1.2　課后習題詳解

1-1　分別判斷圖1-2-1所示各波形是連續時間信號還是離散時間信號，若是離散時間信號是否為數字信號?

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

圖1-2-1

解：（a）連續時間信號（模擬信號）；（b）連續時間信號（量化信號）；（c）離散時間信號（數字信號）；（d）離散時間信號（抽樣信號）；（e）離散時間信號（數字信號）；（f）離散時間信號（數字信號）。

1-2　分別判斷下列各函數式屬于何種信號。（重復習題1-1題所問。）

（1）e－αtsin（ωt）；

（2）e－nT；

（3）cos（nπ）；

（4）sin（nω₀）（ω₀為任意值）；

（5）（1/2）n。

以上各式中n為正整數。

解：（1）e－αtsin（ωt）時間、幅值均連續取值，故為連續時間信號（模擬信號）；

（2）e－nT時間離散、幅值連續，故為離散時間信號（抽樣信號）；

（3）cos（nπ）時間、幅值均離散，故為離散時間信號（數字信號）；

（4）sin（nω₀）時間離散、幅值連續，故為離散時間信號（抽樣信號）；

（5）（1/2）n時間離散、幅值連續，故為離散時間信號（抽樣信號）。

1-3　分別求下列各周期信號的周期T。

（1）cos（10t）－cos（30t）；

（2）ej10t；

（3）[5sin（8t）]2；

（4）

解：（1）分量cos（10t）的周期T₁＝2π/10＝π/5，分量cos（30t）的周期T₂＝π/15，兩者的最小公倍數是π/5，所以此信號的周期T＝π/5。

（2）因為ej10t＝cos（10t）＋jsin（10t），所以此信號周期為T＝2π/10＝π/5。

（3）因為[5sin（8t）]2＝25sin2（8t）＝25×{[1－cos（16t）]/2}＝12.5－12.5cos（16t），所以此信號的周期為T＝2π/16＝π/8。

（4）原式可整理為

其中n為正整數。所以此信號的周期為2T。

1-4　對于教材例1-1所示信號，由f（t）求f（－3t－2），但改變運算順序，先求f（3t）或先求f（－t），討論所得結果是否與原例之結果一致。

解法一：f（t）→f（3t）→f（－3t）→f（－3t－2）

圖1-2-2

解法二：f（t）→f（－t）→f（－3t）→f（－3t－2）

圖1-2-3

所得結果一致。

1-5　已知f（t），為求f（t₀－at）應按下列哪種運算求得正確結果（式中t₀，a都為正值）?

（1）f（－at）左移t₀；

（2）f（at）右移t₀；

（3）f（at）左移t₀/a；

（4）f（－at）右移t₀/a。

解：正確答案是（4）。

（1）

（2）

（3）

（4）

1-6　繪出下列各信號的波形：

（1）[1＋sin（Ωt）/2] sin（8Ωt）；

（2）[1＋sin（Ωt）]sin（8Ωt）。

解：（1）高頻信號sin（8Ωt）的周期T＝2π/（8Ω），與其相乘的信號作為信號包絡，波形如圖1-2-4（a）所示。

（2）高頻信號的周期T＝2π/（8Ω），波形如圖1-2-4（b）所示。

圖1-2-4

1-7　繪出下列各信號的波形。

（1）[u（t）－u（t－T）]sin（4πt/T）；

（2）[u（t）－2u（t－T）＋u（t－2T）]sin（4πt/T）。

解：（1）由于

而信號sin（4πt/T）的周期為T/2，故只需畫出信號sin（4πt/T）在區間[0，T]上的波形如圖1-2-5（a）所示。

（2）原式＝{u（t）－u（t－T）－[u（t－T）－u（t－2T）]}sin（4πt/T），信號sin（4πt/T）的周期為T/2，截取信號sin（4πt/T）在區間[0，T]上的波形，在區間[T，2T]上將其反相，所得波形如圖1-2-5（b）所示。

