第1部分　高等數(shù)學(xué)

第1章　函數(shù)、極限、連續(xù)

一、函數(shù)

1．函數(shù)的概念

設(shè)數(shù)集，則稱(chēng)映射為定義在D上的函數(shù)，簡(jiǎn)記為，其中x稱(chēng)為自變量，y稱(chēng)為因變量，D稱(chēng)為定義域．記作，即．函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱(chēng)為函數(shù)的值域，記作或，即．

2．函數(shù)的表示法

表格法、圖形法、解析法（公式法）

二、函數(shù)的性質(zhì)

1．有界性

（1）上界：若，對(duì)，有，則稱(chēng)函數(shù)在I上有上界，而稱(chēng)為函數(shù)在I上的一個(gè)上界．

（2）下界：若，對(duì)有，則稱(chēng)函數(shù)在I上有下界，而稱(chēng)為函數(shù)在I上的一個(gè)下界．

（3）有界：若對(duì)，，總有，則稱(chēng)在I上有界．

2．單調(diào)性

（1）單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，．

（2）單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，．

3．周期性

（1）定義：（為正數(shù)）．

（2）最小正周期：函數(shù)所有周期中最小的周期稱(chēng)為最小正周期．

4．奇偶性

的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則：

（1）偶函數(shù)：，圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．

（2）奇函數(shù)：，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

三、特殊函數(shù)

1．復(fù)合函數(shù)

形如（其中）的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)．復(fù)合函數(shù)要注意其定義域．

2．分段函數(shù)

對(duì)于自變量的不同取值范圍，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)．

3．反函數(shù)

（1）定義

設(shè)函數(shù)是單射，則它存在逆映射，映射稱(chēng)為函數(shù)的反函數(shù)．

（2）性質(zhì)

①當(dāng)在D上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上也是單調(diào)遞增函數(shù)；

②當(dāng)在D上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上也是單調(diào)遞減函數(shù)；

③的圖像和的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．

4．隱函數(shù)

如果變量滿足一個(gè)方程，在一定條件下，當(dāng)取區(qū)間I任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足該方程的唯一的存在，則稱(chēng)方程在區(qū)間I確定了一個(gè)隱函數(shù)．

四、初等函數(shù)

1．基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖像

（1）冪函數(shù)

①表達(dá)式：；

②定義域：使有意義的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；

③單調(diào)性：

a．當(dāng)n＞0時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，1），在區(qū)間上是增函數(shù)；

b．當(dāng)n＜0時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），在區(qū)間上是減函數(shù)．

（2）指數(shù)函數(shù)

①表達(dá)式：；

②定義域：R；

③值域：；

④過(guò)定點(diǎn)：（0，1）；

⑤單調(diào)性：

a．當(dāng)時(shí)，在R單調(diào)遞增；

b．當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減．

⑥圖像

圖1-1　指數(shù)函數(shù)圖像

（3）對(duì)數(shù)函數(shù)

①表達(dá)式：；

②定義域：；

③值域：R；

④過(guò)定點(diǎn)：（1，0）；

⑤當(dāng)時(shí)，；

⑥單調(diào)性：

a．當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)；

b．當(dāng)時(shí)，是上的減函數(shù)．

⑦反函數(shù)：．

⑧運(yùn)算公式

⑨圖像

圖1-2　對(duì)數(shù)函數(shù)圖像

（4）三角函數(shù)

表1-1　三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像

（5）反三角函數(shù)

表1-2　反三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像

2．初等函數(shù)定義

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)．

五、極限

1．?dāng)?shù)列極限

（1）定義

．

（2）性質(zhì)

①唯一性

如果數(shù)列收斂，則它的極限唯一．

②有界性

如果數(shù)列收斂，則數(shù)列一定有界．

③保號(hào)性

如果且a＞0（或a＜0），則存在正整數(shù)N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，都有（或）．

④收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系

如果數(shù)列收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a．

（3）四則運(yùn)算

如果，則：

①；

②；

③當(dāng)；

且時(shí)，有．

（4）極限存在兩個(gè)準(zhǔn)則

①夾逼準(zhǔn)則

若存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，，且，則存在，且等于．

②單調(diào)有界準(zhǔn)則

單調(diào)有界數(shù)列必有極限．

2．函數(shù)極限

（1）定義

（2）左、右極限

①左極限：；

②右極限：．

（3）極限存在和左、右極限的關(guān)系

．

（4）極限的性質(zhì)

