第二節　運動學

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1質量為m的物體M在地面附近自由降落，它所受的空氣阻力的大小為F_R＝Kv²，其中K為阻力系數，v為物體速度，該物體所能達到的最大速度為（　　）。[2016年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】在降落過程中，物體首先做加速度逐漸減小的加速運動；當空氣阻力等于重力時，加速度為零，之后開始做勻速直線運動。故空氣阻力等于重力時，速度即為最大速度：mg＝Kv²，解得：

2點的運動由關系式S＝t⁴?3t³＋2t²?8決定（S以m計，t以s計），則t＝2s時的速度和加速度為（　　）。[2018年真題]

A．?4m/s，16m/s²

B．4m/s，12m/s²

C．4m/s，16m/s²

D．4m/s，?16m/s²

【答案】C

【解析】速度v＝S′＝4t³?9t²＋4t，加速度a＝v′＝12t²?18t＋4。當t＝2s時，v＝4×2³?9×2²＋4×2＝4m/s；a＝12×2²?18×2＋4＝16m/s²。

3點沿直線運動，其速度v＝20t＋5。已知：當t＝0時，x＝5m。則點的運動方程為（　　）。[2017年真題]

A．x＝10t²＋5t＋5

B．x＝20t＋5

C．x＝10t²＋5t

D．x＝20t²＋5t＋5

【答案】A

【解析】將v＝20t＋5兩邊對t進行積分，得：x＝10t²＋5t＋C。代入初始條件，當t＝0時，x＝5m，求得C＝5。則點的運動方程為：x＝10t²＋5t＋5。

4動點A和B在同一坐標系中的運動方程分別為

其中x、y以cm計，t以s計，則兩點相遇的時刻為（　　）。[2014年真題]

A．t＝1s

B．t＝0.5s

C．t＝2s

D．t＝1.5s

【答案】A

【解析】相遇時有x_A＝x_B，y_A＝y_B，聯立方程組，解得t＝1s。所以A、B兩點在t＝1s時相遇。

5已知動點的運動方程為x＝t，y＝2t²，則其軌跡方程為（　　）。[2013年真題]

A．x＝t²－t

B．y＝2t

C．y－2x²＝0

D．y＋2x²＝0

【答案】C

【解析】將x＝t代入y＝2t²，可得軌跡方程為：y－2x²＝0。

6當點運動時，若位置矢大小保持不變，方向可變，則其運動軌跡為（　　）。[2011年真題]

A．直線

B．圓周

C．任意曲線

D．不能確定

【答案】B

【解析】若位置矢大小保持不變、方向可變，則點到原點距離為常數，只可能做圓周運動。

7質點以勻速度15m/s繞直徑為10m的圓周運動，則其法向加速度為（　　）。[2018年真題]

A．22.5m/s²

B．45m/s²

C．0

D．75m/s²

【答案】B

【解析】法向加速度a＝v²/r＝2v²/d＝（2×15²）/10m/s²＝45m/s²。

8桿OA繞固定軸O轉動，長為l，某瞬時桿端A點的加速度a如圖4-2-1所示。則該瞬時OA的角速度及角加速度為（　　）。[2017年真題]

圖4-2-1

A．0，a/l

B．，asinα/l

C．，0

D．0，

【答案】C

【解析】由圖4-2-1可知：A點的法向加速度為：a_n＝ω²r。其中r為定軸轉動的半徑，ω為角速度。題中a_n＝a·cos90°＝a，r＝l，故角速度為：

A點的切向加速度為：a_τ＝dv/dt＝d（rω）/dt＝rα。式中，r為定軸轉動的半徑，α為角加速度。題中a_τ＝a·sin90°＝0，故角加速度：α＝0。

9一定軸轉動剛體，其運動方程為φ＝a－bt²/2，其中a、b均為常數，則知該剛體作（　　）。

A．勻加速轉動

B．勻減速轉動

C．勻速轉動

D．減速轉動

【答案】A

【解析】角速度ω＝φ′＝－bt，角加速度α＝φ′′＝－b，角加速度與角速度方向一致，故該剛體做勻加速轉動。

10四連桿機構如圖4-2-2所示，已知曲柄O₁A長為r，且O₁A＝O₂B，O₁O₂＝AB＝2b，角速度為ω、角加速度為α，則桿AB的中點M的速度、法向和切向加速度的大小分別為（　　）。[2018年真題]