（a）

（b）

圖1-2-5

1-8　試將描述圖1-2-6所示波形的教材表達式（1-16）和（1-17）改用階躍信號表示。

圖1-2-6

解：（1）表達式（1-16）為

改用階躍函數可表示為

（2）表達式（1-17）為

改用階躍信號可表示為

1-9　粗略繪出下列各函數式的波形圖。

（1）f（t）＝（2－e－t）u（t）；

（2）f（t）＝（3e－t＋6e－2t）u（t）；

（3）f（t）＝（5e－t－5e－3t）u（t）；

（4）f（t）＝e－tcos（10πt）[u（t－1）－u（t－2）]。

解：題（1）、（2）、（3）、（4）信號波形，分別如圖1-2-7（a）、（b）、（c）、（d）所示。

（a）

（b）

（c）

（d）

圖1-2-7

1-10　寫出圖1-2-8（a）、（b）、（c）所示各波形的函數式。

（a）

（b）

（c）

圖1-2-8

解：（1）由圖1-2-8（a）可得

（2）由圖1-2-8（b）可得

（3）由圖1-2-8（c）可得

1-11　繪出下列各時間函數的波形圖。

（1）te－tu（t）；

（2）e－（t－1）[u（t－1）－u（t－2）]；

（3）[1＋cos（πt）][u（t）－u（t－2）]；

（4）[u（t）－2u（t－1）＋u（t－2）]；

（5）

（6）d[e－t（sint）u（t）]/dt。

解：各時間函數的波形圖如圖1-2-9（a）～（f）所示。

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

圖1-2-9

1-12　繪出下列各時間函數的波形圖，注意它們的區別。

（1）t[u（t）－u（t－1）]；

（2）tu（t－1）；

（3）t[u（t）－u（t－1）]＋u（t－1）；

（4）（t－1）u（t－1）；

（5）－（t－1）[u（t）－u（t－1）]；

（6）t[u（t－2）－u（t－3）]；

（7）（t－2）[u（t－2）－u（t－3）]。

解：信號的波形分別為圖1-2-10（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。

圖1-2-10

1-13　繪出下列各時間函數的波形圖，注意它們的區別。

（1）f₁（t）＝sin（ωt）·u（t）；

（2）f₂（t）＝sin[ω（t－t₀）]·u（t）；

（3）f₃（t）＝sin（ωt）·u（t－t₀）；

（4）f₄（t）＝sin[ω（t－t₀）]·u（t－t₀）。

解：信號波形分別為圖1-2-11（a）、（b）、（c）、（d）所示。

圖1-2-11

1-14　應用沖激信號的抽樣特性，求下列表示式的函數值。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

解：利用性質

得：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

1-15　電容C₁與C₂串聯，以階躍電壓源v（t）＝Eu（t）串聯接入，試分別寫出回路中的電流i（t）、每個電容兩端電壓v_C1（t）、v_C2（t）的表示式。

解：根據題意可知，電容C₁、C₂和電壓源v（t）串聯，可得回路電流

則電容兩端電壓v_C1（t）、v_C2（t）分別為

1-16　電感L₁與L₂并聯，以階躍電流源i（t）＝Iu（t）并聯接入，試分別寫出電感兩端電壓v（t）、每個電感支路電流i_L1（t）、i_L2（t）的表示式。

解：根據題意可知，電感L₁、L₂和電流源i（t）并聯，可得電感兩端電壓

則電感支路電流i_L1（t）、i_L2（t）分別為

1-17　分別指出下列各波形的直流分量等于多少，

（1）全波整流f（t）＝|sin（ωt）|；

（2）f（t）＝sin2（ωt）；

（3）f（t）＝cos（ωt）＋sin（ωt）；

（4）升余弦f（t）＝K[1＋cos（ωt）]。

解：（1）信號sin（ωt）的周期為2π/ω，則信號|sin（ωt）|的周期為T＝π/ω，所以直流分量

（2）由f（t）＝sin2（ωt）＝[1－cos（2ωt）]/2可知，周期T＝π/ω。

因為cos（2ωt）在一個周期內的平均值為零，所以直流分量

（3）f（t）的周期T＝2π/ω，而在[0，2π/ω]內cos（ωt）和sin（ωt）的積分均為零，所以f_D＝0。

（4）f（t）的周期T＝2π/ω，在[0，2π/ω]內cos（ωt）積分為零，所以f_D＝K。

1-18　粗略繪出圖1-2-12所示各波形的偶分量和奇分量。

圖1-2-12

解：信號的偶分量f_e（t）＝[f（t）＋f（－t）]/2，奇分量f_o（t）＝[f（t）－f（－t）]/2。

（a）由圖1-2-12（a）可知，f_e（t）和f_o（t）的波形如圖1-2-13（a）所示。

圖1-2-13（a）

（b）由圖1-2-12（b）可知，信號f（t）為偶函數，即f（t）＝f（－t），所以其f_e（t）＝f（t），f_o（t）＝0，即偶分量為其本身，奇分量為0，f_e（t）的波形如圖1-2-13（b）所示。

