2.2　典型題（含考研真題）詳解

一、選擇題

1．在自由空間中，一個孤立的點電荷，其產生的等電位面是（　  ）。[南京理工大學2011研]

A．平面

B．球面

C．柱面

【答案】B

【解析】點電荷的等電位面是一個球面。

2．對于各向同性的線性介質，介質中電位移矢量與電場強度的關系是（　  ）。

A．

B．

C．

【答案】A

二、填空題

1．電荷的定向運動形成電流，當電荷密度滿足時，電流密度應滿足______，此時電流線的形狀應為______。[電子科技大學2008、2012研]

【答案】；閉合曲線

【解析】電流連續性定理。

2．在靜電場中導體表面的邊界條件為______和______；在恒定電場（恒定電流的電場）中的邊界條件為______和______。[北京郵電大學2010研]

【答案】；；；

【解析】由電磁場一般情況下的邊界條件

可得解。

3．己知磁導率為的均勻介質中存在恒定（穩恒）磁場分布，則介質中的電流體密度可以表示成______，磁化電流體密度可以表示成______。[電子科技大學2009、2010研]

【答案】；

【解析】由恒定（穩恒）磁場的旋度公式，易得到；由安培環路定理的微分形式，以及，得到，將第一問答案代入，即可得到，即為所求。

4．空氣（介電常數）與電介質（介電常數）的分界面是的平面。在分界面上，已知空氣中的電場強度，則電介質中的電場強度為______。[電子科技大學2012研]

【答案】

【解析】根據邊界條件可知，電場強度在切向上是連續的，電位移在法向上是連續的。

5．當計算靜態磁場磁通量密度時，畢奧-薩伐爾定律的數學表示式為______，式中各參量的含義是______。[東南大學2003研]

【答案】；為電流元矢量，它在矢量R對應的位置上產生的磁感應強度為，為源點到場點的單位矢量，R為源點到場點的距離，為真空的磁導率。

6．如圖2-1所示，由兩平行的半無限長直線和半圓弧的線電流I在點P所產生的磁場強度H＝______。[電子科技大學2010研]

圖2-1

【答案】

【解析】本題中載流導線可看作為由兩個半無限長直導線和一個半圓弧導線組成，由畢奧-薩法爾定律，各點在點的磁場方向均垂直紙面向外，可以用疊加定理求解。

由直導線的磁場公式，得到半無限長直導線在點的磁場為；通過電流為的細圓環軸線上的磁場為，令，可得圓心出的磁場為，半圓弧則為其一半；所以整段導線的磁場可求得。

三、判斷題

1．在均勻極化的電介質中，極化電荷只能分布在電介質表面。[電子科技大學2009研]

【答案】對

【解析】在電介質中，無論是位移極化還是取向極化，極化電荷在電介質內部都相互抵銷，存在的極化電荷只分布在電介質表面。

2．根據高斯定理，若閉合曲面S內沒有電荷，則閉合曲面S上任一點的場強一定為零。 [電子科技大學2009研]

【答案】錯

【解析】高斯定理，時，只能得到，不能得到場強的關系。

3．只要閉合線圈在磁場中做切割磁力線的運動，線圈中一定會形成感生電流。[電子科技大學2009、2012研]

【答案】錯

【解析】法拉第電磁感應定律的積分形式的一般形式為

即產生感應電動勢的方式有兩種：①磁場隨時間變化；②導線切割磁力線。當兩種作用相互抵消時，不會產生感應電動勢和感應電流。

4．為了簡化空間電位分布的表達式，總可以將電位參考點選擇在無窮遠處。[電子科技大學2012研]

【答案】錯

【解析】電位的參考點一般選擇在無窮遠處，具體情況不同，選擇的參考點有所不同。

5．將一帶正電的點電荷移近一個不接地的導體球時，若以無窮遠處為電位參考點，則導體球的電位將降低。

【答案】錯

6．電位高的地方，電場強度一定大。

【答案】錯

四、簡答題

1．在兩種媒質的交界面處，試寫出電磁場邊界條件的一般形式？它們是由麥克斯韋方程的哪種形式推導出來的？理想導體表面電磁場的邊界條件是什么？[國防科技大學2004研]

答：（1）電磁場邊界條件的一般形式

上述各式均是由麥克斯韋方程組的積分形式推導出來的。

（2）理想導體表面電磁場的邊界條件

2．寫出麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式，由麥克斯韋方程組的微分形式導出電荷守恒定律

。[南京理工大學2009研]