圖4-2-2

A．v_M＝bω；a_Mⁿ＝bω²；a_M^t＝bα

B．v_M＝bω；a_Mⁿ＝rω²；a_M^t＝rα

C．v_M＝rω；a_Mⁿ＝rω²；a_M^t＝rα

D．v_M＝rω；a_Mⁿ＝bω²；a_M^t＝bα

【答案】C

【解析】由圖易知A、B運動狀態完全相同，且O₁O₂＝AB，因此AB桿內每一點的運動狀態與A、B相同，M可看成是繞O₁O₂中點的圓周運動，故v_M＝rω，a_Mⁿ＝rω²，a_M^t＝rα。

11桿OA繞固定軸O轉動，長為l。某瞬時桿端A點的加速度a如圖4-2-3所示，則該瞬時OA的角速度及角加速度為（　　）。[2009年真題]

圖4-2-3

A．0；a/l

B．；asinα/l

C．；0

D．0；

【答案】B

【解析】點A的法向加速度為：a_n＝l·ω²＝a·cosα。求得：

令角加速度為β，則點A的切向加速度為：a_τ＝l·β＝asinα。求得：β＝asinα/l。

12一炮彈以初速度v₀和仰角α射出。對于圖4-2-4所示直角坐標的運動方程為x＝v₀cosαt，y＝v₀sinαt－gt²/2，則當t＝0時，炮彈的速度和加速度的大小分別為（　　）。[2013年真題]

圖4-2-4

A．v＝v₀cosα，a＝g

B．v＝v₀，a＝g

C．v＝v₀sinα，a＝－g

D．v＝v₀，a＝－g

【答案】B

【解析】t＝0為斜拋運動的初始時刻，此時炮彈的速度為初速度v₀，加速度大小為g，方向向下（g本身為矢量）。

13某瞬時若平面圖形上各點的加速度方向都指向同一點，則可知此瞬時平面圖形的角速度ω和角加速度α為（　　）。[2012年真題]

A．ω＝0，α≠0

B．ω≠0，α＝0

C．ω＝0，α＝0

D．ω≠0，α≠0

【答案】B

【解析】平面圖形作勻速轉動時，各點的加速度a方向均指向速度瞬心，由a_n＝a＝rω²得，ω≠0。由a_τ＝rα＝0得，α＝0。

14在圖4-2-5所示機構中，桿O₁A＝O₂B，O₁A∥O₂B，桿O₂C＝O₃D，O₂C∥O₃D，且O₁A＝20cm，O₂C＝40cm，若桿AO₁以角速度ω＝3rad/s勻速轉動，則CD桿上任意點M的速度及加速度大小為（　　）。[2011年真題]

A．60cm/s，180cm/s²

B．120cm/s，360cm/s²

C．90cm/s，270cm/s²

D．120cm/s，150cm/s²

圖4-2-5

【答案】B

【解析】由題表述運動可知，C、D兩點分別繞著O₂、O₃作圓周運動，速度v_C＝ω·r＝3×0.4＝1.2m/s，加速度為：a_C＝ω²·r＝3²×0.4m/s²＝3.6m/s²，又由于CD桿為平動。故v_M＝v_C＝1.2m/s＝120cm/s，a_M＝a_C＝3.6m/s²＝360cm/s²。

15動點以加速度2m/s²作直線運動，當速度由5m/s增加到8m/s時，則點運動的路程為（　　）。[2012年真題]

