第2章　行列式

2.1　考點歸納

一、排列

1．基本定義

（1）由1，2，…，n組成的一個有序數組稱為一個n級排列．

（2）在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序．一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數．

（3）逆序數為偶數的排列稱為偶排列；逆序數為奇數的排列稱為奇排列．

2．基本定理

（1）對換改變排列的奇偶性．

在全部n級排列中，奇、偶排列的個數相等，各有n！／2個．

（2）任意一個n級排列與排列12…n都可以經過一系列對換互變，并且所作對換的個數與這個排列有相同的奇偶性．

二、n階行列式

1．定義

（1）n階行列式

等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數和，即可寫成

（2）主對角線以外的元素全為零的行列式稱為對角形行列式，對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積．

2．性質

（1）行列互換，行列式不變．

（2）n階行列式

令k＝0，也就有，如果行列式中一行為零，那么行列式為零．

（3）

如果某一行是兩組數的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的對應的行一樣．

（4）如果行列式中有兩行相同，也就是兩行的對應元素都相等，那么行列式為零．

（5）如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零．

（6）把一行的倍數加到另一行，行列式不變．

（7）對換行列式中兩行的位置，行列式反號．

三、行列式按行（列）展開

1．余子式

在行列式

中劃去元素a_ij所在的第i行與第j列，剩下的（n－1）²個元素按原來的排法構成一個n－1階的行列式

稱為元素a_ij余子式，記為M_ij．

2．代數余子式

A_ij＝（－1）^i＋jM_ij稱為元素a_ij的代數余子式．在行列式中，一行的元素與另一行相應元素的代數余子式的乘積之和為零．

3．范德蒙德行列式

行列式

稱為n階的范德蒙德（Vandermonde）行列式，等于這n個數的所有可能的差a_i－a_j（1≤j≤i≤n）的乘積，也就是．由此可知，范德蒙德行列式為零的充要條件是a₁，…，a_n這n個數中至少有兩個相等．

四、行列式的計算

1．矩陣的定義

由sn個數排成的s行（橫的）n列（縱的）的表

稱為一個s×n矩陣．

n×n矩陣也稱n階方陣．一個n階方陣

定義一個n階行列式

稱為矩陣A的行列式，記作｜A｜．

2．數域P上的初等行（列）變換

（1）以數域P中一個非零的數乘矩陣的某一行（列）；

（2）把矩陣的某一行（列）的c倍加到另一行（列），其中c是P中任意一個數；

（3）互換矩陣中兩行（列）的位置．

五、克拉默法則

線性方程組

　  （1）

其系數矩陣為

當b₁，b₂，…，bn不全為0時，（1）為非齊次性方程組．若系數矩陣A非奇異（行列式｜A｜≠0）時，方程組有唯一的解；系數矩陣A奇異（行列式｜A｜＝0）時，方程組有無數個解或無解．

當b₁＝b₂＝…＝b_n＝0時，（1）為齊次性方程組．若系數矩陣A非奇異時，則方程組有唯一的解，其所有分量均為0，通常稱這個解為平凡解；若系數矩陣奇異，則（1）有非零解．特別地，系數矩陣行列式時，線性方程組（1）有解，并且解是惟一的，解可以通過系數表為

其中d_j是把矩陣A中第j換成方程組的常數項b₁，b₂，…，b_n，所成的矩陣的行列式，即

以上定理被稱為克拉默法則．

六、拉普拉斯定理

1．余子式和代數余子式的推廣

（1）余子式

在一個n階行列式D中任意選定k行k列（k≤n），位于這些行和列的交點上的k²個元素按照原來的次序組成一個k階行列式M，稱為行列式D的一個k階子式．當k＜n時，在D中劃去這k行k列后余下的元索按照原來的次序組成的n－k階行列式M'稱為k階子式M的余子式．

M也是M'的余子式，所以M和M'可以稱為D的一對互余的子式．

（2）代數余子式

設D的k階子式M在D中所在的行、列指標分別是i₁，i₂，…，i_k；j₁，j₂，…，j_k，則稱

M'

為M的代數余子式．

（3）引理

行列式D的任一個子式M與它的代數余子式A的乘積中的每一項都是行列式D的展開式中的一項，而且符號也一致．

2．拉普拉斯定理

在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n－1）行，由這k行元素所組成的一切k階子式與它們的代數余子式的乘積的和等于行列式D．

3．行列式的乘積

兩個n階行列式

和

的乘積等于一個n階行列式

其中c_ij是D₁中的第i行元素分別與D₂的第j列的對應元素乘積之和．