第1章　多項式

1.1　考點(diǎn)歸納

一、一元多項式

1．?dāng)?shù)環(huán)與數(shù)域

（1）數(shù)環(huán)

設(shè)S是由一些復(fù)數(shù)組成的一個非空集合，如果對任何a，b∈S，總有a＋b，a－b，a·b∈S，則稱S是一個數(shù)環(huán)．

整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R，復(fù)數(shù)集C都是數(shù)環(huán)．

（2）數(shù)域

設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括0與1，如果P中任意兩個數(shù)（這兩個數(shù)也可以相同）的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是P中的數(shù)，那么P就稱為一個數(shù)域．

有理數(shù)集Q，實數(shù)集R，復(fù)數(shù)集C是最重要的三個數(shù)域．

2．一元多項式

設(shè)x是一個符號（或稱文字），n是一非負(fù)整數(shù)，形式表達(dá)式…，其中a₀，a₁，…，a_n全屬于數(shù)域P，稱為系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式，或者簡稱為數(shù)域P上的一元多項式．n稱為多項式的系數(shù)，f（x）的次數(shù)記為．

3．一元多項式環(huán)

所有系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式的全體，稱為數(shù)域P上的一元多項式環(huán)，記為P[x]，P稱為P[x]的系數(shù)域．

二、整除的概念

1．帶余除法定義

對于P[x]中任意兩個多項式f（x）與g（x），其中g(shù)（x）≠0，一定有P[x]中的多項式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且這樣的q（x），r（x）是惟一決定的．

帶余除法中所得的q（x）通常稱為g（x）除f（x）的商，r（x）稱為g（x）除f（x）的余式．

2．整除定義

如果數(shù)域P上的多項式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就稱數(shù)域P上的多項式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）則用“g（x）f（x）”表示．

當(dāng)g（x）丨f（x）時，g（x）就稱為f（x）的因式，f（x）稱為g（x）的倍式．

3．整除性的判別

對于數(shù)域P上的任意兩個多項式f（x），g（x），其中g(shù)（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要條件是g（x）除f（x）的余式為零．

注意：任一個多項式f（x）一定整除它自身；任一個多項式f（x）都整除零多項式；零次多項式，也就是非零常數(shù)，能整除任一個多項式．

4．整除性的常用性質(zhì)

（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c為非零常數(shù)；

（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h(huán)（x），那么f（x）丨h(huán)（x）（整除的傳遞性）；

（3）如果f（x）丨g_i（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u₁（x）g_l（x）＋u₂（x）g₂（x）＋…＋u_r（x）g_r（x）），其中u_i（x）是常數(shù)域P上任意的多項式．

三、最大公因式

1．公因式定義

如果多項式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就稱為f（x）與g（x）的一個公因式．

2．最大公因式

（1）定義

設(shè)f（x），g（x）是P[x]中兩個多項式，若P[x]中多項式d（x）是f（x），g（x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，則稱d（x）稱為f（x），g（x）的一個最大公因式．兩個多項式的最大公因式在可以相差一個非零常數(shù)倍的意義下是惟一確定的．

（2）引理

如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．

（2）定理

對于P[x]中任意兩個多項式f（x），g（x），在P[x]中存在一個最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一個組合，即有P[x]中多項式u（x），υ（x）使

d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）

可用輾轉(zhuǎn)相除法來求最大公因式．

3．多項式互素

（1）定義

P[x]中兩個多項式f（x），g（x）滿足（f（x），g（x））＝1，則稱f（x）和g（x）互素（也稱互質(zhì)）．

（2）性質(zhì)

①P[x]中兩個多項式f（x），g（x）互素的充分必要條件是有P[x]中的多項式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；

②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h(huán)（x）；

③如果f₁（x）丨g（x），f₂（x）丨g（x），且（f₁（x），f₂（x））＝1，那么f₁（x）f₂（x）丨g（x）；

④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，則（f（x）g（x），h（x））＝1．

四、因式分解定理

1．不可約多項式

（1）定義

數(shù)域P上次數(shù)≥l的多項式p（x）如果不能表成該數(shù)域上的兩個次數(shù)比p（x）的次數(shù)低的多項式的乘積，則稱p（x）為域P上的不可約多項式．按照定義，一次多項式總是不可約多項式．

（2）性質(zhì)

①如果p（x）是不可約多項式，那么對于任意的兩個多項式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．

②如果不可約多項式p（x）整除一些多項式f₁（x），f₂（x），…，f_s（x）的乘積f₁（x），f₂（x），…，f_s（x），那么p（x）一定整除這些多項式之中的一個．

2．因式分解及惟一性定理

（1）惟一性定理

數(shù)域P上每一個次數(shù)≥1的多項式f（x）都可以惟一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項式的乘積．惟一性是指，如果有兩個分解式f（x）＝p₁（x）p₂（x）…p_s（x）＝q₁（x）q₂（x）…q_t（x），那么必有s＝t，并且適當(dāng)排列因式的次序后有p_i（x）＝c_iq_i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常數(shù)．

（2）因式分解

在多項式f（x）的分解式中，可以把每一個不可約因式的首項系數(shù)提出來，使它們成為首項系數(shù)為1的多項式，再把相同的不可約因式合并，于是f（x）的分解式成為

其中c是f（x）的首項系數(shù)，p₁（x），p₂（x），…，p_s（x）是不同的首項系數(shù)為1的不可約多項式，而r₁，r₂，…，r_s是正整數(shù)，這種分解式稱為多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式．

五、重因式與多項式的根

1．重因式定義

如果不可約多項式p（x）滿足（k≠0），而，則稱p（x）為f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）稱為f（x）的單因式．如果k＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式．

2．重因式的判別

（1）如果不可約多項式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商f＇（x）的k-1重因式，也是f（x），f＇（x），…，f^（k-1）（x）的因式，但不是f^（k）（x）的因式．

（2）不可約多項式p（x）是f（x）的重因式的充分必要條件為p（x）是f（x）與f＇（x）的公因式．

（3）多項式f（x）沒有重因式的充分必要條件是f（x）與f＇（x）互素．

3．余數(shù)定理

用一次多項式x－α去除多項式f（x），所得的余式是一個常數(shù)，這個常數(shù)等于函數(shù)值f（α）．

4．多項式的根

α是f（x）的根的充分必要條件是（x－α）丨f（x）．若（x-α）是f（x）的k重因式，稱α為f（x）的k重根，當(dāng)k＝1時，α是單根；當(dāng)k＞1是，α稱為重根．

六、復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解

1．代數(shù)基本定理

每個次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中有一根，等價于：每個次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項式，在復(fù)數(shù)域上一定有一個一次因式．由此可以推出，P[x]中n次多項式（n≥0）在數(shù)域P中的根不可能多于n個，重根按重數(shù)計算．

2．復(fù)系數(shù)多項式因式分解定理

每個次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上都可以惟一地分解成一次因式的乘積．復(fù)系數(shù)多項式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式

其中α₁，α₂，…，α_s是不同的復(fù)數(shù)，l₁，l₂，…，l_s是正整數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)分解式說明了每個n次復(fù)系數(shù)多項式恰有n個復(fù)根（重根按重數(shù)計算）．

3．實系數(shù)多項式因式分解定理

每個次數(shù)≥l的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以惟一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積．