第4章　效　用

1一個(gè)效用函數(shù)自乘奇數(shù)次是單調(diào)變換。那么該效用函數(shù)自乘偶數(shù)次還是單調(diào)變換嗎？（提示：考慮f（u）＝u2這種情況）

答：一個(gè)效用函數(shù)自乘偶數(shù)次后還是不是單調(diào)變換取決于效用函數(shù)的取值。分析如下：通常情況下，u＝u（x₁，x₂）≥0，因此f（u）＝u2是（正的）單調(diào)變換，也就是說f（u）＝u2是單調(diào)遞增的函數(shù)。

但是，也有可能存在u＝u（x₁，x₂）≤0的情況。比如，給某消費(fèi)者兩種商品，但這兩種商品都是厭惡品，在這種情形下，他的效用不可能為正，即u＝u（x₁，x₂）≤0。所以，該情形下f（u）＝u2就不是（正的）單調(diào)變換。根據(jù)分析需要，不考慮負(fù)單調(diào)變換的情形。

2下面哪些是單調(diào)變換？

（1）u＝2v－13；

（2）u＝－1/v2；

（3）u＝1/v2；

（4）u＝lnv；

（5）u＝－e－v；

（6）u＝v2；

（7）u＝v2，v＞0；

（8）u＝v2，v＜0。

答：（1）是（正的）單調(diào)變換。

（2）在v＞0時(shí)是單調(diào)變換，v＜0時(shí)不是單調(diào)變換。

（3）在v＞0時(shí)不是單調(diào)變換，v＜0時(shí)是單調(diào)變換。

（4）是單調(diào)變換（此題暗含著v＞0的假設(shè)，否則u＝lnv無定義）。

（5）是單調(diào)變換。

（6）在v＞0時(shí)是單調(diào)變換，v＜0時(shí)不是單調(diào)變換。

（7）是單調(diào)變換。

（8）不是單調(diào)變換。

總結(jié)：單調(diào)變換的函數(shù)應(yīng)是增函數(shù)或減函數(shù)；單調(diào)變換分為正單調(diào)變換和負(fù)單調(diào)變換，正單調(diào)變換后的效用函數(shù)能同樣代表原偏好，負(fù)單調(diào)變換后的效用函數(shù)不能代表原偏好；單調(diào)變換不影響效用函數(shù)的邊際替代率。

3如果偏好是單調(diào)的，經(jīng)由原點(diǎn)的射線與每一條無差異曲線只會(huì)相交一次。你能嚴(yán)格地證明這一點(diǎn)嗎？（提示：如果它同某條無差異曲線相交兩次，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？）

證明：采用反證法，假設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的射線方程為f（x）＝ax（a＞0），它同某無差異曲線相交于兩點(diǎn)（x₁，x₂）和（y₁，y₂），由于（x₁，x₂）和（y₁，y₂）同在直線f（x）＝ax上，所以在x₁＞y₁，x₂＞y₂和x₁＜y₁，x₂＜y₂之中，必有其一成立，不妨假設(shè)是x₁＞y₁，x₂＞y₂，根據(jù)偏好的單調(diào)性，這就意味著（x₁，x₂）?（y₁，y₂），這就和（x₁，x₂）與（y₁，y₂）在同一條無差異曲線上相矛盾。所以如果是單調(diào)偏好的話，經(jīng)過原點(diǎn)的射線就只會(huì)同每條無差異曲線相交一次，如圖4-1所示。

圖4-1　經(jīng)過原點(diǎn)的射線同每條無差異曲線相交一次

4哪種偏好可用形如的效用函數(shù)表示？效用函數(shù)v（x₁，x₂）＝13x₁＋13x₂表示何種偏好？

答：（1）完全替代的偏好可用形如的效用函數(shù)表示。

理由如下：對效用函數(shù)做單調(diào)變換f（u）＝u2，得到新的效用函數(shù)為u′（x₁，x₂）＝x₁＋x₂，這是完全替代偏好的效用函數(shù)。由于效用函數(shù)的單調(diào)變換不改變它所代表的偏好的類型，所以，也代表完全替代的偏好。

