第七章　初等數(shù)學(xué)問題

一、多位數(shù)問題

多位數(shù)問題主要涉及一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)等多位數(shù)的構(gòu)造、求值以及判定位置等問題。在這類問題中，考查重點是考生的分析數(shù)字分析能力，需要考生能夠?qū)㈩}目條件迅速轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)字形式。多位數(shù)問題考查技巧涉及多位數(shù)構(gòu)造、數(shù)字拆分、數(shù)字結(jié)構(gòu)分析、直接代入驗證等多個技巧。

位值原理：

①若某數(shù)的個位、十位、百位……依次為a，b，c…則該數(shù)的值為a×10⁰＋b×10¹＋c×10²＋…

②若某數(shù)的個位、十分位、百分位……依次為a，b，c…則該數(shù)的值為a×10⁰＋b×10^－1＋c×10^－2＋…

1．多位數(shù)構(gòu)造

多位數(shù)構(gòu)造指題目給出某多位數(shù)的數(shù)位信息，構(gòu)造出具體的多位數(shù)。

【例1】由1，2，3，4，5這5個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，有多少個大于34152？（　　）

A．50　

B．54　

C．58　 

D．60

【答案】C

【解析】由題意可知，大于34152的五位數(shù)有以下幾種情況：①萬位數(shù)是4或5時分別有4×3×2×1＝24（個）；②萬位數(shù)是3，千位數(shù)是5時有3×2×1＝6（個）；③萬位數(shù)是3，千位數(shù)是4時有4個：34215，34251，34512，34521。則共有24＋24＋6＋4＝58（個）數(shù)。

【例2】編一本書的書頁，用了270個數(shù)字（重復(fù)的也算，如頁碼115用了2個1和1個5共3個數(shù)字），問這本書一共有多少頁？（　　）

A．117 

B．126 

C．127　

D．189

【答案】B

【解析】從第1頁到第9頁，用掉了9個數(shù)字；從第10頁到第99頁，用掉數(shù)字共計90×2＝180（個），還剩余的數(shù)字270－9－180＝81（個），將全部用于三位數(shù)頁碼的構(gòu)造。故能編三位數(shù)頁碼81÷3＝27（頁），即這本書一共有100＋27－1＝126（頁）。

2．?dāng)?shù)字拆分

數(shù)字拆分指因為數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)，需要對每位數(shù)上的數(shù)字單獨分析的方法。

【例3】一個自然數(shù)（0除外），如果它順著數(shù)和倒過來數(shù)都是一樣的，則稱這個數(shù)為“對稱數(shù)”。例如，2，101，1331是對稱數(shù)，但220不是對稱數(shù)。由數(shù)字0，1，2，3組成的不超過3位數(shù)的對稱數(shù)有（　  ）個。

A．9　 

B．12　

C．18　   

D．21

【答案】C

【解析】一位數(shù)有3種情況，分別為1，2，3（注意0除外）；兩位數(shù)有3種情況，分別為11，22，33；三位數(shù)要為對稱數(shù)，其百位數(shù)字不能為0，且應(yīng)與個位數(shù)字相同，只有3種選擇，而十位數(shù)字可以為任意情況，有4種選擇，因此符合要求的三位數(shù)有3×4×1＝12個。綜上所述，對稱數(shù)共有3＋3＋12＝18（個）。

3．?dāng)?shù)字結(jié)構(gòu)分析

數(shù)字結(jié)構(gòu)分析指通過對數(shù)值的每個位數(shù)或添加數(shù)字在某些位數(shù)后，結(jié)構(gòu)上發(fā)生的一些變化，通過對這些結(jié)構(gòu)變化上的分析，得出具體的數(shù)字。

【例4】有一個兩位數(shù)，如果把數(shù)碼1加在它的前面，那么可以得到一個三位數(shù)，如果把1加在它的后面，那么也可以得到一個三位數(shù)，而這兩個三位數(shù)相差414，求原來的兩位數(shù)？（　　）

A．35 

B．43　 

C．52　

D．57

【答案】D

【解析】設(shè)這個數(shù)十位為x，個位為y，則這個數(shù)可表示為10x＋y，將1加在這個數(shù)前形成的新數(shù)為a＝100＋10x＋y，將1加在其后形成的新數(shù)為b＝100x＋10x＋1，由兩數(shù)相減為414，可知b的個位“1”減去a的個位“y”結(jié)果應(yīng)為4，則y應(yīng)為7。因此D項正確。

