2.2　課后習(xí)題詳解

2-1　對圖2-2-1所示電路圖分別列寫求電壓v₀（t）的微分方程表示。

圖2-2-1

解：（1）由圖2-2-1（a）所示可列寫兩個(gè)網(wǎng)孔的KVL方程

又v_o（t）＝2d[i₂（t）]/dt③

聯(lián)立式①②③可得微分方程得：

2d3[v_o（t）]/dt3＋5d2[v_o（t）]/dt2＋5d[v_o（t）]/dt＋3v_o（t）＝2d[e（t）]/dt

（2）圖2-2-1（b）為雙耦合電路，列出微分方程

化簡方程組可得微分方程

（3）由圖2-2-1（c）所示列寫電路方程，得

消元可得微分方程

（4）由圖2-2-1（d）所示列寫電路方程

消元可得微分方程

2-2　圖2-2-2所示為理想火箭推動器模型。火箭質(zhì)量為m₁，荷載艙質(zhì)量為m₂，兩者中間用剛度系數(shù)為k的彈簧相連接。火箭和荷載艙各自受到摩擦力的作用，摩擦系數(shù)分別為f₁和f₂。求火箭推進(jìn)力e（t）與荷載艙運(yùn)動速度v₂（t）之間的微分方程表示。

圖2-2-2

解：設(shè)m₁的速度為v₁（t），對m₁、m₂進(jìn)行受力分析，如圖2-2-3所示。

圖2-2-3

其中，F(xiàn)_k為彈簧對火箭的張力，F(xiàn)_k′為彈簧對荷載艙的張力，且

根據(jù)牛頓第二定律，分別對m₁，m₂建立方程有

消元可得微分方程

2-3　圖2-2-4是汽車底盤緩沖裝置模型圖，汽車底盤的高度z（t）＝y(tǒng)（t）＋y₀，其中y₀是彈簧不受任何力時(shí)的位置。緩沖器等效為彈簧與減震器并聯(lián)組成，剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別為k和f。由于路面的凹凸不平[表示為x（t）的起伏]通過緩沖器間接作用到汽車底盤，使汽車振動減弱。求汽車底盤的位移量y（t）和路面不平度x（t）之間的微分方程。

圖2-2-4

解：對汽車底盤進(jìn)行受力分析。

圖2-2-5

設(shè)汽車底盤運(yùn)動速度為v（t），方向向上；F_k為彈簧對汽車底盤的拉力，方向向下；F_f為減震器阻尼力，方向向下，如圖2-2-5所示。

汽車底盤的加速度

　①

因彈簧的位移量為x（t）－y（t），所以拉力為：F_k（t）＝k[y（t）－x（t）]②

減震器對汽車底盤的作用力：F_f（t）＝f{d[y（t）－x（t）]/dt}③

由牛頓第二定律知：F_k（t）＋F_f（t）＝－ma（t）

將式①②③代入上式，可得微分方程：

d2[y（t）]/dt2＋（f/m）{d[y（t）]/dt}＋（k/m）·y（t）＝（f/m）{d[x（t）]/dt}＋（k/m）·x（t）

2-4　已知系統(tǒng)相應(yīng)的齊次方程及其對應(yīng)的0_＋狀態(tài)條件，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

（1）d2[r（t）]/dt2＋2d[r（t）]/dt＋2r（t）＝0，給定：r（0_＋）＝1，r′（0_＋）＝2；

（2）d2[r（t）]/dt2＋2d[r（t）]/dt＋r（t）＝0，給定：r（0_＋）＝1，r′（0_＋）＝2；

（3）d3[r（t）]/dt3＋2d2[r（t）]/dt2＋d[r（t）]/dt＝0，給定：r（0_＋）＝r′（0_＋）＝0，r′′（0_＋）＝1。

解：（1）系統(tǒng)的特征方程為：α2＋2α＋2＝0

特征根為：α₁＝－1＋j，α₂＝－1－j

故零輸入響應(yīng)可設(shè)為：r_zi（t）＝e－t（A₁cost＋A₂sint）（t≥0_＋）

代入初始條件得：A₁＝1，A₂＝3

則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：r_zi（t）＝e－t（cost＋3sint）（t＞0）。

