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1.3 名校考研真題詳解

一、選擇題

1.信號(sin2t+cos5t)2的周期是(  )。[電子科技大學2013研]

A.π/5

B.π/2

C.2π

D.不是周期信號

【答案】C

【解析】將(sin2t+cos5t)2展開可得:(1-cos4t)/2+(sin7t)/2-(sin3t)/2+(1+cos10t)/2。由此可知上式四項的周期分別為2π/4,2π/7,2π/3,2π/10,最小公倍數為2π,因此信號周期為2π。

2.的值為( ?。?span id="lpapkak" class="ZhenTiTag">[武漢大學2015研]

A.不確定

B.e-2

C.0

D.e2

【答案】C

【解析】由沖激信號的抽樣特性可知

3.積分等于( ?。?span id="xbmcyz8" class="ZhenTiTag">[武漢科技大學2017研]

A.-2δ(t)

B.-2u(t)

C.u(t-2)

D.-2δ(t-2

【答案】B

【解析】根據沖激函數的性質有

4.y(t)=5cos(3t+π/2)+3cos(2t+π/3)的周期是( ?。?。[西南交通大學2014研]

A.π/6

B.π/3

C.2π

D.∞

【答案】C

【解析】第一項周期為T1=2π/3,第二項周期T2=2π/2=π,兩者公倍數是2π,因此y(t)的周期為2π。

5.下列各表達式中錯誤的是( ?。?span id="d9vcxxy" class="ZhenTiTag">[武漢科技大學2017研]

A.δ′(t)=-δ′(-t)

B.

C.

D.δ′(t-t0)=δ′(t0-t)

【答案】D

【解析】對于D項由沖激偶函數性質可知:δ′(t-t0)=δ′[(-1)(t0-t)]=-δ′(t0-t)。

6.若f(t)是已錄制聲音的磁帶,則下列表述錯誤的是( ?。?。[西南交通大學2014研]

A.f(-t)表示將磁帶倒帶轉播放生的信號

B.f(t+2)表示將磁帶以超前2個單位播放

C.f(t/2)表示原磁帶放音速度以二倍速度加快播放

D.2f(t)將磁帶的音量放大一倍播放

【答案】C

【解析】f(t/2)表示將聲音長度擴展兩倍,正常放音情況下,原磁帶放音速度會降低一半播放。

7.若f(t)為系統的輸入激勵,y(t)為系統的輸出響應,y(0)為系統的初始狀態,下列哪個輸出響應所對應的系統是線性系統(  )。[西南交通大學2014研]

A.y(t)=5y2(0)+3f(t)

B.y(t)=3y(0)+2f(t)+d[f(t)]/dt

C.y(t)=2y(0)f(t)+2f(t)

D.y(t)=4y(0)+2f2(t)

【答案】B

【解析】對于微分方程形式的系統而言,線性系統中不會出現輸入、輸出的乘積形式,也不會出現輸入本身、輸出本身的乘積形式。

8.系統是( ?。?。[電子科技大學2013研]

A.非線性、時不變、非因果、穩定

B.線性、時變、非因果、穩定

C.非線性、時變、因果、非穩定

D.線性、時不變、非因果、穩定

【答案】B

【解析】線性

設系統算子為T,則c1x1(t)+c2x2(t)通過系統后的結果T[c1x1(t)+c2x2(t)]為

因此系統是線性的。

時不變性

令t→t-t0,則經過算子T后T[x(t-t0)]為

比較以上兩式有y(t-t0)≠T[x(t-t0)],因此系統是時變的。

因果性

令t=3有y(3)=x(3)+x(5),說明當前響應與未來激勵相關,因此系統是非因果的。

穩定性

若x(t)有界,則y(t)=x(t)+x(t+2)顯然也是有界的,因此該系統是穩定的。

綜上所述,該系統是線性、時變、非因果、穩定系統。

二、填空題

1.計算積分______。[北京郵電大學2016研]

【答案】1

【解析】已知沖激偶積分公式

2.某連續時間系統的輸入為x(t),零狀態響應為ym(t)=3x(t)+4,試判斷該連續時間系統是否為線性系統______,是否為非時變系統______。[北京交通大學2015研]

【答案】否;是

【解析】因為3[x1(t)+x2(t)]+4≠[3x1(t)+4]+[3x2(t)+4]=y1(t)+y2(t),因此該系統是非線性的;又因為3x(t-t0)+4=y(t-t0),因此該系統是非時變的。

3.______。 [北京交通大學2015研]

【答案】1/2

【解析】依題意有

4.積分的值=______。[華中科技大學2012研]

【答案】-2cos2

【解析】根據沖擊偶函數的性質有

三、判斷題

1.信號x(t)經過一個連續時間系統的輸出為y(t)=x(2t),該系統是時變系統。( ?。?span id="a6euqo1" class="ZhenTiTag">[北京郵電大學2016研]

【答案】

【解析】由時不變判斷方法可知,y(t-t0)=x[2(t-t0)]≠T[x(t-t0)]=x(2t-t0),因此系統是時變系統 。

2.信號x(t)經過一個連續時間系統的輸出為

T為非零實常數,該系統是因果系統。[北京郵電大學2016研]

【答案】

【解析】因果系統是指系統在t0時刻的響應只與t=t0和t<t0時刻的輸入有關,而該連續時間系統輸出y(t)在t時刻的響應與時間段t-T/2<ti<t+T/2內的輸入均有關,因此該系統是非因果系統。