圖1-2-13（b）

（c）先作出f（－t）的波形如圖1-2-13（c₁）所示。

圖1-2-13（c1）

則可得f_e（t）和f_o（t）的波形如圖1-2-13（c₂）所示。

圖1-2-13（c2）

（d）先作出f（－t）的波形如圖1-2-13（d₁）所示。

圖1-2-13（d1）

則可得f_e（t）和f_o（t）的波形如圖1-2-13（d₂）所示。

圖1-2-13（d2）

1-19　繪出下列系統的仿真框圖。

（1）d[r（t）]/dt＋a₀r（t）＝b₀e（t）＋b₁{d[e（t）]/dt}；

（2）d2[r（t）]/dt2＋a₁{d[r（t）]/dt}＋a₀r（t）＝b₀e（t）＋b₁{d[e（t）]/dt}。

解：（1）取中間變量q（t），使：d[q（t）]/dt＋a₀q（t）＝e（t）①

激勵信號e（t）與中間變量q（t）的關系，如圖1-2-14所示。

圖1-2-14

將①代入原方程，得

　②

對比等式兩邊，可知r（t）＝b₀q（t）＋b₁{d[q（t）]/dt}

從而得到系統仿真框圖，如圖1-2-15所示。

圖1-2-15

（2）取中間變量q（t），使：d2[q（t）]/dt2＋a₁{d[q（t）]/dt}＋a₀q（t）＝e（t）①

激勵信號e（t）與中間變量q（t）的關系，如圖1-2-16所示。

圖1-2-16

將式①代入原方程，可得r（t）＝b₀q（t）＋b₁{d[q（t）]/dt}。

從而得到系統仿真框圖，如圖1-2-17所示。

圖1-2-17

1-20　判斷下列系統是否為線性的、時不變的、因果的。

（1）r（t）＝d[e（t）]/dt；

（2）r（t）＝e（t）u（t）；

（3）r（t）＝sin[e（t）]u（t）；

（4）r（t）＝e（1－t）；

（5）r（t）＝e（2t）；

（6）r（t）＝e2（t）；

（7）

（8）

解：（1）令r₁（t）＝d[e₁（t）]/dt，r₂（t）＝d[e₂（t）]/dt，則

系統滿足線性關系。

又

滿足時不變性。

由r（t）＝d[e（t）]/dt可知，系統在t₀時刻的響應與t＞t₀時的輸入無關，因此系統滿足因果性。

綜上，系統是線性、時不變、因果的。

（2）令r₁（t）＝e₁（t）u（t），r₂（t）＝e₂（t）u（t），則c₁r₁（t）＋c₂r₂（t）＝c₁e₁（t）u（t）＋c₂e₂（t）u（t）＝[c₁e₁（t）＋c₂e₂（t）]u（t），系統滿足線性關系。

又r（t－t₀）＝e（t－t₀）u（t－t₀）≠e（t－t₀）u（t），故系統時變。

由r（t）＝e（t）u（t）知，系統響應只與當前激勵有關，因此系統滿足因果性。

綜上，系統是線性、時變、因果的。

（3）令r₁（t）＝sin[e₁（t）]u（t），r₂（t）＝sin[e₂（t）]u（t），則c₁r₁（t）＋c₂r₂（t）＝c₁sin[e₁（t）]u（t）＋c₂sin[e₂（t）]u（t）≠sin[c₁e₁（t）＋c₂e₂（t）]u（t）。

