1.2　典型題（含考研真題）詳解

1．設為一整系數多項式，不能整除，證明：無整數根．[北京大學2008研]

證明：記，假設存在整數，使得或．則必存在，使得．

因為是整系數多項式，因而有．

由此推出，即能整除，矛盾！

2．求多項式f(x)＝x⁵－5x⁴＋7x³－2x²＋4x－8在有理數域、實數域和復數域上的標準分解式．[北京交通大學2007研]

解：由余數定理可知f(x)的有理根只可能為±1，±2，±4，±8，通過試根得x＝2是三重根，因此用綜合除法可得f(x)＝(x－2)³(x²＋x＋1)， 于是f(x)在有理數域和實數域上的標準分解式都是f(x)＝(x－2)³(x²＋x＋1)，在復數域上的標準分解式為

f(x)＝(x－2)^3．

3．證明：如果（f(x），g(x))＝1，那么(f(x)g(x)；f(x)＋g(x))＝1．[北京交通大學2007研]

證明：設(f(x)g(x)；f(x)＋g(x))＝d(x)≠1，則存在不可約多項式p(x)使得p(x)|d(x)．于是有p(x)|f(x)g(x)，因而p(x)|f(x)或p(x)|g(x)．此外，還有

p(x)|f(x)＋g(x)，

所以

p(x)|f(x)且p(x)|g(x)．故p(x)|(f(x)；g(x))，

矛盾產生．

4．證明：數域F上的一個n次多項式能被它的導數整除的充要條件是，（其中a，b是F中的數）．[湖南大學2005研]

證明：充分性．設，則，顯然有．

必要性．若．則，從而的次數＝n-1．設的標準分解式為

，則，所以，

的次數

的次數，從而，且為一次因式．

5．設與是中兩個多項式，證明：與互素當且僅當與互素（其中n為正整數）．[湖南大學2006研]

證明：與互素，那么，存在中兩個多項式，，使得

，從而．

反過來，設與互素．如果與不互素，那么，存在中兩個多項式，，使得是大于0次的多項式，是大于0次的多項式，矛盾．

6．設多項式，，，

．證明：存在和，使得

，且，k＝1，2．[湖南大學2007研]

證明：存在，，使得

，

兩邊同時乘，有，　  （*）

若，由帶余除法，存在，，使得

　 

代入（*）有，，令，則，因為，

，則，結合

，有．

7．設，．求，使得

．[中山大學2008研]

解：由帶余除法可得，．再由輾轉相除法可得

，

故．

于是令

，，則

．

8．設，其中．令

．

證明：不可約當且僅當不可約．[中山大學2008研]

證明：反證法．因為，若不是不可約的，則存在，滿足：

，，，且．

記，，則

，

其中，．因此不是不可約多項式．

同理可知若不是不可約多項式，則也不是不可約多項式．

綜上所述，是不可約多項式的充要條件是是不可約多項式．

9．如果，證明：f（x）有n重根，其中

證明：由，知f＇（x）是f（x）與f＇（x）的最大公因式，注意到

，

則

是一次多項式，設，注意到f（x）與φ（x）有相同的不可約因式

故，于是f（x）有n重根．

10．求多項式xⁿ-1在復數域和實數域上的標準分解式．

解：（1）在復數范圍內xⁿ-1有n個復根

故

（2）在實數域范圍內．

又

當n為奇數時，xⁿ－1恰有一個實根ω₀＝1，因而

當n為偶數時，xⁿ－1有兩個實根因而

11．設a，b是兩個固定整數，Z為整數環．證明：

（1）是數環；

（2）有正整數d使

證明：（1）R對加、減法封閉顯然．又因為

故R對乘法也封閉，從而R作成數環．

（2）設d＝（a，b），則存在整數ｓ，t使故

另一方面任取則因，，故．從而

反之，若則易知

12．設f（x）與g（x）為P[x]上兩個次數大于0的多項式．

證明：若（f（x），g（x））＝1，則，使

其中并且滿足這樣條件的是唯一的．

證明：因為（f（x），g（x））＝1，故存在s（x），t（x）∈P[x]，使

s（x）f（x）＋t（x）g（x）＝1．　  （1）

由于f（x）、g（x）的次數均大于0，故

代入式（1）得

由此等式知

從而有

　  （2）

設還有

　 （3）

其中

式（2）－式（3）得

于是

結合（g（x），f（x））＝1知

但 

所以，從而

同理　 

13．設其中，m，n，，p為非負整數，則g（x）丨f（x）的充要條件是m，n，p具有相同的奇偶性．

證明：設的兩根為，則

又因為g（x）丨f（x），所以g（x）的根都是f（x）的根．所以

兩式相加得

即　

所以　 

因此，m為奇數n，p為奇數；m為偶數n，p為偶數．

：當m，n，p同為奇數，或同為偶數時，

 

由g（ω₁）＝0知，ω₁是f（x）的根．同理ω₂是f（x）的根．

，所以g（x）丨f（x）．

14．設P是一個數集，有一個非零數，且P關于減法與除法（除數不為0）封閉，證明P是一個數域．

證明：

有

即證加法封閉．

，若x，y中有一為0，則．若xy≠0，則

即證乘法封閉．

綜上可知，P關于加法、減法、乘法、除法都封閉，所以P是一個數域．

15．設行為正整數，都是多項式，并且

證明：

證明：設是不為1的所有n＋1次單位根，則

這里，于是

　  （1-5）

是以為未知量的齊次線性方程組．由（1-5）的系數行列式

則（1-5）只有零解，即，因而，故