（2）系統(tǒng)的特征方程為：α2＋2α＋1＝0

特征根為：α₁＝α₂＝－1

故零輸入響應(yīng)可設(shè)為：r_zi（t）＝A₁e－t＋A₂te－t（t≥0_＋）

代入初始條件得：A₁＝1，A₂＝3

則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：r_zi（t）＝（3t＋1）e－t（t＞0）。

（3）系統(tǒng)的特征方程為：α3＋2α2＋α＝0

特征根為：α₁＝0，α₂＝α₃＝－1

故零輸入響應(yīng)可設(shè)為：r_zi（t）＝A₁＋A₂e－t＋A₃te－t（t≥0_＋）

代入初始條件得：A₁＝1，A₂＝－1，A₃＝－1

則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：r_zi（t）＝1－（1＋t）e－t（t＞0）。

2-5　給定系統(tǒng)微分方程、起始狀態(tài)以及激勵信號分別為以下兩種情況：

（1）d[r（t）]/dt＋2r（t）＝e（t），r（0_－）＝0，e（t）＝u（t）；

（2）d[r（t）]/dt＋2r（t）＝3d[e（t）]/dt，r（0_－）＝0，e（t）＝u（t）。

試判斷在起始點(diǎn)是否發(fā)生跳變，據(jù)此對（1）（2）分別寫出其r（0_＋）值。

解：當(dāng)微分方程右端包含δ（t）及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)從0_－狀態(tài)到0_＋狀態(tài)發(fā)生跳變。

（1）將e（t）＝u（t）代入原方程得：d[r（t）]/dt＋2r（t）＝u（t）

因方程右端不包含δ（t）及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，故r（t）在t＝0處連續(xù)，即r（0_＋）＝r（0_－）＝0。

（2）將e（t）＝u（t）代入原方程得：d[r（t）]/dt＋2r（t）＝3δ（t）。

因方程右端包含δ（t），故r（t）在t＝0處發(fā)生跳變。由沖激函數(shù)匹配法知，方程右端存在3δ（t）時(shí)，方程左端d[r（t）]/dt必定包含3δ（t），因此r（t）在0_－到0_＋時(shí)刻有3?u（t）存在，從而有r（0_＋）－r（0_－）＝3，已知r（0_－）＝0，則r（0_＋）＝3＋r（0_－）＝3。

2-6　給定系統(tǒng)微分方程：d2[r（t）]/dt2＋3d[r（t）]/dt＋2r（t）＝d[e（t）]/dt＋3e（t），若激勵信號和起始狀態(tài)為：e（t）＝u（t），r（0_－）＝1，r′（0_－）＝2。試求它的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)各分量。

解：方程的特征方程為：α2＋3α＋2＝0

特征根為：α₁＝－1，α₂＝－2

得零輸入響應(yīng)：r_zi（t）＝A₁e－t＋A₂e－2t（t＞0）①

由已知條件得

將其代入式①得：A₁＝4，A₂＝－3

故零輸入響應(yīng)為：r_zi（t）＝4e－t－3e－2t（t＞0）

將e（t）＝u（t）代入原方程得

　②

方程右端包含δ（t），所以r_zs（t）在0_－到0_＋狀態(tài)有跳變。

利用沖激函數(shù)匹配法，則

將上述式子代入式②得a＝1

故

由上面所求特征根知齊次解為：r_zsh（t）＝B₁e－t＋B₂e－2t（t＞0）

又因t＞0時(shí)，e（t）＝u（t）＝1，故設(shè)特解為：r_zsp（t）＝p（t＞0）

將特解代入原式，解得：p＝3/2

故零狀態(tài)響應(yīng)：r_zs（t）＝B₁e－t＋B₂e－2t＋3/2（t＞0）③

將、r_zs（0_＋）代入③，可得r_zs（t）＝－2e－t＋e－2t/2＋3/2（t＞0）

所以全響應(yīng)為：r（t）＝r_zi（t）＋r_zs（t）＝2e－t－5e－2t/2＋3/2（t＞0）

其中，自由響應(yīng)為2e－t－5e－2t/2（t＞0），強(qiáng)迫響應(yīng)為3/2（t＞0）。

2-7　電路如圖2-2-6所示，t＝0以前開關(guān)位于“1”，已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)刻，S₁與S₂同時(shí)自“1”轉(zhuǎn)至“2”，求輸出電壓v₀（t）的完全響應(yīng)，并指出其零輸入、零狀態(tài)、自由、強(qiáng)迫各響應(yīng)分量（E和I_s各為常量）。