答：（1）積分形式描述一個大范圍內，場與場源相互之間的關系，具體為

其中，表明磁場強度沿任何閉合曲線的環量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意曲面的傳導電流與位移電流之和。

表明電場強度沿任何閉合曲線的環量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意曲面的磁通量變化率的負值。

表明穿過任意閉合曲面的磁感應強度的通量恒等于0。

表明穿過任意閉合曲面的電位移的通量等于該閉合面所包圍的自由電荷的代數和。

（2）麥克斯韋方程組的微分形式描述空間任意一點場的變化規律，具體如下

其中，表明時變磁場不僅由傳導電流產生，也由位移電流產生，揭示時變電場產生時變磁場。

表明時變磁場產生時變電場。

表明磁通永遠是連續的，磁場是無散度場。

表明空間任意點的若有電荷存在，電位移線在該點發出或匯聚。

（3）將麥克斯韋方程組微分形式的第一個方程兩邊取散度，得

由于旋度的散度恒等于0，即得

將代入上式，得

3．靜電場的電力線是不閉合的，為什么？在什么情況下電力線可以構成閉合回路，它的激勵源是什么? [電子科技大學2012年研]

答：靜電場的電力線是由正電荷發出、終止在負電荷上的，所以電力線的起點和終點不可能重合，電力線不能閉合。在時變場情況下，即使不存在電荷，變化的磁場也可以激發電場，此時電力線是閉合的，它的激勵源是變化的磁場。

4．真空中兩根半徑為a的無限長平行導體圓柱上帶有靜電荷，單位長度電量為和，問空間一點處的電場強度是否可以用單根帶電導體圓柱的電場公式疊加？即，其中，、、、

分別是兩個圓柱軸線到場點的距離和單位矢量，試簡述原因。[北京理工大學2003研]

答：帶異號電荷的兩導線平行放置后，由于異號電荷的吸引作用，每根導線上的電荷在橫截面不再是均勻分布，靠近的一側分布密度大。因此，當場點與任一導線軸線的距離與導線半徑a可比擬時，總的電場強度不能用單根帶電圓柱的電場公式相疊加表示，當場點與任一導線軸的距離遠大于導線半徑a時，可以將單根導線上的分布電荷視為分布在軸線上，此時，總的電場強度可以用單根圓柱的電場公式相疊加表示。

五、綜合分析題

1．一半徑等于3mm的導體球，處于ε_r＝2.5的媒質中，已知距離球心 2m處的電場強度為1mV/m，求導體球上的電荷。[南京理工大學2010研]

解：設導體球帶電量為Q，由于導體球半徑相對于場強輻射半徑很小，可把導體球近似看做電量集中于球心的點電荷。則距導體球距離為r的電場強度為

于是。

2．真空中有一內外半徑分別為a,b的導體球殼,導體球殼內距球心為d（d<a）處有一點電荷q,當

（1）導體球殼電位為零；

（2）導體球殼電位為U；

（3）導體球殼上的總電量為Q；

分別求導本球殼內、外空間區域中的電位分布。[西北工業大學2003研]

解：

3．矢量是否可能是靜電場的解?如果是，則求與之對應的源和電位。[南京理工大學2010研]

解：靜電場是無旋場，即。

對于本題中，因此該電場可以作為靜電場的解。

該靜電場的源為

由，得到

同理

由得到，

由得到

由于在靜電場中，的值與積分路徑無關，比較三個式子可得到。

4．試用麥克斯韋方程組導出電流連續性方程。[哈爾濱工業大學2001研]

解：由麥克斯韋方程，兩邊取散度有：

又由矢量恒等式知，故：

又由，得。

5．如圖2-2所示，設半徑為a的圓形平板電容器，板間距離為d，并填充電導率為的均勻導電介質()，兩極板間外加直流電壓U，忽略邊緣效應。

（1）計算兩極板間電場、磁場以及能流密度矢量（坡印亭矢量）；

（2）計算電容器內儲存的能量；

（3）試證明：其中消耗的功率剛好是由電容器外側進入的功率。[東南大學2003研]

圖2-2

解：（1）利用公式可求得兩極板間的電場、磁場及能流密度矢量分別為

；；

（2）存儲的能量包括電場能量與磁場能量兩部分，因此有

（3）熱損耗功率為

由電容器外側進入的功率為

則兩者相等，得證。

6．在無源自由空間中，如果已知時變電磁場的矢量磁位，證明其電場強度為：，其中。[南京理工大學2008研]

