第3章　靜態電磁場及其邊值問題的解

3.1　考點歸納

一、靜電場分析

1．靜電場的物理特性

（1）場源：電荷為靜電荷的源，有散無旋場，保守場，可定義勢能。

（2）電力線：非環，始于正電荷或帶正電荷的導體或無窮遠，終于負電荷或帶負電荷的導體或無窮遠。

（3）特點：靜電場與磁場無關。

2．靜電場的基本方程和邊界條件

（1）基本方程的積分形式

（2）基本方程的微分形式

（3）介質的本構（物質）方程

（4）邊界條件為

①兩理想介質邊界條件

②導體表面的邊界條件

3．電位

（1）物理意義

任意一點A的電位等于把單位正電荷從該點移到電位參考點P（零電位點）電場力所做的功，即外力克服電場力把單位正電荷從電位參考點P（零電位點）移到該點所做的功。數值上為單位正電荷所具有的勢能。

（2）參考點的選擇

①電荷在有限區域，無窮遠點為參考點；

②電荷分布到無窮遠，在有限區域任選一點作參考點；

③同一問題，參考點應該統一；

④參考點的選擇不會影響電場，電場只與電位差有關，絕對電位無意義，只有電位差才有意義。

（3）電位方程－泊松方程

電位方程滿足以下要求：

①泊松方程

②在無源區，，拉普拉斯方程為。

（4）電位系數

在由N個導體組成的系統中，由于電位與各導體所帶電荷量之間成線性關系，故各導體的電位為

式中，稱為電位系數。下標相同的稱為自電位系數，下標不同的稱為互電位系數。

4．靜電場電位函數的邊值條件

電場強度，稱為靜電場的電位函數。

邊界條件

5．導體系統的電容

（1）電容的物理意義：電容是儲藏電場能量的度量。

（2）電容的分類（導體數目）

①單導體：，凈電荷與導體電位的比（無窮遠為電位參考點）。

②雙導體：其電容計算步驟如下：

a．根據導體的幾何形狀，選取合適的坐標系；

b．假定兩導體上分別帶電荷＋q和－q；

c．計算兩導體間的電場強度E；

d．由，求出兩導體間的電位差；

e．求比值，即得出所求電容。

③多導體：相當于電路中的多個電容器的網絡。

是導體i與地之間的部分電容，稱為導體i的自有部分電容；

是導體i與導體j之間的部分電容稱為導體i與導體j之間互有部分電容。

（3）電容系數

若已知各導體的電位，則各導體的電量可表示為

式中，稱為電容系數或感應系數。下標相同的稱為自電容系數或自感應系數，下標不同的稱為互電容系數或互感應系數。

6．電場的能量以及電場力

（1）能量及能量密度

①n個帶電導體系統的電場能量

②連續分布電荷的電場能量

③電場能量密度

該式表明電場能量儲藏在有場強的空間。

（2）電場力

①導體位于靜電場中，自由電荷分布在導體的表面，受到電場力的作用。該力的方向為向垂直向外，將力傳給導體。

②單個導體受到的電場力的計算。導體表面電荷元受到電場力

式中，只能為系統中其它電荷的電場，不能包括電荷元本身產生的電場。

③電場力也可用虛位移法由能量的變化來計算導體和介質所受靜電力，即

式中，表示廣義坐標，表示虛位移。

二、導電媒質中的恒定電場分析

1．基本方程

積分形式

微分形式

（1）基本方程的微分形式物理過程

導體放入靜電場中，電荷將向導體表面運動，遇到導體的表面停止。若導體形成一個環路，電荷就可能沿環路方向一直流動，形成電流。

（2）在導電媒質外部電介質里的電場

恒定電場的源是（運動）電荷，恒定分布的運動電荷與靜電荷無區別，故該區域恒定電場滿足的基本方程

（3）在導電媒質里的電場

①電流密度滿足；

②在恒定電場，電荷分布不隨時間變化，根據電荷守恒定律有。

（4）由于恒定電場由運動電荷產生，且運動電荷的分布與時間無關，故恒定電場的源是散度源，散度源的電場是無旋電場（沒有旋度源）故有

（5）在導電媒質里的電場總結

2．邊界條件

（1）邊界條件

（2）電位函數的邊界條件

（3）若電介質不是理想電介質，有漏電，則有

3．邊界條件導電媒質內恒定電流的電場與靜電場的比擬

　 導電媒質內恒定電場　  靜電場

　