圖2-2-6

解：換路前，系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，因而有v_o（0_－）＝E；換路后，由于電容兩端電壓不會發(fā)生突變，所以：v_o（0_＋）＝v_o（0_－）＝E。

列寫t≥0_＋后的電路方程： d[v_o（t）]/dt＋v_o（t）/R＝e（t）①

其中，e（t）＝I_su（t）。

（1）求零輸入響應(yīng)

由方程①可知，系統(tǒng)特征方程為：Cα＋1/R＝0，則特征根為：α＝－1/RC，故設(shè)零輸入響應(yīng)為：v_zi（t）＝Ae－t/RC（t＞0）。

將v_zi（0_＋）＝v_o（0_－）＝E代入上式得：A＝E，所以：v_zi（t）＝Ee－t/RC （t＞0）。

（2）求零狀態(tài)響應(yīng)

由e（t）＝I_s可設(shè)特解為B，代入方程①得：B＝RI_s。

故零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)為：v_zs（t）＝Ce－t/RC＋RI_s（t＞0）。

由沖激函數(shù)匹配法可得v_zi（0_＋）＝v_zi（0_－）＝0，代入上式得：C＝－RI_s

所以：v_zs（t）＝－RI_s e－t/RC＋RI_s（t＞0）。

（3）全響應(yīng)為：v_o（t）＝（E－RI_s）e－t/RC＋RI_s（t＞0）

自由響應(yīng)分量為：（E－RI_s）e－t/RC（t＞0）

強(qiáng)迫響應(yīng)分量為：RI_s（t＞0）。

2-8　圖2-2-7所示電路，t＜0時(shí)，開關(guān)位于“1”且已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)刻，開關(guān)自“1”轉(zhuǎn)至“2”。

圖2-2-7

（1）試從物理概念判斷i（0_－），i′（0_－）和i（0_＋），i′（0_＋）；

（2）寫出t≥0_＋時(shí)間內(nèi)描述系統(tǒng)的微分方程表示，求i（t）的完全響應(yīng)。

解：（1）開關(guān)位于“1”時(shí)電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，由于回路中有電容器，因此有電感兩端的電壓u_L（t）＝0，回路電流i（0_－）＝0。

由u_L（t）＝L{d[i（t）]/dt}，可知i′（0_－）＝0

開關(guān)轉(zhuǎn)至“2”時(shí)，電容兩端電壓不變，所以v_C（0_＋）＝v_C（0_－）

由i（t）＝C{d[v（t）]/dt}，可知i（0_＋）＝i（0_－）＝0

故換路后電阻兩端電壓為0，又因?yàn)殡娙輧啥穗妷簽?0V，則電感兩端電壓為10V。

由u_L（t）＝L{d[i（t）]/dt}，可知i′（0_＋）＝10A。

（2）由電路圖列方程

整理得一般形式為i′′（t）＋i′（t）＋i（t）＝e′（t）①

t≥0時(shí)，將e（t）＝20u（t）代入①，得：

d2[i（t）]/dt2＋d[i（t）]/dt＋i（t）＝20δ（t）

所以t≥0_＋時(shí)，上式可化為：

d2[i（t）]/dt2＋d[i（t）]/dt＋i（t）＝0（t≥0_＋）

特征方程為有α2＋α＋1＝0

特征根為

齊次解為

由初始條件i（0_＋）＝0，i′（0_＋）＝0，解得

所以完全響應(yīng)為

2-9　求下列微分方程描述的系統(tǒng)沖激響應(yīng)h（t）和階躍響應(yīng)g（t）。

（1）d[r（t）]/dt＋3r（t）＝2d[e（t）]/dt；

（2）d2[r（t）]/dt2＋d[r（t）]/dt＋r（t）＝d[e（t）]/dt＋e（t）；

（3）d[r（t）]/dt＋2r（t）＝d2[e（t）]/dt2＋3d[e（t）]/dt＋3e（t）。

解：（1）將沖激響應(yīng)h（t）代入方程，得：d[h（t）]/dt＋3h（t）＝2δ′（t）①

故方程齊次解為h（t）＝Ae－3t（t≥0_＋）②

由沖激函數(shù)匹配法，設(shè)

