第3章　傅里葉變換

3.1　復(fù)習(xí)筆記

一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

1．三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

周期函數(shù)f（t）可以由三角函數(shù)的線性組合來(lái)表示，若f（t）的周期為T(mén)₁，角頻率為ω₁＝2π/T₁，則傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)式為

其中，直流分量：

余弦分量的幅度：

正弦分量的幅度：

2．指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

根據(jù)歐拉公式，可將三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化成指數(shù)形式

其中

3．各系數(shù)之間的關(guān)系

F₀＝a₀，F(xiàn)_n＝（a_n－jb_n）/2，F(xiàn)_－n＝（a_n＋jb_n）/2，a_n＝F_－n＋F_n，b_n＝j(luò)（F_n－F_－n）

4．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系

（1）偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含有正弦項(xiàng)，只可能含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)；

（2）奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含有余弦項(xiàng)和直流項(xiàng)，只可能含有正弦項(xiàng)；

（3）奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只可能包含基波和奇次諧波的正弦、余弦項(xiàng)，而不會(huì)含有偶次諧波項(xiàng)。

二、傅里葉變換

傅里葉變換與傅里葉反變換的公式

1．傅里葉變換的基本性質(zhì)

（1）對(duì)稱(chēng)性：若f（t）?F（ω），則F（t）?2πf（－ω）。

（2）線性：若f_i（t）?F_i（ω），（i＝1，2，…，n），則

其中，a_i為常數(shù)，n為正整數(shù)。

（3）奇偶虛實(shí)性

無(wú)論f（t）是實(shí)函數(shù)或復(fù)函數(shù)，若f（t）?F（ω），則都滿足以下性質(zhì)：

f（－t）?F（－ω）、f*（t）?F*（－ω）、f *（－t）?F*（ω）

（4）尺度變換特性：若f（t）?F（ω），則f（at）?（1/∣a∣）F（ω/a）。

（5）時(shí)移特性：若f（t）?F（ω），則

（6）頻移特性：若f（t）?F（ω），則

（7）微分特性

①時(shí)域微分特性

若f（t）?F（ω），則d[f（t）]/dt?jωF（ω），dn[f（t）]/dtn?（jω）nF（ω）。

②頻域微分特性

若f（t）?F（ω），則d[F（ω）]/dω?－jtf（t），dn[F（ω）]/dωn?（－jt）nf（t）。

（8）積分特性

若f（t）?F（ω），則

（9）卷積特性（卷積定理）

①時(shí)域卷積定理：時(shí)域卷積?頻域相乘

若f₁（t）?F₁（ω），f₂（t）?F₂（ω），則f₁（t）*f₂（t）?F₁（ω）F₂（ω）。

②頻域卷積定理：時(shí)域相乘?頻域卷積

若f₁（t）?F₁（ω），f₂（t）?F₂（ω），則f₁（t）·f₂（t）?[F₁（ω）*F₂（ω）]/（2π）。

2．常用信號(hào)的傅里葉變換

表3-1-1　常用信號(hào)的傅里葉變換

三、周期信號(hào)的傅里葉變換

一般周期信號(hào)f（t）的傅里葉變換為

其中

T₁為信號(hào)的周期。

四、抽樣信號(hào)的傅里葉變換及抽樣定理

令連續(xù)信號(hào)f（t）?F（ω），抽樣脈沖序列p（t）?P（ω），時(shí)域抽樣后信號(hào)f_s（t）?F_s（ω），頻域抽樣后信號(hào)f₁（t）?F₁（ω），抽樣周期為T(mén)_s，抽樣頻率ω_S＝2π/T_s。

1．時(shí)域抽樣

即f_s（t）＝f（t）p（t），由頻域卷積定理，有

2．頻域抽樣

即F₁（ω）＝F（ω）P（ω），由時(shí)域卷積定理，有：f₁（t）＝f（t）*p（t）。

3．時(shí)域抽樣定理

一個(gè)頻帶受限信號(hào)f（t），若頻譜只占據(jù)[－ω_m，ω_m]區(qū)間，則信號(hào)f（t）可以用等間隔的抽樣值唯一地表示。抽樣間隔必須不大于1/（2f_m）（其中ω_m＝2πf_m），或者說(shuō)，最低抽樣頻率為2f_m。

4．頻域抽樣定理

若f（t）是時(shí)間受限信號(hào)，它集中在[－t_m，t_m]的時(shí)間范圍內(nèi)，若在頻域中以不大于1/（2t_m）的頻率間隔對(duì)f（t）的頻譜F（ω）進(jìn)行抽樣，則抽樣后的頻譜F₁（ω）可唯一地表示原信號(hào)。

5．周期信號(hào)和抽樣信號(hào)的特性

表3-1-2　周期信號(hào)和抽樣信號(hào)的特性

五、雷達(dá)測(cè)距原理，雷達(dá)信號(hào)的頻譜

設(shè)雷達(dá)的射頻脈沖的持續(xù)時(shí)間為T(mén)₀，發(fā)送信號(hào)的周期為T(mén)₁，目標(biāo)與雷達(dá)之間的距離為d（以m為單位），光速為c，τ代表往返時(shí)間，則有τ＝2d/c。

為考察測(cè)距精度質(zhì)量給出以下兩個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)：

1．距離分辨力

雷達(dá)能夠可靠測(cè)量的兩目標(biāo)距離最小間隔Δd將受到T₀所限，即Δd＝cT₀/2。也即鄰近目標(biāo)回波信號(hào)應(yīng)在脈沖持續(xù)時(shí)間T₀結(jié)束之后到達(dá)，不得過(guò)早。

2．距離模糊性

雷達(dá)能夠測(cè)量的最大不混淆目標(biāo)距離d_max將受到T₁所限，即d_max＝cT₁/2。這表明回波信號(hào)必須在發(fā)射下一個(gè)脈沖之前回到雷達(dá)接收機(jī)。