電容　 電導

　

若電極的電導率比周圍媒質的電導率大的多，則電極表面近似為等位面，若電極的形狀也相同，則兩電極之間的電導與電容存在下列關系：

表3-1　恒定電場與靜電場的對偶量

三、恒定磁場分析

恒定磁場是有旋無源場，是一種非保守場。磁力線是閉合曲線。

1．恒定磁場的基本方程和邊界條件

（1）基本方程

式中，P_m為單位體積中磁偶極矩的統計平均值。

（2）邊界條件

（3）兩種不同磁介質的分界面上，磁化電流面密度

式中，n由介質1指向介質2。

2．恒定磁場磁位函數和邊界條件

（1）矢量磁位

①定義

②微分方程

③表達式

體分布電流

面分布電流

線分布電流

④邊界條件

對于平行平面磁場或軸對稱磁場，則有

⑤典型電流分布的矢量磁位

無限長直線電流的矢量磁位

磁偶極子的矢量磁位

⑥對磁通的計算有兩種方法

（2）標量磁位

①定義

②微分方程

式中，為束縛磁荷體密度。

③表達式

體分布磁荷

面分布磁荷

式中，σ_m＝n·M為束縛磁荷面密度。

④邊界條件

⑤磁偶極子的標量磁位

當區域中存在電流時，磁場是非保守場，標量磁位不是一個單值函數。

3．電感

（1）自感

式中，L為回路C的自感系數，簡稱自感,單位是H（亨利）。

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質有關，與電流無關。

（2）互感

式中，M₂₁稱為回路C1對回路C2的互感系數，簡稱互感。

同理，回路C2對回路C1的互感為

互感的特點

①互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質有關，與電流無關；

②滿足互易關系，即M₁₂＝M₂₁；

③與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數M為正值；反之，則互感系數M為負值。

諾伊曼公式

4．恒定磁場的能量和磁場力

（1）N個電流回路系統的磁能

（2）連續分布電流回路系統的磁能

由上式可得用場矢量表示的磁能

式中，被積函數定義為磁能密度

（3）利用虛位移法計算恒定磁場的磁場力

（4）電感器儲能

四、靜態場的邊值問題及解的惟一性定理

1．邊值問題的類型

第一類邊值問題（狄里赫利問題）：已知位函數在場域邊界上的值，即。

第二類邊值問題（紐曼問題）：已知位函數在場域邊界上的法向導數，即。

第三類邊值問題（混合邊值問題）：已知在部分場域邊界上的位函數值和另一部分場域邊界上的位函數法向導數，即和。

2．惟一性定理

靜電場的唯一性定理是指在給定的邊界條件下，電位的泊松方程或拉普拉斯方程具有惟一解。即在場域V的邊界面S上給定位函數或的值，則位函數的泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內有唯一的解。

五、靜態場的求解方法

1．鏡像法

（1）基本思想

在所研究的場域以外的某些適當位置上，用一些虛設的電荷（稱為鏡像電荷）等效代替導體表面的感應電荷或介質分界面上的極化電荷。將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。

（2）根據惟一性定理，鏡像電荷的確定應遵循以下兩條原則：

①所有鏡像電荷必須位于所求的場域以外的空間中；

②鏡像電荷的個數、位置及電荷量的大小以滿足場域邊界上的邊界條件來確定。

若兩導體平面不是相互垂直，而是相交成角，只要，其中n為整數，可用鏡像法求解，其鏡像電荷數為有限的（2n－1）個。

2．分離變量法

基本思想

（1）將偏微分方程中含有n個自變量的待求函數表示成n個各自只含一個變量的函數的乘積，把偏微分方程分解成n個常微分方程。

（2）求出各常微分方程的通解。

（3）把通解線性疊加起來，得到級數形式解。

（4）利用給定的邊界條件確定待定常數。

3．有限差分法

基本思想：將場域劃分成網格，把求解場域內連續的場分布用求解網格節點上的離散數值解來代替，即用網格節點的差分方程近似替代域內的偏微分方程來求解。