₀r/g＝（Pv/g）·（r/2），由此可得v＝2v₀。于是小球的法向加速度為：

則繩的拉力為：T＝Pα_r/g＝8Pv₀²/（gr）。

30均質等厚零件，如圖4-3-27所示，設單位面積的質量為ρ，大圓半徑為R，挖去的小圓半徑為r，兩圓心的距離為a，則零件對過O點并垂直于零件平面的軸的轉動慣量為（　　）。

圖4-3-27

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據題中所給的條件，可得半徑為R的大圓對O軸的轉動慣量為：

由平行移軸定理可知，半徑為r的小圓對O軸的轉動慣量為：

由疊加法可得，零件對O軸的轉動慣量為：

31在重量為P的均質圓柱體的中心O處鉸接一重量也為P的直桿OA，此直桿的另一端A靠在斜面上，如圖4-3-28所示，今使圓柱體做純滾動，若某瞬時O點速度為v，則此瞬時系統的動能為（　　）。

圖4-3-28

A．5Pv²/4g

B．3Pv²/4g

C．Pv²/g

D．2Pv²/g

【答案】A

【解析】桿的動能T₁＝Pv²/2g，圓柱的動能T₂＝mv_O²/2＋J_Oω²/2＝mv²/2＋（1/2）×（mr²/2）×v²/r²＝3Pv²/4g。因此，系統的動能為：T₁＋T₂＝5Pv²/4g。

32如圖4-3-29所示，半徑為R，質量為m的均質圓盤由鉸支座和繩約束，鉸O與質心C位于水平位置。當剪斷繩的瞬時，圓盤的ω_O和α_O分別為______；當OC轉至與水平成90°時圓盤的ω和α分別為______。（　　）

圖4-3-29

A．ω_O＝0和α_O＝4g/3R；和α_O＝2g/3R

B．ω_O＝0和α_O＝2g/3R；和α＝0

C．ω_O＝0和α_O＝g/3R；和α＝0

D．ω_O＝0和α_O＝4g/3R；和α＝2g/3R

【答案】B

【解析】繩被剪斷瞬間，圓盤尚未開始旋轉，角速度ω_O＝0；雖然圓盤速度為零，但由于受到重力作用，圓盤有旋轉的趨勢，因此，角加速度不等于零。由Jα＝Fr，即3mR²α_O/2＝mgR，可得α_O＝2g/3R；當OC轉至與水平成90°即鉛垂位置時，根據機械能守恒，OC處于水平位置時的機械能等于OC處于鉛垂位置時的機械能，于是有mgR＝Jω²/2，可得

而當OC轉至鉛垂位置時，圓盤在水平方向上不受力，因此加速度為零，角加速度α也為零。