A．7.5m

B．12m

C．2.25m

D．9.75m

【答案】D

【解析】由速度計算公式v_t＝v₀＋at，解得：t＝（v_t－v₀）/a＝（8－5）/2＝1.5s。再由路程計算公式S＝v₀t＋at²/2，求得點運動的路程S＝5×1.5＋1/2×2×1.5²＝9.75m。或根據公式2aS＝v₂²－v₁²，解得：S＝（v₂²－v₁²）/（2a）＝（64－25）/（2×2）＝9.75m。

16質量為m的小物塊在勻速轉動的圓桌上，與轉軸的距離為r，如圖4-2-6所示。設物塊與圓桌之間的摩擦系數為μ，為使物塊與桌面之間不產生相對滑動，則物塊的最大速度為（　　）。[2018年真題]

圖4-2-6

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由摩擦力提供向心力，為使物塊與桌面之間不產生相對滑動，需滿足條件：

解得：

17一繩纏繞在半徑為r的鼓輪上，繩端系一重物M，重物M以速度v和加速度a向下運動（如圖4-2-7）。則繩上兩點A、D和輪緣上兩點B、C的加速度是（　　）。[2017年真題]

圖4-2-7

A．A、B兩點的加速度相同，C、D兩點的加速度相同

B．A、B兩點的加速度不相同，C、D兩點的加速度不相同

C．A、B兩點的加速度相同，C、D兩點的加速度不相同

D．A、B兩點的加速度不相同，C、D兩點的加速度相同

【答案】D

【解析】A點豎直向下運動，沒有角速度，其加速度為：a_A＝a。BCD三點繞點O作向心加速度運動，法向加速度α_n＝ω²r＝v²/r，切向加速度a_τ＝a，則加速度為：

因此，A、B兩點的加速度不相同，C、D兩點的加速度相同。

18點在具有直徑為6m的軌道上運動，走過的距離是s＝3t²，則點在2s末的切向加速度為（　　）。

A．48m/s²

B．4m/s²

C．96m/s²

D．6m/s²

【答案】D

【解析】曲線運動時的法向加速度為：a_n＝v²/ρ，ρ為曲率半徑。切向加速度為：a_τ＝dv/dt＝d²s/dt²＝6m/s²。

19在圖4-2-8所示圓錐擺中，球M的質量為m，繩長l，若α角保持不變，則小球的法向加速度為（　　）。[2014年真題]

圖4-2-8

A．gsinα

B．gcosα

C．gtanα

D．gcotα

【答案】C

【解析】在圓周運動中，向心力F＝ma＝mgtanα，故小球的法向加速度a＝gtanα。

20物體作定軸轉動的運動方程為φ＝4t－3t²（φ以rad計，t以s計）。此物體內，轉動半徑r＝0.5m的一點，在t₀＝0時的速度和法向加速度的大小為（　　）。[2012年真題]

A．2m/s，8m/s²

B．3m/s，3m/s²

C．2m/s，8.54m/s²

D．0，8m/s²

【答案】A

【解析】物體轉動的角速度為：ω＝dφ/dt＝4－6t，則當t₀＝0時，ω₀＝4（rad/s）。故所求點的速度v₀＝rω₀＝0.5×4＝2m/s，加速度a₀＝rω₀²＝0.5×4²＝8m/s²。

21兩摩擦輪如圖4-2-9所示，則兩輪的角速度與半徑關系的表達式為（　　）。[2013年真題]

圖4-2-9

A．ω₁/ω₂＝R₁/R₂

B．ω₁/ω₂＝R₂/R₁²

C．ω₁/ω₂＝R₁/R₂²

D．ω₁/ω₂＝R₂/R₁

【答案】D

【解析】根據兩輪切點處線速度相等，有R₁ω₁＝R₂ω₂，故ω₁/ω₂＝R₂/R₁。

22一木板放在兩個半徑r＝0.25m的傳輸鼓輪上面。在圖4-2-10所示瞬時，木板具有不變的加速度a＝0.5m/s²，方向向右；同時，鼓輪邊緣上的點具有一大小為3m/s²的全加速度。如果木板在鼓輪上無滑動，則此木板的速度為（　　）。[2012年真題]

