第五章　材料力學

第一節　拉伸與壓縮

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1等截面桿，軸向受力如圖5-1-1所示，則桿的最大軸力是（　?。?span id="e2nz97s" class="ZhenTiTag">[2018年真題]

圖5-1-1

A．8kN

B．5kN

C．3kN

D．13kN

【答案】B

【解析】畫出桿件軸力圖如圖5-1-2所示，故桿件最大軸力為5kN。

圖5-1-2

2等截面直桿，軸向受力如圖5-1-3，桿的最大拉伸軸力是（　　）。[2016年真題]

圖5-1-3

A．10kN

B．25kN

C．35kN

D．20kN

【答案】A

【解析】設拉力為正，壓力為負，從右向左截面軸力依次為＋10kN，－25kN，－20kN，所以最大拉力為10kN。

3圖5-1-4所示結構的兩桿面積和材料相同，在鉛直向下的力F作用下，下面正確的結論是（　?。?。[2014年真題]

圖5-1-4

A．C點位移向下偏左，1桿軸力不為零

B．C點位移向下偏左，1桿軸力為零

C．C點位移鉛直向下，1桿軸力為零

D．C點位移向下偏右，1桿軸力不為零

【答案】A

【解析】在力F作用下，假設節點C鉛直向下移動，此時桿1和桿2均產生變形。根據物理方程，桿1和桿2內部會產生軸力。取節點C為研究對象，根據節點C在水平方向的平衡可知，僅靠桿1的水平分量不足以使節點平衡，還需桿2向右的水平分量，如圖5-1-5所示。因此，C點位移應該向下偏左。

圖5-1-5

4圖5-1-6所示結構的兩桿面積和材料相同，在鉛直力F作用下，拉伸正應力最先達到許用應力的桿是（　　）。[2013年真題]

圖5-1-6

A．桿1

B．桿2

C．同時達到

D．不能確定

【答案】B

【解析】對C點進行受力分析：∑F_x＝0，F₂sin30°－F₁sin45°＝0；∑F_y＝0，F₁cos45°＋F₂cos30°－F＝0，得

F₂＞F₁。又兩桿面積和材料相同，由正應力公式σ＝F_N/A可得σ₂＞σ₁，故桿2先達到許用應力。

5圖5-1-7所示結構的兩桿許用應力均為[σ]，桿1的面積為A，桿2的面積為2A，則該結構的許用載荷是（　?。?。[2013年真題]

圖5-1-7

A．[F]＝A[σ]

B．[F]＝2A[σ]

C．[F]＝3A[σ]

D．[F]＝4A[σ]

【答案】B

【解析】桿1和桿2的的軸力為：F₁＝F₂＝F/2，故F/2＝min{A[σ]；2A[σ]}。解得：[F]＝2A[σ]。

6圓截面桿ABC軸向受力如圖5-1-8，已知BC桿的直徑d＝100mm，AB桿的直徑為2d，桿的最大的拉應力是（　?。?。[2014、2011年真題]

圖5-1-8

A．40MPa

B．30MPa

C．80MPa

D．120MPa

【答案】A

【解析】桿AB和桿BC的的軸力分別為F_AB＝300πkN，F_BC＝100πkN。根據F＝Aσ解得：σ_AB＝30MPa，σ_BC＝40MPa，各桿應力不變。故其最大拉應力經計算為BC桿截面處40MPa。

7截面面積為A的等截面直桿，受軸向拉力作用。桿件的原始材料為低碳鋼，若將材料改為木材，其他條件不變，下列結論中正確的是（　?。?span id="w7pmlqw" class="ZhenTiTag">[2012年真題]

A．正應力增大，軸向變形增大

B．正應力減小，軸向變形減小

C．正應力不變，軸向變形增大

D．正應力減小，軸向變形不變

【答案】C

【解析】根據公式σ＝F_N/A，由于F_N和A都不變，故正應力不變。根據公式ΔL＝F_NL/EA，由于木材的彈性模量減小，故軸向變形ΔL增大。

8圖5-1-9所示拉桿承受軸向拉力P的作用，設斜截面m—m的面積為A，則σ＝P/A為（　　）。[2008年真題]

圖5-1-9

A．橫截面上的正應力

B．斜截面上的正應力

C．斜截面上的應力

D．斜截面上的剪應力

【答案】C

【解析】橫截面拉伸正應力：σ＝P/S，S為正截面面積；記斜截面m—m的法線與x軸夾角為α，則斜截面上的正應力和切應力為：

而P_α＝P/A為斜截面上的正應力和切應力的合力即斜截面上的應力。

9變截面桿AC受力如圖5-1-10所示。已知材料彈性模量為E，桿BC段的截面積為A，桿AB段的截面積為2A，則桿C截面的軸向位移是（　　）。[2018年真題]

圖5-1-10

A．FL/2EA

B．FL/EA

C．2FL/EA

D．3FL/EA

【答案】A

【解析】設C截面的位移向右為正，則Δ_C＝（FL/EA）－（FL/2EA）＝FL/2EA。

10圖5-1-11所示等截面直桿，材料的抗壓剛度為EA，桿中距離A端1.5L處橫截面的軸向位移是（　?。?。[2012年真題]

