第2章　一元函數微分學

一、導數與微分

表2-1　導數與微分

二、高階導數

1．定義

（1）二階導數

的導數稱為函數的二階導數，記作或．即或．

（2）n階導數

（n－1）階導數的導數稱為n階導數，記作或（n∈Z且n≥2）

2．常見函數的高階導數

（1）指數函數的n階導數

（2）正弦函數的n階導數

（3）余弦函數的n階導數

（4）函數的n階導數

（5）冪函數的n階導數（是任意常數）

特別地，有

3．萊布尼茨公式

三、特殊函數的導數

1．分段函數的導數

（1）對于不是分界點的區間，直接利用求導法則和公式進行求導；

（2）判斷分界點處的可導性：

①若函數在點不連續，則它在點不可導；

②若函數在點連續，且在的鄰域內（除外）可導，則：

a．當存在時，設其為A，函數f(x)在點可導，且；

b．當不存在時，要用定義判斷；

c．當與都存在，但不相等時，函數f(x)在點不可導．

2．隱函數的導數

設y＝y(x)是由方程F(x,y)＝0所確定的可導函數，為求得，可在方程F(x,y)＝0兩邊對x求導，可得到一個含有的方程，從中解出即可．

3．由參數方程所確定的函數的導數

參數方程

（1）一階導數

其中，φ(t)和ψ(t)都可導，且．

（2）二階導數

其中，φ（t）和ψ（t）二階可導，且．

4．反函數的導數

如果函數x＝f(y)在區間內單調、可導，且，則它的反函數在區間內也可導，且

或

四、微分中值定理

1．羅爾定理

如果函數滿足：

（1）在[a，b]上連續；

（2）在（a，b）內可導；

（3），

則在（a，b）內至少有一點使得．

2．拉格朗日中值定理

如果函數f(x)滿足：

（1）在 [a，b]上連續；

（2）在（a，b）內可導，

則在（a，b）內至少有一點，有

3．泰勒定理

如果函數f(x)在處具有n階導數，則存在的一個鄰域，對于該鄰域內的任意x，有

其中

4．柯西中值定理

如果函數f(x)及F(x)滿足：

（1）在閉區間[a，b]上連續；

（2）在開區間（a，b）內可導；

（3）對任意；

（4）F(b)≠F(a).

則在（a，b）內至少有一點，有

五、洛必達法則

1．時，的洛必達法則

（1）當時，函數f(x)及F(x)都趨于零；

（2）在點a的某去心鄰域內，及都存在且；

（3）存在（或為無窮大），則

2．，的洛必達法則

（1）當時，函f(x)及F(x)都趨于零；

（2）當|x|＞N時，及都存在且；

（3）存在（或為無窮大），則

3．使用洛必達法則，應注意

（1）對于x→a或x→∞時的未定式，也有相應的洛必達法則；

（2）其他一些特殊形式的未定式，例如0·∞、∞－∞、、、型，也可通過或型的未定式來計算；

（3）如果不是未定式，則就不能應用洛必達法則；

（4）洛必達法則可以和其他求極限方法結合使用，可以應用等價無窮小或兩個重要極限；

①常用的等價無窮小

②兩個重要極限

及

（5）當不存在時（等于無窮大的情況除外），仍可能存在．

六、函數的極值和最值

1．用導數判斷函數的單調性

設函數y＝f(x)在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，則：

（1）如果在（a，b）內，且等號僅在有限多個點處成立，則函數y＝f(x)在[a，b]上單調增加；

（2）如果在（a，b）內，且等號僅在有限多個點處成立，則函數y＝f(x)在[a，b]上單調減少．

2．函數的極值

（1）極值

①極大值

設函數在點的某鄰域內有定義，如果對于去心鄰域內的任意x，有，則稱是函數的一個極大值．

②極小值

設函數在點的某鄰域內有定義，如果對于去心鄰域內的任意x，有，則稱是函數的一個極小值．

（2）求的極值點和極值的步驟

若函數在所討論的區間內連續，且除個別點外處處可導，則

①求出導數；

②求出的全部駐點（一階導數為零的點）與不可導點；

③考察的符號在每個駐點或不可導點的左、右鄰近的情形，以確定該點是否為極值點；如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；

④求出各極值點的函數值，就得函數的全部極值．

3．最大值和最小值

若在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內除有限個點外可導，且至多有有限個駐點，則

（1）求出在（a，b）內的駐點及不可導點；

（2）計算在上述駐點、不可導點處的函數值及f(a)，f(b)；

（3）比較（2）中諸值的大小，其中最大的便是在[a，b]上的最大值，最小的便是在[a，b]上的最小值．

七、凹凸性

1．凹凸性

（1）定義

①凹性

設在區間I上連續，如果對I上任意兩點恒有

則稱在I上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）．

②凸性

設在區間I上連續，如果對I上任意兩點恒有

則稱在I上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）．

（2）導數和凹凸性的關系

在區間內，設函數具有二階導數．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的．

2．拐點

（1）定義

設y＝f(x)在區間I上連續，是I內的點．如果曲線y＝f(x)在經過點時，曲線的凹凸性改變了，點稱為該曲線的拐點．

（2）求拐點的步驟

對連續曲線y＝f(x)，若除在個別點不存在，則可按可按下述步驟求函數的拐點：

①求；

②令，解出方程在區間I內的實根，并求出在區間I內不存在的點；

③對于②中求出的每一個實根或二階導數不存在的點，檢查在左、右兩側鄰近的符號，則當兩側的符號相反時，點是拐點，當兩側的符號相同時，點不是拐點．

3．漸近線

（1）定義

若曲線C上的點M沿著曲線無限地遠離原點時，點M與某一直線L的距離趨于0，則直線L稱為曲線C的漸近線．

（2）分類

①水平漸近線

若或，則曲線y＝f(x)有水平漸近線y＝b．

②鉛直漸近線

若或，則曲線y＝f(x)有鉛直漸近線．

③斜漸近線

若（或），則曲線y＝f(x)有斜漸近線y＝kx＋b，其中

（3）函數圖形的描繪步驟

①確定函數y＝f(x)的定義域及函數所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函數的一階導數和二階導數；

②求出一階導數和二階導數在函數定義域內的全部零點，并求出函數f(x)的間斷點及和不存在的點，用這些點把函數的定義域劃分成幾個部分區間；

③確定在這些部分區間內和的符號，并由此確定函數圖形的升降、凹凸和拐點；

④確定函數圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢；

⑤算出和的零點以及不存在的點所對應的函數值，定出圖形上相應的點；為了把圖形描繪得準確些，有時還需要補充一些點，然后結合第三、四步中得到的結果，連接這些點畫出函數y＝f(x)的圖形．

4．曲率和曲率半徑

（1）曲線的曲率

①曲率的定義

②直角坐標方程的曲率公式

③參數方程

的曲率公式

（2）曲率圓

設曲線y＝f(x)在點M(x，y)處的曲率為K（K≠0）．在點M處的曲線的法線上，在凹的一側取一點D，使．以D為圓心，為半徑作圓（圖2-1），這個圓稱為曲線在點M處的曲率圓．

（3）曲率半徑

曲率圓的半徑稱為曲線在點M處的曲率半徑．

（4）曲率K和曲率半徑的關系

圖2-1