圖4-2-10

A．0.86m/s

B．3m/s

C．0.5m/s

D．1.67m/s

【答案】A

【解析】由于木板在鼓輪上無滑動，故此時木板的速度與其相切點的速度相同并且鼓輪邊緣上點的切向加速度與木板加速度相同，即a_τ＝a＝0.5m/s²。又由于鼓輪全加速度為3m/s²，故而鼓輪法向加速度為：

又a_n＝v²/r，故此時木板的速度為：

23直角剛桿OAB在圖4-2-11所示瞬時角速度ω＝2rad/s，角加速度ε＝5rad/s²，若OA＝40cm，AB＝30cm，則B點的速度大小、法向加速度的大小和切向加速度的大小為（　　）。[2010年真題]

圖4-2-11

A．100cm/s；200cm/s²；250cm/s²

B．80cm/s；160cm/s²；200cm/s²

C．60cm/s；120cm/s²；150cm/s²

D．100cm/s；200cm/s²；200cm/s²

【答案】A

【解析】OB的長度是50cm，剛桿OAB的角速度ω＝2rad/s，故v_B＝ω×r＝2rad/s×50cm＝100cm/s，B點法向加速度a_n＝v²/r＝100²/50＝200cm/s²，切向加速度a_τ＝ε×r＝5rad/s²×50cm＝250cm/s²。

24剛體作平動時，某瞬時體內各點的速度與加速度為（　　）。[2014年真題]

A．體內各點速度不相同，加速度相同

B．體內各點速度相同，加速度不相同

C．體內各點速度相同，加速度也相同

D．體內各點速度不相同，加速度也不相同

【答案】C

【解析】剛體作平動時，某瞬時體內各點速度和加速度都相同，可以看作是一個點的運動。

25點沿軌跡已知的平面曲線運動時（見圖4-2-12），其速度大小不變，加速度a應為（　　）。

圖4-2-12

A．a_n＝a≠0，a_τ＝0（a_n：法向加速度，a_τ：切向加速度）

B．a_n＝0，a_τ＝a≠0

C．a_n≠0，a_τ≠0，a_τ＋a_n＝a

D．a＝0

【答案】A

【解析】切向加速度描述速度大小隨時間變化的快慢，方向沿軌跡在該點的切線方向；法向加速度描述速度方向隨時間變化的規律，方向與速度矢量垂直，指向曲率中心。由題意，速度大小不變則切向加速度a_τ＝0，而速度方向沿曲線變化，則a_n＝a≠0。

26如圖4-2-13所示，剛性三角板ABD與機構的B、D點鉸接，O₁O₂＝BD＝a，O₁B＝O₂D＝l，取a＝30cm，l＝20cm，AB＝15cm，已知O₁B桿的運動規律φ＝2（1＋t）rad，則A點速度的大小和方向為（　　）。

圖4-2-13

A．v＝40cm/s，⊥O₁B，指向斜上

B．v＝40cm/s，⊥O₁B，指向斜下

C．v＝40cm/s，⊥AB，指向朝左

D．v＝40cm/s，⊥AB，指向朝右

【答案】A

【解析】根據題意，可得B點的角速度ω_B＝dφ/dt＝2rad/s，則B點的速度v_B＝ω_Bl＝40cm/s，由于角度φ是變大的，所以B點的速度方向為垂直于O₁B斜向上的。由于三角形ABD為平動剛體，點A的速度與點B的速度相同。因此，點A的速度為v_A＝40cm/s，方向垂直O₁B，指向斜上。