圖5-1-11

A．4FL/EA

B．3FL/EA

C．2FL/EA

D．FL/EA

【答案】D

【解析】根據求軸力的直接法可得AB段軸力F_N1＝F，BC段軸力F_N2＝0，CD段軸力F_N3＝2F。分析可知所求橫截面的軸向位移就等于AB段的伸長量ΔL＝FL/EA。

11如圖5-1-12所示，已知拉桿橫截面積A＝100mm²，彈性模量E＝200GPa，橫向變形系數μ＝0.3，軸向拉力F＝20kN，拉桿的橫向應變ε′是（　　）。[2017年真題]

圖5-1-12

A．ε′＝0.3×10^－3

B．ε′＝－0.3×10^－3

C．ε′＝10^－3

D．ε′＝－10^－3

【答案】B

【解析】胡克定律是指：當應力不超過材料比例極限時，應力與應變成正比，即σ＝Eε，其中，E為材料的彈性模量。橫向線應變ε′與縱向線應變ε之比的絕對值為一常數μ，且縱向線應變與橫向線應變的正負號恒相反，此題中縱向線應變ε為拉應變（正號）。由胡克定律得：ε′＝－μσ/E＝－μF/（EA）＝（－0.3×20×10³）/（200×10⁹×100×10^－6）＝－0.3×10^－3。

12兩拉桿的材料和所受拉力都相同，且均處在彈性范圍內，若兩桿長度相等，橫截面面積A₁＞A₂，則（　　）。[2008年真題]

A．Δl₁＜Δl₂；ε₁＝ε₂

B．Δl₁＝Δl₂；ε₁＜ε₂

C．Δl₁＜Δl₂；ε₁＜ε₂

D．Δl₁＝Δl₂；ε₁＝ε₂

【答案】C

【解析】根據胡克定律，縱向變形Δl＝Nl/EA，縱向線應變ε＝Δl/l＝N/EA。在比例極限內，桿的縱向變形Δl和線應變ε與面積A成反比，故Δl₁＜Δl₂，ε₁＜ε₂。

13等直桿的受力情況如圖5-1-13所示，則桿內最大軸力N_max和最小軸力N_min分別為（　?。?。[2007年真題]

圖5-1-13

A．N_max＝60kN；N_min＝15kN

B．N_max＝60kN；N_min＝15kN

C．N_max＝30kN；N_min＝－30kN

D．N_max＝90kN；N_min＝－60kN

【答案】C

【解析】作直桿的軸力圖，如圖5-1-14所示，則N_max＝30kN，N_min＝－30kN。

圖5-1-14

14橫截面面積為A的等截面直桿受力F作用發生軸向拉伸變形，其30°斜截面上的正應力和切應力分別為（　?。?/p>

A．；3F/4A

B．F/2A；

C．；F/2A

D．3F/4A；

【答案】D

【解析】橫截面上的正應力為：σ₀＝F/A；30°斜截面正應力σ_30°＝σ₀cos²30°＝3F/4A，切應力

15如圖5-1-15所示結構中，桿①、②、③的軸力分別為：N₁、N₂、N₃，軸向線應變分別為：ε₁、ε₂、ε₃。已知三根水平桿的EA相同，忽略梁AB的變形，則三桿軸力及線應變的關系為（　?。?。

圖5-1-15

A．N₁＝N₂＝N₃，ε₁＜ε₂＜ε₃

B．N₁＜N₂＜N₃，ε₁＜ε₂＜ε₃

C．N₁＝N₂＝N₃，ε₁＝ε₂＝ε₃

D．N₁＜N₂＜N₃，ε₁＝ε₂＝ε₃

【答案】C

【解析】根據物理方程：

Δl₁＝（N₁·l）/EA，Δl₂＝（N₂·2l）/EA，Δl₃＝（N₃·3l）/EA

因此

Δl₁∶Δl₂∶Δl₃＝N₁∶N₂∶N₃

再根據三角形相似，可得幾何變形協調條件為：

Δl₁∶Δl₂∶Δl₃＝1∶2∶3

因此，N₁＝N₂＝N₃。據胡克定律ε＝σ/E＝N/（EA），可得：ε₁＝ε₂＝ε₃。

16兩根拉桿受軸向力作用如圖5-1-16所示。已知兩桿的橫截面面積A和桿長L之間的關系為：A₁/A₂＝1/2，L₁/L₂＝1/2，則桿的伸長量ΔL和縱向線應變ε之間的關系為（　?。?。

圖5-1-16

A．ΔL₁/ΔL₂＝1，ε₁/ε₂＝1/2

B．ΔL₁/ΔL₂＝1/2，ε₁/ε₂＝1/2

C．ΔL₁/ΔL₂＝1/2，ε₁/ε₂＝1

D．ΔL₁/ΔL₂＝2，ε₁/ε₂＝1

【答案】C

【解析】兩桿的伸長量分別為：ΔL₁＝PL₁/EA₁，ΔL₂＝2PL₂/EA₂＝4PL₁/2EA₁＝2PL₁/EA₁，故ΔL₁/ΔL₂＝1/2。兩桿的線應變分別為ε₁＝ΔL₁/L₁＝P/（EA₁），ε₂＝ΔL₂/L₂＝P/（EA₁），故ε₁/ε₂＝1。