上述方程組代入①，可得：a＝2，b＝－6

故有h（0_＋）＝h（0_－）＋b＝－6

代入式②得A＝－6。

又a＝2，h（t）中含有2δ（t），所以系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h（t）＝2δ（t）－6e－3tu（t）。

階躍響應(yīng)為

（2）系統(tǒng)的階躍響應(yīng)方程為：d2[g（t）]/dt2＋d[g（t）]/dt＋g（t）＝d[u（t）]/dt＋u（t）＝δ（t）＋u（t）①

特征方程為α2＋α＋1＝0

特征根為

齊次解為

設(shè)特解為g_p（t）＝B，代入方程①，解得B＝1。

故系統(tǒng)全響應(yīng)形式為

由沖激函數(shù)匹配法可設(shè)

代入階躍響應(yīng)方程①得：a＝1

故g′（0_＋）＝g′（0_－）＋a＝1，g（0_＋）＝g （0_－）＝0。

將其代入

得

故系統(tǒng)階躍響應(yīng)為

系統(tǒng)沖激響應(yīng)為

（3）系統(tǒng)的沖激響應(yīng)方程為d[h（t）]/dt＋2h（t）＝δ′′（t）＋3δ′（t）＋3δ（t）①

故解的形式為h（t）＝Ae－2t（t≥0_＋）

由沖激函數(shù)匹配法，設(shè)

　②

將式②代入式①得：a＝b＝c＝1，h（0_＋）＝h（0_－）＋c＝1；

則可解得A＝1，且h（t）中含有δ（t）、δ′（t）。

故沖激響應(yīng)為h（t）＝δ′（t）＋δ（t）＋e－2tu（t）

階躍響應(yīng)

2-10　一因果性的LTI系統(tǒng)，其輸入、輸出用下列微分-積分方程表示

其中f（t）＝e－tu（t）＋3δ（t），求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h（t）。

解：原微分方程可變換為：d[r（t）]/dt＋5r（t）＝e（t）*f（t）－e（t）

令e（t）＝δ（t），則：d[h（t）]/dt＋5h（t）＝e－tu（t）＋2δ（t）

引入微分算子p，則e－tu（t）＝δ（t）/（p＋1），從而有：（p＋5）h（t）＝δ（t）/（p＋1）＋2δ（t）

則

2-11　設(shè)系統(tǒng)的微分方程表示為：d2[r（t）]/dt2＋5d[r（t）]/dt＋6r（t）＝e－tu（t），求使完全響應(yīng)為r（t）＝Ce－tu（t）時(shí)的系統(tǒng)起始狀態(tài)r（0_－）和r′（0_－），并確定常數(shù)C值。

解：由算子法知：（p2＋5p＋6）r（t）＝δ（t）/（p＋1）。

故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

由原微分方程知，特征根為－2，－3，所以零輸入響應(yīng)可表示為：r_zi（t）＝A₁e－2t＋A₂e－3t（t＞0）。

由已知系統(tǒng)的完全響應(yīng)r（t）＝Ce－tu（t），故

所以A₁＝1，A₂＝－1/2，C＝1/2。

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

2-12　有一系統(tǒng)對激勵為e₁（t）＝u（t）時(shí)的完全響應(yīng)為r₁（t）＝2e－tu（t），對激勵為e₂（t）＝δ（t）時(shí)的完全響應(yīng)為r₂（t）＝δ（t）。

（1）求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)r_zi（t）；

（2）系統(tǒng)的起始狀態(tài)保持不變，求其對于激勵為e₃（t）＝e－tu（t）的完全響應(yīng)r₃（t）。

解：（1）由題意可知e₂（t）＝d[e₁（t）]/dt，所以r_zs2（t）＝d[r_zs1（t）]/dt。

由于是同一系統(tǒng)，零輸入響應(yīng)均為r_zi（t），可得方程組

式②－①得

由微分算子法知（p－1）r_zs1（t）＝[1－2/（p＋1）]δ（t），則

將r_zs1（t）代入式①得：r_zi（t）＝r₁（t）－r_zs1（t）＝2e－tu（t）－e－tu（t）＝e－tu（t） 。

（2）由于系統(tǒng)的初始狀態(tài)不變，則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)不變，由題意知激勵為δ（t）時(shí)，全響應(yīng)為δ（t），所以，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h（t）＝δ（t）－e－tu（t）。

