2.3　名?？佳姓骖}詳解

一、選擇題

1．以下單位沖激響應中，（　　）不對應穩定系統。[武漢科技大學2017研]

A．h（t）＝costu（t）

B．h（t）＝te－tu（t）

C．h（t）＝e2tu（－t＋2）

D．h（t）＝（sint）/t

【答案】A

【解析】利用來判斷系統是否穩定，即當t趨向于正負無窮時，若h（t）≠0，則系統必然是不穩定的，而

因此h（t）＝costu（t）不對應穩定系統。

2．下列表達式中正確的是（　?。?span id="ney2tzs" class="ZhenTiTag">[中山大學2010研]

A．δ（2t）＝δ（t）

B．δ（2t）＝δ（t）/2

C．δ（2t）＝2δ（t）

D．δ（2t）＝δ（2/t）

【答案】B

【解析】根據單位沖激函數的時間尺度變換性質，有δ（at）＝δ（t）/|a|。

二、填空題

1．卷積積分tu（t）*u（t－2）的值為______。[武漢大學2015研]

【答案】（1/2）（t－2）2u（t－2）

【解析】本題用時域解答需先知道卷積公式tu（t）*u（t）＝（1/2）t2u（t），則原式可化為：

tu（t）*u（t－2）＝tu（t）*u（t）*δ（t－2）＝[（1/2）t2u（t）]*δ（t－2）＝（1/2）（t－2）2u（t－2）

此外也可以先求兩式的拉氏變換，相乘后取反變換即可得卷積結果。

2．某連續時間LTI系統，若系統的輸入x（t）＝u（t）－u（t－1），沖激響應h（t）＝2[u（t）－u（t－2）]，則該系統的零狀態響應y_zs（t）在t＝2時刻的值y_zs（2）＝ ______。[北京交通大學2015研]

【答案】2

【解析】解法一：依題意有

解法二：根據題意，可得零狀態響應為

3．卷積積分（2t＋1）*[u（t）－u（t－1）]＝______。[華中科技大學2012研]

【答案】2t

【解析】根據時域卷積的定義可知

三、判斷題

1．信號經過線性時不變系統，其輸出不會產生與輸入信號頻率成分不同的頻率分量。（　?。?span id="lc2onm2" class="ZhenTiTag">[北京郵電大學2016研]

【答案】對

【解析】線性時不變系統的輸出響應中只包含激勵信號的頻率成分，不會產生新的頻率分量。

2．如果x（t）和h（t）是奇函數，則y（t）＝x（t）*h（t）是偶函數。（　?。?span id="ke29jln" class="ZhenTiTag">[北京郵電大學2016研]

【答案】對

【解析】因為x（t）和h（t）為奇函數，y（t）＝x（t）*h（t），則y（－t）＝x（－t）*h（－t）＝[－x（t）]*[－h（t）]＝x（t）*h（t）＝y（t）。

因此y（t）＝x（t）*h（t）是偶函數。

四、計算題

1．已知函數f₁（t）和f₂（t）波形如圖2-3-1所示，求f（t）＝f₁（t）*f₂（t）的表達式，并畫出f（t）的波形圖。[西安電子科技大學2017研]

圖2-3-1

解：利用圖解法求解二者卷積：

（1）當t＜－3時，f₁（t）*f₂（t）＝0；

（2）當－3≤t＜－2時

（3）當－2≤t＜－1時

（4）當－1≤t＜0時

（5）當t≥0時，f₁（t）*f₂（t）＝0。

因此f（t）的表達式為

其波形圖如圖2-3-2所示。

圖2-3-2

2．一個互聯線性時不變離散系統如圖2-3-3所示，它的子系統的單位樣值響應分別為：

h₁（n）＝δ（n）＋2δ（n－1）＋δ（n－2），h₂（n）＝u（n），h₃（n）＝u（n－3）

聯系y（n）和x（n）的總系統的單位樣值響應記為h（n）。

圖2-3-3

（1）將h（n）用h₁（n），h₂（n）和h₃（n）表示出來。

（2）用（1）的結果具體計算h（n），并畫出h（n）的波形圖。[北京郵電大學2016研]

解：（1）由系統框圖可知：h（n）＝h₁（n）*[ h₂（n）－h₃（n）]。

（2）將h₁（n），h₂（n）和h₃（n）表達式代入（1）中可知：

h（n）＝[δ（n）＋2δ（n－1）＋δ（n－2）]*[u（n）－u（n－3）]＝[u（n）－u（n－3）]＋2[u（n－1）－u（n－4）]＋[u（n－2）－u（n－5）]＝u（n）＋2u（n－1）＋u（n－2）－u（n－3）－2u（n－4）－u（n－5）＝δ（n）＋3δ（n－1）＋4δ（n－2）＋3δ（n－3）＋δ（n－4）

h（n）的波形圖如圖2-3-4所示。

圖2-3-4

3．某LTI系統的輸入x₁（t）與零狀態相應y_zs1（t）分別如圖2-3-5中（a）與（b）所示：

（1）求系統的沖激響應h（t）、并畫出h（t）的波形。

（2）當輸入為如圖2-3-5中圖（c）所示的信號x₂（t）時，畫出系統的零狀態響應y_zs2（t）的波形。[西南交通大學2014研]

圖2-3-5

解：（1）根據圖形可寫出x₁（t）與y_zs1（t）的函數式為：

y_zs1（t）＝t[u（t）－u（t－1）]＋（2－t）[u（t－1）－u（t－2）]＝tu（t）*[δ（t）－2δ（t－1）＋δ（t－2）]

x₁（t）＝u（t）－u（t－1）＝u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]

利用公式u（t）*u（t）＝tu（t），可得：

y_zs1＝tu（t）*[δ（t）－2δ（t－1）＋δ（t－2）]＝u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]*u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]＝{u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]}*x₁（t）。

因此h（t）＝u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]＝u（t）－u（t－1）。

圖形如圖2-3-6所示。

圖2-3-6

（2）根據LTI系統特性可知：x₂（t）＝x₁（t）－x₁（t－1），y_zs2（t）＝y_zs1（t）－y_zs1（t－1）

圖2-3-7

4．已知

和

畫出y（t）＝x（t）*h（t）的圖形。[電子科技大學2013研]

解：利用圖解法求解二者卷積，因為x（t）與h（t）都是偶對稱的，故只需求一邊的卷積：

（1）當t＜－7或－5≤t＜－2時，x（t）*h（t）＝0；

（2）當－7≤t＜－6時

（3）當－6≤t＜－5時

（4）當－2≤t＜－1時

（5）當－1≤t＜0時

因此根據對稱性可以畫出其波形圖如圖2-3-8所示。

圖2-3-8