第5章　選　擇

1假定兩種商品是完全替代品，商品2的需求函數是什么？

答：假設完全替代的效用函數是：u（x₁，x₂）＝x₁＋x₂，（為了簡化計算，這里只考慮替代比例為1:1的情況）在預算約束下，消費者選擇效用最大化，即：

由約束條件，解得x₁＝（m－p₂x₂）/p₁，同時由于x₁≥0，則（m－p₂x₂）/p₁≥0，即：x₂≤m/p₂。

將x₁的表達式以及約束條件x₂≤m/p₂代入效用函數后，得到：

從而解得：

如圖5-1所示。

圖5-1　完全替代商品的需求曲線

2假設無差異曲線是一條斜率為－b的直線，并且給定任意的價格p₁、p₂和收入m，那么，消費者的最優選擇是什么？

答：如圖5-2所示，比較預算線與無差異曲線的斜率可知，當p₁/p₂＞b時，消費者的最優選擇為只購買商品2；當p₁/p₂＜b時，消費者的最優選擇為只購買商品1；當p₁/p₂＝b時，預算線上的任意消費組合都是消費者的最優選擇。

圖5-2　完全替代偏好的最優選擇

3假定一個消費者在每一杯咖啡里總是加2湯匙糖。如果每湯匙糖的價格為p₁，每杯咖啡的價格為p₂，消費者花費在咖啡和糖上的總額為m美元，那么，他或她將打算購買多少咖啡和糖？

答：設x₁表示糖，x₂表示咖啡，消費者的效用函數為：u（x₁，x₂）＝min{x₁，2x₂}，那么消費者的最優選擇總是滿足：2x₂＝x₁，將這一條件代入預算線方程p₁x₁＋p₂x₂＝m中，可以得到x₁＝2m/（2p₁＋p₂）、x₂＝m/（2p₁＋p₂）。

4假定你對冰淇淋和橄欖具有高度的非凸偏好，如正文所描述的那樣，你所面臨的價格分別為p₁和p₂，并有m美元可供支出。請列出你所選擇的最優消費束。

答：消費者的最優消費束為（0，m/p₂）或者為（m/p₁，0）。

這是因為：在非凸偏好的情況下，消費者對于端點消費束的偏好甚于對平均消費束的偏好，因此這種情況下，消費者的最優選擇為只消費兩種商品中的一種商品，即最優消費束為（0，m/p₂）或者為（m/p₁，0）。

5如果一個消費者的效用函數為u（x₁，x₂）＝x₁x₂4，那么，他在商品2上的花費占他收入的比例是多少？

解：消費者會把4/5的收入花費在商品2上。

分析如下：這是一個典型的柯布-道格拉斯效用函數，對其進行單調變換，可得u（x₁，x₂）＝x₁1/5x₂4/5。關于柯布-道格拉斯效用函數有一個特殊性質，即消費者在每種商品上的花費總是占他收入的一個固定份額，這個份額的大小由效用函數中的指數來決定。

證明過程如下：在預算約束下，消費者最大化其效用：

由拉格朗日乘數法有：

max x₁αx₂1－α＋λ（m－p₁x₁－p₂x₂）

從而得到一階條件為：

則

所以消費者會把（1－α）的收入花費在商品2上。在本題中，消費者會將4/5的收入花費在商品2上。

6在哪一種類型的偏好下，無論課征從量稅還是課征所得稅，消費者的境況會一樣好？

答：當消費者的偏好為互補型時，無論課征從量稅還是課征所得稅，消費者的境況會一樣好。如圖5-3所示，在征稅后，無論在哪種稅收條件下，消費者的最優選擇都不變，所以兩種稅收條件下，消費者的境況一樣好。

圖5-3　對互補型偏好征稅