（2）v（x₁，x₂）＝13x₁＋13x₂表示完全替代的偏好。

理由如下：對v（x₁，x₂）＝13x₁＋13x₂做單調(diào)變換f（v）＝v/13，得v′（x₁，x₂）＝x₁＋x₂，和（1）的理由相同，可知v（x₁，x₂）＝13x₁＋13x₂也代表完全替代的偏好。

5哪種偏好可用形如這種形式的效用函數(shù)表示？效用函數(shù)是u（x₁，x₂）的單調(diào)變換嗎？

答：（1）擬線性偏好可以用形如這種形式的效用函數(shù)表示。

（2）效用函數(shù)是u（x₁，x₂）的單調(diào)變換。理由如下：因?yàn)閡的取值恒大于零，所以對u做單調(diào)變換f（u）＝u2，從而得到v。

6考慮效用函數(shù)，它表示哪種偏好？函數(shù)v（x₁，x₂）＝x₁2x₂是u（x₁，x₂）的單調(diào)變換嗎？函數(shù)w（x₁，x₂）＝x₁2x₂2是u（x₁，x₂）的單調(diào)變換嗎？

答：（1）效用函數(shù)代表柯布-道格拉斯型偏好。

（2）函數(shù)v（x₁，x₂）＝x₁2x₂不是u（x₁，x₂）的單調(diào)變換。

理由如下：由于效用函數(shù)的單調(diào)變換不改變它代表的偏好，所以如果v（x₁，x₂）＝x₁2x₂是u（x₁，x₂）的單調(diào)變換，那么這兩個(gè)效用函數(shù)代表相同的偏好，從而它們的邊際替代率相同，但是計(jì)算發(fā)現(xiàn)，效用函數(shù)的邊際替代率MRS＝MU₁/MU₂＝x₂/x₁；v（x₁，x₂）＝x₁2x₂的邊際替代率MRS＝2x₂/x₁，這兩個(gè)邊際替代率不相等，所以v（x₁，x₂）＝x₁2x₂肯定不是u（x₁，x₂）的單調(diào)變換。

（3）函數(shù)w（x₁，x₂）＝x₁2x₂2是u（x₁，x₂）的單調(diào)變換。

理由如下：對效用函數(shù)作單調(diào)變換f（u）＝u4，就可以得到w（x₁，x₂）＝x₁2x₂2。

7請解釋為什么效用函數(shù)的單調(diào)變換不會(huì)改變其邊際替代率。

答：效用函數(shù)的單調(diào)變換之所以不會(huì)改變邊際替代率是因?yàn)椋哼呺H替代率是無差異曲線的斜率，只要消費(fèi)者的偏好沒有改變，無差異曲線（即消費(fèi)者有相同的偏好的所有商品束的集合，特別地，該集合中的元素組成與效用函數(shù)無關(guān)）就不會(huì)發(fā)生變化，其斜率即邊際替代率也不會(huì)變化。效用函數(shù)是對消費(fèi)者偏好的數(shù)量衡量形式，它通過對消費(fèi)者有更多偏好的消費(fèi)束指派更大的數(shù)字來將消費(fèi)者的偏好進(jìn)行量化。但這種量化只注重消費(fèi)者對商品束的排序，而具體的數(shù)值則只要不改變原有的排序即可任意指派。效用函數(shù)的單調(diào)變換就是對數(shù)值指派的改變，但這種指派不改變商品束的排序，更不會(huì)改變消費(fèi)者的偏好。

因此在效用函數(shù)的單調(diào)變換時(shí)，改變的只是對每條無差異曲線指派的具體數(shù)值，不會(huì)改變無差異曲線本身，所以它不會(huì)改變邊際替代率。

這個(gè)結(jié)論也可以用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行證明：

假設(shè)對一個(gè)效用函數(shù)作單調(diào)變換，比如說，v（x₁，x₂）＝f[u（x₁，x₂）]，計(jì)算這個(gè)效用函數(shù)的邊際替代率（MRS）。根據(jù)連鎖法則

因?yàn)榉肿印⒎帜钢械?f/?u可以消去，這表明邊際替代率與效用函數(shù)的單調(diào)變換無關(guān)。