當(dāng)激勵為e₃（t）＝e－tu（t）時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)為：

r_zs3（t）＝e₃（t）*h（t）＝e－tu（t）*[δ（t）－e－tu（t）]＝e－tu（t）－te－tu（t）

故全響應(yīng)為：

r₃（t）＝r_zi（t）＋r_zs3（t）＝（2－t）e－tu（t）。

2-13　求下列各函數(shù)f₁（t）與f₂（t）的卷積f₁（t）*f₂（t）

（1）f₁（t）＝u（t），f₂（t）＝e－αtu（t）；

（2）f₁（t）＝δ（t），f₂（t）＝cos（ωt＋45。）；

（3）f₁（t）＝（1＋t）[u（t）－u（t－1）]，f₂（t）＝u（t－1）－u（t－2）；

（4）f₁（t）＝cos（ωt），f₂（t）＝δ（t＋1）－δ（t－1）；

（5）f₁（t）＝e－αtu（t），f₂（t）＝（sint）u（t）。

解：（1）根據(jù)卷積微分和積分性質(zhì)有

故

（2）f₁（t）*f₂（t）＝δ（t）*cos（ωt＋45°）＝cos（ωt＋45°）

（3）

（4）已知

因此求卷積并化簡得：

f₁（t）*f₂（t）＝cos（ωt）*[δ（t＋1）－δ（t－1）]＝cos[ω（t＋1）]－cos[ω（t－1）]＝－2（sinω）sin（ωt）

（5）

2-14　求下列兩組卷積，并注意相互間的區(qū)別。

（1）f（t）＝u（t）－u（t－1），求s（t）＝f（t）*f（t）；

（2）f（t）＝u（t－1）－u（t－2），求s（t）＝f（t）*f（t）。

解：（1）

波形如圖2-2-8（a）所示。

（2）

波形如圖2-2-8（b）所示。

（a）

（b）

圖2-2-8

從圖形看出兩者的區(qū)別為：將s₁（t）右移2個(gè)單位將得到s₂（t）。

2-15　已知f₁（t）＝u（t＋1）－u（t－1）， f₂（t）＝δ（t＋5）＋δ（t－5），f₃（t）＝δ（t＋1/2）＋δ（t－1/2）畫出下列各卷積波形。

（1）s₁（t）＝f₁（t）*f₂（t）；

（2）s₂（t）＝f₁（t）*f₂（t）*f₂（t）；

（3）s₃（t）＝{[f₁（t）*f₂（t）][u（t＋5）－u（t－5）]}*f₂（t）；

（4）s₄（t）＝f₁（t）*f₃（t）。

解：（1）

s₁（t）＝f₁（t）*f₂（t）＝[u（t＋1）－u（t－1）]*[δ（t＋5）＋δ（t－5）]＝[u（t＋6）－u（t＋4）]＋[u（t－4）－u（t－6）]

波形如圖2-2-9（a）所示。

（2）

s₂（t）＝f₁（t）*f₂（t）*f₂（t）＝s₁（t）*f₂（t）＝[u（t＋11）－u（t＋9）]＋2[u（t＋1）－u（t－1）]＋[u（t－9）－u（t－11）]

波形如圖2-2-9（b）所示。

（3）

s₃（t）＝{[f₁（t）*f₂（t）][u（t＋5）－u（t－5）]}*f₂（t）＝{s₁（t）[u（t＋5）－u（t－5）]}*f₂（t）＝[u（t＋5）－u（t＋4）＋u（t－4）－u（t－5）]*[δ（t＋5）＋δ（t－5）]＝[u（t＋10）－u（t＋9）]＋[u（t＋1）－u（t－1）]＋[u（t－9）－u（t－10）]

波形如圖2-2-9（c）所示。

（4）

s₄（t）＝f₁（t）*f₃（t）＝[u（t＋1）－u（t－1）]*[δ（t＋1/2）＋δ（t－1/2）]＝u（t＋3/2）－u（t－1/2）＋u（t＋1/2）－u（t－3/2）

波形如圖2-2-9（d）所示。

（a）

（b）

（c）

（d）

圖2-2-9

2-16　設(shè)

證明r（t）＝Ae－t，0≤t≤3，并求出A值。

解：由于t∈[0，3]，因此

則A＝1/（1－e－3）。

2-17　已知某一LTI系統(tǒng)對輸入激勵e（t）的零狀態(tài)響應(yīng)