系統不滿足線性關系。

又r（t－t₀）＝sin[e（t－t₀）]u（t－t₀）≠sin[e（t－t₀）]u（t），故系統時變。

由r（t）＝sin[e（t）]u（t）可知，系統響應只與當前激勵有關，因此系統滿足因果性。

綜上，系統是非線性、時變、因果的。

（4）令r₁（t）＝e₁（1－t），r₂（t）＝e₂（1－t），則c₁r₁（t）＋c₂r₂（t）＝c₁e₁（1－t）＋c₂e₂（1－t），系統滿足線性關系。

由r（t）＝e（1－t）知，激勵信號e（t）反褶后再右移1個單位可得響應信號r（t）。

因為

故系統時變。

當t＝0時，r（0）＝e（1－0）＝e（1），0時刻的響應取決于將來輸入，故系統不滿足因果條件。

綜上，系統是線性、時變、非因果的。

（5）令r₁（t）＝e₁（2t），r₂（t）＝e₂（2t），則c₁r₁（t）＋c₂r₂（t）＝c₁e₁（2t）＋c₂ e₂（2t），系統滿足線性關系。

又r（t－t₀）＝e[2（t－t₀）]≠f[e（t－t₀）]＝e（2t－t₀），故系統時變。

因為t＝1時，r（1）＝e（2），響應取決于將來值，不滿足因果要求，所以系統為非因果系統。

綜上，系統是線性、時變、非因果的。

（6）令r₁（t）＝e₁2（t），r₂（t）＝e₂2（t），則：c₁r₁（t）＋c₂r₂（t）＝c₁e2₁（t）＋c₂e2₂（t）≠[c₁e₁（t）＋c₂ e₂（t）]2

系統不滿足線性關系。

又r（t－t₀）＝e2（t－t₀），故系統為時不變系統。

因為響應r（t）＝e2（t）只與輸入的當前值有關，所以系統是因果的。

綜上，系統是非線性、時不變、因果的。

（7）令

則

系統滿足線性關系。

作替換有

則

故系統滿足時不變特性。

由知，響應只與當前及以前的輸入有關，故系統滿足因果性。

綜上，系統是線性、時不變、因果的。

（8）令

則

系統滿足線性關系。

又

故系統時變。

當t＝1時

響應與未來輸入有關，因此系統不滿足因果特性。

綜上，系統是線性、時變、非因果的。

1-21　判斷下列系統是否是可逆的。若可逆，給出它的逆系統；若不可逆，指出使該系統產生相同輸出的兩個輸入信號。

（1）r（t）＝e（t－5）；

（2）r（t）＝d[e（t）]/dt；

（3）；

（4）r（t）＝e（2t）。

解：若系統在不同激勵信號作用下產生不同的響應，則該系統可逆。

（1）可逆，逆系統為r（t）＝e（t＋5）；

（2）不可逆，因為若e₁（t）＝t＋1，e₂（t）＝t，則r（t）＝d[e₁（t）]/dt＝d[e₂（t）]/dt＝1，不同激勵產生相同的響應，系統不可逆；

（3）可逆，逆系統為r（t）＝d[e（t）]/dt；

（4）可逆，逆系統為r（t）＝e（t/2）。

1-22　若輸入信號為cos（ω₀t），為使輸出信號中分別包含以下頻率成分：

（1）cos（2ω₀t）；

（2）cos（3ω₀t）；

（3）直流。

請你分別設計相應的系統（盡可能簡單）滿足此要求，給出系統輸出與輸入的約束關系式。討論這三種要求有何共同性、相應的系統有何共同性。

解：（1）系統模型為：r（t）＝e（2t）；

（2）系統模型為：r（t）＝e（3t）；

（3）系統模型為：r（t）＝e（t）＋c（c為非零常數）。

三個要求的共性是：輸入信號經過系統后，有新的頻率分量產生。

三個系統的共性是：都可以改變輸入信號的頻率或增加新的頻率分量。

1-23　有一線性時不變系統，當激勵e₁（t）＝u（t）時，響應r₁（t）＝e－atu（t），試求當激勵e₂（t）＝δ（t）時，響應r₂（t）的表示式（假定起始時刻系統無儲能）。

解：由于該系統為線性時不變系統，起始時刻系統無儲能，故系統的響應為零狀態響應。又因為

利用線性時不變系統的微分特性知

1-24　證明δ函數的尺度運算特性滿足δ（at）＝δ（t）/|a|。（提示：利用教材圖1-28，當以t為自變量時脈沖底寬為τ，而改以at為自變量時底寬變成τ/a，借此關系以及偶函數特性即可求出以上結果。）

證明：首先以t為橫軸，脈沖底寬為τ，高度為1/τ，作δ（t）的矩形逼近圖形，如圖1-2-18所示。

圖1-2-18

再以at（假設a＞0）為橫軸作相同的圖形時，底寬變成τ/a，但是要保證矩形的高度保持不變，則有矩形的面積變為原來的1/a倍，即δ（at）＝δ（t）/a。因為δ（t）是偶函數，所以當a＜0時有δ（at）＝δ（－at）＝－δ（t）/a。即從作用效果上來講：δ（at）＝δ（t）/|a|。命題得證。