3.兩個線性時不變系統相級聯的先后順序不影響總的輸入輸出關系。( ?。?span id="9rt7m8s" class="ZhenTiTag">[中山大學2010研]

【答案】

【解析】線性時不變系統級聯,總的系統函數相當于各個系統函數相卷積,根據卷積的性質,卷積的次序是可以交換的。

4.卷積可用于非線性時不變系統。( ?。?span id="npjhtku" class="ZhenTiTag">[南京大學2010研]

【答案】

【解析】設激勵信號為e(t),系統的零狀態響應為r(t),則

此運算是線性時不變系統的輸入和系統函數的卷積運算,因此若要滿足上式,則系統必須要有疊加性,即要求是線性的;應用于非線性系統時,由于違反了疊加定理,因此不能使用。

四、簡答題

分析系統y(t)=f(1-t)的線性、因果和時變特性。[西安電子科技大學2017研]

答:(1)線性

設系統算子為T,則c1f1(t)+c2f2(t)通過系統后的結果T[c1f1(t)+c2f2(t)]為:c1f1(1-t)+c2f2(1-t)=c1y1(t)+c2y2(t)。

因此系統是線性的。

(2)因果性

令t=0有y(0)=f(1),說明當前響應與未來激勵相關,因此系統是非因果的。

(3)時不變

令t→t-t0,則經過算子T后T[f(t-t0)]為f(1-t-t0),而y(t-t0)=f[1-(t-t0)]=f(1-t+t0),比較以上兩式有y(t-t0)≠T[f(t-t0)],因此系統是時變的。

綜上所述,該系統是線性、非因果、時變系統。

五、畫圖題

1.已知函數f1(-t/2)和f2(t)的波形如圖1-3-1所示。畫出y1(t)=f1(t+1)u(-t)和y2(t)=f2(5-3t)的波形。[西安電子科技大學2017研]

圖1-3-1

答:y1(t)的波形如圖1-3-2所示。

圖1-3-2

根據f2(t)的波形圖可知,f2(t)=9δ(t+1),因此y2(t)的表達式為:y2(t)=f2(5-3t)=3δ(t-2),則y2(t)的波形圖如圖1-3-3所示。

圖1-3-3

2.已知f(t)波形如圖1-3-4所示,請畫出信號f1(t)=f(2-t)u(4-t)的波形圖。[武漢大學2015研]

圖1-3-4

答:將f(t)先翻轉然后右移兩個單位后取t<4的部分即可,如圖1-3-5所示。

圖1-3-5

3.信號x(t)如圖1-3-6所示,畫出信號y(t)=2x(-t/3+2/3)的圖形。[北京郵電大學2012研]

圖1-3-6

答:y(t)=2x[-(t-2)/3]如圖1-3-7(d)所示。

圖1-3-7

4.粗略畫出函數式的波形圖。[中山大學2011研]

答:此函數是Sa函數的尺度變換和位移變換,函數式的波形圖如圖1-3-8所示。

圖1-3-8

5.已知f(t)的波形如圖1-3-9所示,試畫出f(5-2t)的波形。[武漢理工大學2010研]

圖1-3-9

答:由f(t)的波形可知f(-t)波形如圖1-3-10所示。

圖1-3-10

由f(-t)波形得f(-2t)波形如圖1-3-11所示。

圖1-3-11

由以上得f(5-2t)=f[-2(t-5/2)]波形如圖1-3-12所示。

圖1-3-12

六、計算題

1.

[西安電子科技大學2017研]

解:根據沖激函數性質有

2.計算下列積分。[武漢大學2015研]

(1)

(2)

解:(1)

(2)

3.任意信號是如何分解成無窮多個單位階躍信號或無窮多的單位沖激信號的?請闡述之。[武漢大學2015研]

答:以沖激響應為例,這種分解思路是先把信號f(t)分解成寬度為?t的矩形窄脈沖之和,任意時刻k?t的矩形脈沖幅度為f(k?t)。假設f(t)為因果信號,則f(t)可表示為

令窄脈沖寬度?t→0,并對其取極限,得到

此時k?t→τ,?t→dτ,,即求和運算變為積分運算。于是,用沖激函數表示任意信號的積分形式為

同理,任意信號用階躍函數表示為

4.已知信號如圖1-3-13所示。

圖1-3-13

(1)求x(t)與d[x(t)]/dt的表達式

(2)畫出d[x(t)]/dt的圖形

(3)畫出x(2-t)u(-t)的圖形。[電子科技大學2013研]

解:(1)根據x(t)的波形可以直接寫出x(t)的表達式為:

x(t)=(t-1)[u(t)-u(t-1)]+2[u(t-1)-u(t-2)]+(2-t)[u(t-2)-u(t-3)]=(t-1)u(t)-(t-3)u(t-1)-tu(t-2)+(t-2)u(t-3)

因此d[x(t)]/dt的表達式為:

d[x(t)]/dt=[u(t)-u(t-1)]-[u(t-2)-u(t-3)]-δ(t)+2δ(t-1)-2δ(t-2)+δ(t-3)。

(2)d[x(t)]/dt的圖形如圖1-3-14所示。

圖1-3-14

(3)利用信號的基本運算方法可得x(2-t)u(-t)的圖形如圖1-3-15所示。

圖1-3-15

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