求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。

解：由于

又

所以h（t）＝et－1u（－t＋3）。

2-18　某LTI系統(tǒng)，輸入信號e（t）＝2e－3tu（t），在該輸入下的響應(yīng)為r（t），即r（t）＝H[e（t）] ，又已知

求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h（t）。

解：由

可得

又

所以h（t）＝（e－2t/2）u（t）。

2-19　對圖2-2-10所示的各組函數(shù)，用圖解的方法粗略畫出f₁（t）與f₂（t）卷積的波形，并計(jì)算卷積積分f₁（t）*f₂（t）。

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

圖2-2-10

解：（a）①當(dāng)－∞＜t＋2≤－3，即－∞＜t≤－5時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝0；

②當(dāng)－3＜t＋2≤－2，即－5＜t≤－4時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝t＋5；

③當(dāng)－2＜t＋2≤－1，即－4＜t≤－3時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝－t－3；

④當(dāng)－1＜t＋2≤1，即－3＜t≤－1時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝0；

⑤當(dāng)1＜t＋2≤2，即－1＜t≤0時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝2（t＋1）；

⑥當(dāng)2＜t＋2≤3，即0＜t≤1時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝2（1－t）；

⑦當(dāng)－1＜t－2≤1，即1＜t≤3時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝0；

⑧當(dāng)1＜t－2≤2，即3＜t≤4時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝t－3；

⑨當(dāng)2＜t－2≤3，即4＜t≤5時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝－t＋5；

⑩當(dāng)3＜t－2＜∞，即t＞5時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝0。

卷積積分的圖解如圖2-2-11（a）所示。

圖2-2-11（a）

（b）①當(dāng)－∞＜t＋1≤1，即－∞＜t≤0時(shí)

②當(dāng)1＜t＋1＜∞，即0＜t＜∞時(shí)，有

卷積圖解如圖2-2-11（b）所示。

圖2-2-11（b）

（c）①當(dāng)－∞＜t≤0時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝0；

②當(dāng)0＜t≤1時(shí)

③當(dāng)t＞1且t－π≥0，即1＜t≤π時(shí)，有

④當(dāng)0＜t－π≤1，即π＜t≤π＋1時(shí)，有

⑤當(dāng)t－π＞1，即t＞π＋1時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝0。

卷積圖解如圖2-2-11（c）所示。

圖2-2-11（c）

（d）①當(dāng)t≤0時(shí)，f₁（t）*f₂（t）＝0

②當(dāng)0＜t≤1時(shí)

③當(dāng)1＜t≤2時(shí)

④當(dāng)2＜t≤3時(shí)

⑤由以上推廣，當(dāng)n為奇數(shù)，且n＜t≤n＋1（n≥2）時(shí)

當(dāng)n為偶數(shù)，且n＜t≤n＋1（n≥2）時(shí)

結(jié)合以上n為奇數(shù)或n為偶數(shù)的情況，可得對于n＜t＜n＋1，（n≥2）時(shí)有

卷積圖解如圖2-2-11（d）所示。

圖2-2-11（d）

（e）由題意可得d[f₂（t）]/dt＝δ（t－1）。

又

則由卷積性質(zhì)可得

當(dāng)t－1≤0，即t≤1時(shí)，f（t）＝0；

當(dāng)t－1＞0，即t＞1時(shí)，f（t）＝g（t）*δ（t－1）＝[1－cos（t－1）]u（t－1）。

卷積結(jié)果如圖2-2-11（e）所示。

圖2-2-11（e）

（f）由題意可得

可將d[f₁（t）]/dt看成周期為3的函數(shù)，g（t）的周期為2。

利用卷積性質(zhì)

①d[f₁（t）]/dt的第一個(gè)周期與g（t）卷積的結(jié)果為

②d[f₁（t）]/dt的第二個(gè)周期與g（t）卷積的結(jié)果為

③由此推廣可得，d[f₁（t）]/dt的第n個(gè)周期與g（t）卷積的結(jié)果為

卷積圖解如圖2-2-11（f）所示。

圖2-2-11（f）

2-20　圖2-2-12所示系統(tǒng)是由幾個(gè)“子系統(tǒng)”組成，各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為：h₁（t）＝u（t）（積分器）、h₂（t）＝δ（t－1）（單位延時(shí)）、h₃（t）＝－δ（t）（倒相器）。

