第2章　連續時間系統的時域分析

2.1　復習筆記

一、微分方程的建立

微分方程是描述和分析連續時間系統的有力工具。對給定的具體系統進行電路分析，按照元件的約束條件可建立相應的微分方程。LTI系統一般可用高階的微分方程表示

二、系統響應的求解

1．微分方程的時域經典法求解

完全解由兩部分組成，即齊次解和特解。其中，齊次解表示系統的自由響應，是由系統自身特性決定；特解稱為系統的強迫響應，只與外加激勵函數的形式有關。

整個系統的完全響應是由系統自身特性決定的自由響應和只與外加激勵信號有關的強迫響應兩部分組成。

2．零輸入響應與零狀態響應

零輸入響應為沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態（0_－狀態）所產生的響應；

零狀態響應為不考慮起始時刻系統儲能的作用，由系統的外加激勵信號所產生的響應。

注：（1）自由響應和零輸入響應都滿足齊次方程的解，但是系數完全不同，零輸入響應的系數僅由起始儲能情況決定，而自由響應的系數要同時依從于起始狀態和激勵信號。

（2）自由響應由兩部分組成，其中，一部分由起始狀態決定，另一部分由激勵信號決定，二者都與系統的自身參數有關；當系統0_－狀態為零，則零輸入響應為零，但自由響應可以不為零。

（3）零輸入響應在由0_－時刻到0_＋時刻不跳變，此時刻若發生跳變可能出現在零狀態響應分量之中。

3．瞬態響應和穩態響應

當t→∞時，系統響應中趨于0的分量稱為瞬態響應；而當t→∞時，系統響應中保留下來的分量稱為穩態響應。

綜上，系統的完全響應由自由響應和強迫響應兩部分組成，還可分解為零輸入響應和零狀態響應，第三種分解方式是瞬態響應和穩態響應。

三、沖激響應和階躍響應及其性質

單位沖激響應h（t）是系統在單位沖激信號δ（t）的激勵下所產生的零狀態響應；而單位階躍響應g（t）是系統在單位階躍信號u（t）的激勵下所產生的零狀態響應。

其性質（線性時不變）主要包括以下幾點：

（1）h（t）和g（t）之間存在微積分關系：

（2）對于因果系統，當t＜0時，h（t）＝0或g（t）＝0；

（3）對于穩定系統，有

（4）對于無記憶系統，有h（t）＝Kδ（t）；

（5）對于可逆系統，即h（t）是可逆系統，h₁（t）是h（t）的逆系統，有h（t）*h₁（t）＝δ（t）。

四、卷積及其性質

1．卷積的定義

2．卷積的性質

（1）交換律、結合律和分配律：

f₁（t）*f₂（t）＝f₂（t）*f₁（t）、[f₁（t）*f₂（t）]*f₃（t）＝f₁（t）*[f₂（t）*f₃（t）]、f₁（t）*[f₂（t）＋f₃（t）]＝f₁（t）*f₂（t）＋f₁（t）*f₃（t）。

（2）卷積的微分和積分

（3）與沖激函數、階躍函數的卷積：

f（t）*δ（t）＝f（t）、f（t）*δ′（t）＝f′（t）、f（t）*δ（k）（t）＝f（k）（t）、f（t）*δ（t－t₀）＝f（t－t₀）、。

（4）卷積的多階導數或多重積分運算規律

設s（t）＝f₁（t）*f₂（t），則有s（i）（t）＝f₁（j）（t）*f₂（i－j）（t）。其中，i、j取正整數時為導數的階次，i、j取負整數時為積分的重數。

五、利用卷積分析通信系統多徑失真的消除辦法

在無線通信系統中，當接收機從正常途徑收到發射信號時，可能還有其他寄生的傳輸路徑，例如從發射機經某些建筑物反射到達接收端，產生所謂“回波”現象。回波系統的沖激響應表達式為h（t）＝δ（t）＋aδ（t－T），或對多個回聲有

為了從含有干擾信號的回波系統中取出正常信號，需要設計一個“逆系統”進行補償，逆系統的沖激響應以h_i（t）表示，則e（t）＝r（t）*h_i（t）＝e（t）*[h（t）* h_i（t）]，經推導可

可根據具體環境要求，將k值取若干有限項即可滿足消除回聲的要求。