證明：在無源空間中，把麥克斯韋方程寫成復數形式，有，即

代入，得

由矢量等式，得

寫成復數形式，可得

代入，得。

7．如圖2-3所示，空氣中有一段均勻帶靜電的圓弧，位于xOy平面上，圓弧單位長度上的電量為，圓弧半徑為a，圓心位于O點，弧所對的圓心角為。求z軸上任一點的電場強度的各分量、及。[華中科技大學2002研]

圖2-3

解：設z軸上任一點坐標為（0，0，z），設電場。

由點電荷電場公式可得

 

所以電場強度的各分量

，

8．沿z軸的長直電流I₁旁邊有一正方形線框，邊長為2a，載有電流I₂，方向如圖2-4所示。線框中心到z軸的距離為r₀，線框可繞平行于z軸的軸線O₁O₂轉動，當線框平面與x軸的夾角為α時，試求：

（1）長直導線與線框間的互感M；

（2）線框所受的轉矩。[西安交通大學2006研]

圖2-4

解：（1）根據安培環路定律，可以得出直電流產生的磁場為

線框沿著垂直于該磁場方向的投影區域的橫坐標為

，

因此，通過線框的磁通量

所以有

（2）線框上下兩邊不受力，左右兩邊受力。

左邊受力大小為：

方向：垂直于磁場和電流向內。

右邊受力大小為：

方向：垂直于磁場和電流向外。

因此線框受到的力矩大小為：

其中是力的方向與上下兩邊的夾角。

通過正弦定理，可以求得：

代入計算，得到轉矩大小為：（方向向下）

9．一半徑為a的導體球上帶有電荷Q，在其外部有一厚度為d，介電常數為的介質層（如圖2-5），試求：（1）導體球內_內，介質中_介，及介質外電場強度_外；（2）電介質與空氣分界面上束縛面電荷密度；（3）球的電位與電容。[南京航空航天大學2008研]

圖2-5

解：（1）球內電場強度，電位移矢量，介質中電場強度，介質外電場強度

。

（2）分界面上束縛面電荷密度：E_介＝

（3）球電位為：

球電容為：

10．兩個無限長的和（）的同軸圓柱表面分別帶有電荷密度和（1）計算各處的電場；（2）要使處，則和應具有什么關系？[中科院2003研]

解：（1）用高斯定理，可知：

時，；

時，；

時，。

（2）要使處，則和的關系為。

11．利用麥克斯韋方程組的得數形式（又稱頻域形式）

（1）討論動態矢量位和動態標量位的定義和洛侖茲規范；

（2）推導動態矢量位和動態標量位的非齊次亥姆霍茲方程。提示：。

解：（1）麥克斯韋方程組的復數形式為

由，定義動態矢量位為。

代入，定義動態標量位為。

將和分別代入并整理，得

利用矢量恒等式，得

選洛侖茲規范為。

（2）利用洛侖茲規范，簡化為

再將分別代入，并整理，得

利用洛倉茲規范，上式簡化為

。

12．已知半徑為a、介電常數為ε的介質球帶電荷為q，球外為空氣。分別在下列情況下求空間各點的電場和介質中的極化電荷分布:

（1）電荷q均勻分布在球體內;

（2）電荷q集中在球心;

（3）電荷q均勻分布在球面上。

解:（1）電荷q均勻分布在球體內時，根據高斯定理，可得電場分布為

介質球內的極化電荷體密度為

　 ＝－

　  ＝－

r＝a的球面上，極化電荷面密度為

（2）電荷q集中在球心時，根據高斯定理，可得電場分布為

介質球內r≠0處的極化電荷體密度為

  ＝

r＝0是電場E₁的奇異點，該處應有一極化點電荷。設此極化點電荷為q_P，根據高斯定理，有

取S為以介質球心為中心、r（r<a）為半徑的球面，則得到

由此求得

r＝a的球面上，極化電荷面密度為

（3）電荷q均勻分布在球面上時，電場分布為

極化電荷分布為

13．圓柱形電容器外導體的內半徑為b，內導體半徑為a。當外加電壓U固定時，在b一定的條件下，求使電容器中的最大電場強度取極小值E_min的內導體半徑a的值和這個E_min的值。

解：設內導體單位長度帶電荷為ρ_l，利用高斯定理求得圓柱形電容器中的電場強度為

由內外導體間的電壓

得到。

由此得到圓柱形電容器中的電場強度與電壓的關系式，則有

在圓柱形電容器中，r＝a處的電場強度最大，即

令E（a）對a的導數為零，即

由此得到

故有