試求總的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h（t）。

圖2-2-12

解：總的沖激響應(yīng)：

h（t）＝h₁（t）＋h₂（t）*h₁（t）*h₃（t）＝u（t）＋δ（t－1）*u（t）*[－δ（t）]＝u（t）－u（t－1）

2-21　已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h（t）＝e－2tu（t）

（1）若激勵信號為：e（t）＝e－t[u（t）－u（t－2）]＋βδ（t－2），式中β為常數(shù)，試決定響應(yīng)r（t）；

（2）若激勵信號表示為: e（t）＝x（t） [u（t）－u（t－2）]＋βδ（t－2），式中x（t）為任意t函數(shù)，若要求系統(tǒng)在t＞2的響應(yīng)為零，試確定β值應(yīng)等于多少?

解：（1）r（t）＝e（t）*h（t）＝{e－t[u（t）－u（t－2）]＋βδ（t－2）}*[e－2tu（t）]

利用積分圖解法可知：

①當(dāng)t≥2時(shí)

②當(dāng)t＜0時(shí)，兩者卷積為0；而當(dāng)0＜t＜2時(shí)為

因此

（2）由題（1）可知，當(dāng)t＞2時(shí)

要使此時(shí)r（t）＝0，則有

2-22　如果把施加于系統(tǒng)的激勵信號e（t）按圖2-2-13那樣分解為許多階躍信號的疊加，設(shè)階躍響應(yīng)為g（t），e（t）的初始值為e（O_＋），在t₁時(shí)刻階躍信號的幅度為Δe（t₁）。試寫出以階躍響應(yīng)的疊加取和而得到的系統(tǒng)響應(yīng)近似式；證明，當(dāng)取Δt₁→0的極限時(shí)，響應(yīng)r（t）的表示式為

[此式稱為杜阿美爾積分，參看教材第一章式（1-63）及2.7節(jié)（一）。]

圖2-2-13

解：根據(jù)教材式（1-63）可知，當(dāng)Δt₁→0時(shí)，可將信號f（t）表示為

假設(shè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h（t），則當(dāng)系統(tǒng)的激勵信號為階躍信號u（t）時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為

題目已知階躍響應(yīng)為g（t），因此有h（t）*u（t）＝g（t），h（t）*u（t－τ）＝g（t－τ）。

代入r（t）的表示式可得

2-23　若一個(gè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h（t），激勵信號是e（t），響應(yīng)是r（t）。試證明此系統(tǒng)可以用圖2-2-14所示的方框圖近似模擬。

圖2-2-14

證明：根據(jù)該方框圖可寫出r（t）與e（t）的關(guān)系式為

當(dāng)T趨于0時(shí)，有

因此，當(dāng)T較小時(shí)，可以用題圖所示的方框圖近似模擬沖激響應(yīng)為h（t），激勵信號是e（t），響應(yīng)是r（t）的LTI系統(tǒng)。

2-24　若線性系統(tǒng)的響應(yīng)r（t）分別用以下各算子符號式表達(dá)，且系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，寫出各問的時(shí)域表達(dá)式。

（1）Aδ（t）/（p＋α）；

（2）Aδ（t）/（p＋α）2；

（3）Aδ（t）/[（p＋α）（p＋β）]。

解：（1）H（p）＝A/（p＋α），特征根為s＝－α，因此h（t）＝Ae－αtu（t），則Aδ（t）/（p＋α）＝Ae－αtu（t）。

（2）H（p）＝A/（p＋α）2，特征根為s₁＝s₂＝－α，因此h（t）＝Ate－αtu（t），則Aδ（t）/（p＋α）2＝Ate－αtu（t）。

（3）

特征根為－α、－β，均為一階，故

則

2-25　設(shè)H（p）是線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸算子，且系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，試證明：[H（p）δ（t）]e－αt＝H（p＋α）δ（t）。

證明：設(shè)H（p）對應(yīng)的沖激響應(yīng)為h₁（t），H（p＋α）對應(yīng)的沖激響應(yīng)為h₂（t），有

因?yàn)橄到y(tǒng)起始狀態(tài)為零，所以有

則

即h₁（t）e－αt＝h₂（t）

則[H（p）δ（t）]e－αt＝H（p＋α）δ（t），命題得證。