4．直接代入驗證

直接代入驗證，指在題目所給信息不是那么明確的情況下，將每一個答案代入到題中所給信息，滿足題目信息的就是所要選的答案。在多位數(shù)分析中，這是一種比較有效的方法。

【例5】有兩個自然數(shù)，它們的和等于297，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和等于693。這兩個自然數(shù)的差等于多少？（　　）

A．33 

B．27　 

C．11　 

D．9

【答案】A

【解析】設(shè)這兩個數(shù)是A×M，B×M，M是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其中A，B，M均為整數(shù)，則A×M＋B×M＝（A＋B）×M＝279，M＋A×B×M＝（1＋A×B）×M＝693，得M是279的約數(shù)。有M＝1，3，9，11，27，33，99，297八種情況，分別代入兩個式子計算，得當(dāng)M＝33時，A，B＝4或5，即一個數(shù)是4×33＝132，一個數(shù)是5×33＝165，兩者之差為165－132＝33。

二、余數(shù)相關(guān)問題

1．基本余數(shù)問題

余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)＝商…余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）。

余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)。

核心公式：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）；被除數(shù)－余數(shù)＝除數(shù)×商，這也可以看作具有整除性質(zhì)，在余數(shù)計算中常有使用。

【例6】有一個整數(shù)，用它分別去除157、324和234，得到的三個余數(shù)之和是100，求這個整數(shù)。（　　）

A．44　

B．43　 

C．42　

D．41

【答案】D

【解析】設(shè)這個整數(shù)為x，商分別為a、b、c，則有x（a＋b＋c）＋100＝157＋324＋234，即x（a＋b＋c）＝615，即所求數(shù)應(yīng)能將615整除，只有41符合。

【例7】某校的學(xué)生總數(shù)是一個三位數(shù)，平均每個班35人，統(tǒng)計員提供的學(xué)生總數(shù)比實際總?cè)藬?shù)少270人，原來，他在記錄時粗心地將這個三位數(shù)的百位與十位的數(shù)字對調(diào)了，該學(xué)校學(xué)生總數(shù)最多是多少人？（　　）

A．748

B．630　 

C．525 

D．360

【答案】B

【解析】由“平均每個班35人”可知，該校學(xué)生總數(shù)能被35的質(zhì)因數(shù)5、7分別整除，只有630符合。

2．同余問題

同余指兩個整數(shù)，它們除以同一個整數(shù)所得的余數(shù)相同。

①余同取余：如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，余數(shù)相同，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)共同的余數(shù)。

②和同加和：如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的和相等，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)與余數(shù)的和。

③差同減差：如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的差相等，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)減去除數(shù)與余數(shù)的差。

【例8】一個整數(shù)除以5余3，用所得的商除以6余2，再用所得的商除以7余1，用這個整數(shù)除以35，則余數(shù)為（　  ）。

A．8　 

B．19　 

C．24

D．34

【答案】A

【解析】由題意可知，題中除數(shù)與余數(shù)相加均為8，由同余問題的口訣“差同減差，和同加和，余同取余，公倍數(shù)作周期”可知，這個數(shù)為210n＋8。又因為210能被35整除，則這個數(shù)除以35的余數(shù)為8。因此A項正確。

【例9】有一個兩位數(shù)，除以3的余數(shù)為2，除以4的余數(shù)是1，則這個數(shù)除以12的余數(shù)是（　　）。

A．0　 

B．5　 

C．1 

D．6

【答案】B

【解析】由“和同加和，公倍數(shù)做周期”可知，滿足條件的整數(shù)為5＋12n（n≥1），故該整數(shù)除以12的余數(shù)為5。

【例10】三個運動員跨臺階，臺階總數(shù)在100～150級之間，第一位運動員每次跨3級臺階，最后一步還剩2級臺階；第二位運動員每次跨4級，最后一步還剩3級臺階；第三位運動員每次跨5級臺階，最后一步還剩4級臺階。問這些臺階總共有（　　）級？

A．119

B．121　

C．129　

D．131

【答案】A

【解析】3、4、5的最小公倍數(shù)為60，則總級數(shù)為60n－1，則有100≤60n－1≤150，解得n＝2，即臺階總共有119級。

三、平均數(shù)

平均數(shù)相關(guān)公式主要有：

（1）算數(shù)平均數(shù)：x＝（x₁＋x₂＋x₃＋…＋x_n）÷n

（2）調(diào)和平均數(shù)：＝