第1章　多項式

1.1　考點歸納

一、一元多項式

1．數環與數域

（1）數環

設S是由一些復數組成的一個非空集合，如果對任何a，b∈S，總有a＋b，a－b，a·b∈S，則稱S是一個數環．

整數集Z，有理數集Q，實數集R，復數集C都是數環．

（2）數域

設P是由一些復數組成的集合，其中包括0與1，如果P中任意兩個數（這兩個數也可以相同）的和、差、積、商（除數不為零）仍然是P中的數，那么P就稱為一個數域．

有理數集Q，實數集R，復數集C是最重要的三個數域．

2．一元多項式

設x是一個符號（或稱文字），n是一非負整數，形式表達式…，其中a₀，a₁，…，a_n全屬于數域P，稱為系數在數域P中的一元多項式，或者簡稱為數域P上的一元多項式．n稱為多項式的系數，f（x）的次數記為．

3．一元多項式環

所有系數在數域P中的一元多項式的全體，稱為數域P上的一元多項式環，記為P[x]，P稱為P[x]的系數域．

二、整除的概念

1．帶余除法定義

對于P[x]中任意兩個多項式f（x）與g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多項式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且這樣的q（x），r（x）是惟一決定的．

帶余除法中所得的q（x）通常稱為g（x）除f（x）的商，r（x）稱為g（x）除f（x）的余式．

2．整除定義

如果數域P上的多項式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就稱數域P上的多項式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）則用“g（x）f（x）”表示．

當g（x）丨f（x）時，g（x）就稱為f（x）的因式，f（x）稱為g（x）的倍式．

3．整除性的判別

對于數域P上的任意兩個多項式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要條件是g（x）除f（x）的余式為零．

注意：任一個多項式f（x）一定整除它自身；任一個多項式f（x）都整除零多項式；零次多項式，也就是非零常數，能整除任一個多項式．

4．整除性的常用性質

（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c為非零常數；

（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的傳遞性）；

（3）如果f（x）丨g_i（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u₁（x）g_l（x）＋u₂（x）g₂（x）＋…＋u_r（x）g_r（x）），其中u_i（x）是常數域P上任意的多項式．

三、最大公因式

1．公因式定義

如果多項式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就稱為f（x）與g（x）的一個公因式．

2．最大公因式

（1）定義

設f（x），g（x）是P[x]中兩個多項式，若P[x]中多項式d（x）是f（x），g（x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，則稱d（x）稱為f（x），g（x）的一個最大公因式．兩個多項式的最大公因式在可以相差一個非零常數倍的意義下是惟一確定的．

（2）引理

如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．

（2）定理

對于P[x]中任意兩個多項式f（x），g（x），在P[x]中存在一個最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一個組合，即有P[x]中多項式u（x），υ（x）使

d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）

可用輾轉相除法來求最大公因式．

3．多項式互素

（1）定義

P[x]中兩個多項式f（x），g（x）滿足（f（x），g（x））＝1，則稱f（x）和g（x）互素（也稱互質）．

（2）性質

①P[x]中兩個多項式f（x），g（x）互素的充分必要條件是有P[x]中的多項式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；

②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；

③如果f₁（x）丨g（x），f₂（x）丨g（x），且（f₁（x），f₂（x））＝1，那么f₁（x）f₂（x）丨g（x）；

④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，則（f（x）g（x），h（x））＝1．

四、因式分解定理

1．不可約多項式

（1）定義

數域P上次數≥l的多項式p（x）如果不能表成該數域上的兩個次數比p（x）的次數低的多項式的乘積，則稱p（x）為域P上的不可約多項式．按照定義，一次多項式總是不可約多項式．

（2）性質

①如果p（x）是不可約多項式，那么對于任意的兩個多項式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．

②如果不可約多項式p（x）整除一些多項式f₁（x），f₂（x），…，f_s（x）的乘積f₁（x），f₂（x），…，f_s（x），那么p（x）一定整除這些多項式之中的一個．

2．因式分解及惟一性定理

（1）惟一性定理

數域P上每一個次數≥1的多項式f（x）都可以惟一地分解成數域P上一些不可約多項式的乘積．惟一性是指，如果有兩個分解式f（x）＝p₁（x）p₂（x）…p_s（x）＝q₁（x）q₂（x）…q_t（x），那么必有s＝t，并且適當排列因式的次序后有p_i（x）＝c_iq_i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常數．

（2）因式分解

在多項式f（x）的分解式中，可以把每一個不可約因式的首項系數提出來，使它們成為首項系數為1的多項式，再把相同的不可約因式合并，于是f（x）的分解式成為

其中c是f（x）的首項系數，p₁（x），p₂（x），…，p_s（x）是不同的首項系數為1的不可約多項式，而r₁，r₂，…，r_s是正整數，這種分解式稱為多項式的標準分解式．

五、重因式與多項式的根

1．重因式定義

如果不可約多項式p（x）滿足（k≠0），而，則稱p（x）為f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）稱為f（x）的單因式．如果k＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式．

2．重因式的判別

（1）如果不可約多項式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商f＇（x）的k-1重因式，也是f（x），f＇（x），…，f^（k-1）（x）的因式，但不是f^（k）（x）的因式．

（2）不可約多項式p（x）是f（x）的重因式的充分必要條件為p（x）是f（x）與f＇（x）的公因式．

（3）多項式f（x）沒有重因式的充分必要條件是f（x）與f＇（x）互素．

3．余數定理

用一次多項式x－α去除多項式f（x），所得的余式是一個常數，這個常數等于函數值f（α）．

4．多項式的根

α是f（x）的根的充分必要條件是（x－α）丨f（x）．若（x-α）是f（x）的k重因式，稱α為f（x）的k重根，當k＝1時，α是單根；當k＞1是，α稱為重根．

六、復系數與實系數多項式的因式分解

1．代數基本定理

每個次數≥1的復系數多項式在復數域中有一根，等價于：每個次數≥1的復系數多項式，在復數域上一定有一個一次因式．由此可以推出，P[x]中n次多項式（n≥0）在數域P中的根不可能多于n個，重根按重數計算．

2．復系數多項式因式分解定理

每個次數≥1的復系數多項式在復數域上都可以惟一地分解成一次因式的乘積．復系數多項式具有標準分解式

其中α₁，α₂，…，α_s是不同的復數，l₁，l₂，…，l_s是正整數．標準分解式說明了每個n次復系數多項式恰有n個復根（重根按重數計算）．

3．實系數多項式因式分解定理

每個次數≥l的實系數多項式在實數域上都可以惟一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積．