①唯一性

如果存在，則這極限唯一．

②局部有界性

如果，則存在常數(shù)M＞0和，使得當(dāng)時(shí)，有．

③局部保號(hào)性

a．如果，且A＞0（或A＜0），則存在常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有（或）；

b．如果，則存在的某一去心鄰域，當(dāng)時(shí)，有．

（5）極限的四則運(yùn)算

如果，則：

①；

②；

③若又有，則

（6）極限存在兩個(gè)準(zhǔn)則

①夾逼準(zhǔn)則1

如果數(shù)列、及滿足下列條件：

a．從某項(xiàng)起，即，當(dāng)時(shí)，有；

b．，

則數(shù)列的極限存在，且．

②夾逼準(zhǔn)則2

如果

a．當(dāng)（或）時(shí)，；

b．，

則存在，且等于．

（7）兩個(gè)重要極限

及．

六、無(wú)窮小與無(wú)窮大

1．無(wú)窮小

當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為零，則函數(shù)f(x)稱(chēng)為當(dāng)（或）時(shí)的無(wú)窮?。?/p>

2．無(wú)窮大

若（或），則f(x)稱(chēng)為x→x₀（或）時(shí)的無(wú)窮大．

3．無(wú)窮小的比較

設(shè)α、β是在同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小，則：

（1）高階無(wú)窮小：如果，則就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小，記作．

（2）低階無(wú)窮?。喝绻?img alt="" height="41" src="https://epubservercos.yuewen.com/519E62/15436647605522006/epubprivate/OEBPS/Images/image121.png?sign=1755946638-aCEASrkj7k3afVemYQazEiC4MXScsXqw-0-2149fa2c3c80a9f7ea9cd30773bd6836" width="69">，則就說(shuō)是比低階的無(wú)窮?。?/p>

（3）同階無(wú)窮?。喝绻?img alt="" height="41" src="https://epubservercos.yuewen.com/519E62/15436647605522006/epubprivate/OEBPS/Images/image122.png?sign=1755946638-WHez6edqcpP2SLnfLVJjb2i4KoPAM7zx-0-5f4d2c2618cae087196856ae123f8f15" width="89">，則就說(shuō)與是同階無(wú)窮?。?/p>

（4）k階無(wú)窮小：如果，則就說(shuō)是關(guān)于的階無(wú)窮?。?/p>

（5）等價(jià)無(wú)窮?。喝绻?img alt="" height="41" src="https://epubservercos.yuewen.com/519E62/15436647605522006/epubprivate/OEBPS/Images/image125.png?sign=1755946638-Lny8x6HvGZp5VcxhrZjXhX50uKQa9ttr-0-5f174db578947294116254cf823e9293" width="63">，則就說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮小，記作．

4．一些常用的等價(jià)無(wú)窮小量

七、函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1．函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x₀的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x₀連續(xù)．

2．左連續(xù)與右連續(xù)

（1）左連續(xù)

如果存在且等于，即，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)左連續(xù)．

（2）右連續(xù)

如果存在且等于，即，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)右連續(xù)．

3．間斷點(diǎn)

（1）函數(shù)間斷點(diǎn)的定義

函數(shù)f(x)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)．如果是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱(chēng)為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)．不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)．

（2）函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型

①第一類(lèi)間斷點(diǎn)

a．可去間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)函數(shù)左右極限相等．

b．跳躍間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)函數(shù)左右極限不相等．

②第二類(lèi)間斷點(diǎn)

a．無(wú)窮間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)函數(shù)極限為無(wú)窮大（無(wú)窮?。?/p>

b．振蕩間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)函數(shù)值在一個(gè)區(qū)間變化．

八、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性

1．連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)連續(xù)，則它們的和（差）、積及商（當(dāng)時(shí)）都在點(diǎn)連續(xù)．

2．反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

（1）反函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，則它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)．

（2）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

①定理1

設(shè)函數(shù)由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，．若，而函數(shù)在連續(xù)，則

②定理2

設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，．若函數(shù)在連續(xù)，且，而函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在也連續(xù)．

3．初等函數(shù)的連續(xù)性

（1）基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．

（2）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．

注：定義區(qū)間，就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間．

4．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）最大值、最小值定理

①定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值．

②最大值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)，如果有，使得對(duì)于任一都有

則稱(chēng)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值．

③最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)，如果有，使得對(duì)于任一都有

則稱(chēng)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值．

（2）零點(diǎn)定理

①零點(diǎn)

如果存在使，則即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．

②零點(diǎn)定理

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即），則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使．

（3）介值定理

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值及，則對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得