第九章　博弈論初步

一、博弈論的幾個基本概念

博弈論是研究在策略性環(huán)境中如何進(jìn)行策略性決策和采取策略性行動的科學(xué)。在策略性環(huán)境中，每一個人進(jìn)行的決策和采取的行動都會對其他人產(chǎn)生影響。因此，每個人在進(jìn)行策略性決策和采取策略性行動時，要根據(jù)其他人的可能反應(yīng)來決定自己的決策和行動。

1．博弈參與人

參與人或稱局中人，是指博弈中的決策主體，即在博弈中進(jìn)行決策的個體。參與人既可以是個人，也可以是團(tuán)體（企業(yè)或國家）。每個參與人的目標(biāo)是通過選擇行動使自己的效用最大化。

2．策略

策略是指參與人選擇行為的規(guī)則，也就是指參與人應(yīng)該在什么條件下選擇什么樣的行動，以保證自身利益最大化。

3．支付函數(shù)

支付函數(shù)也稱為效用函數(shù)，表明了博弈的參與人采取的每種策略組合的結(jié)果或收益，它是所有參與人策略或行動的函數(shù)，是每個參與人真正關(guān)心的東西。

4．支付矩陣

參與博弈的多個參與人的收益可以用一個矩陣或框圖表示，這樣的矩陣或框圖稱之為支付矩陣，也稱之為博弈矩陣或收益矩陣。

其中，博弈參與人、參與人的策略和參與人的支付構(gòu)成了博弈須具有的三個基本要素。表9－1即為一個支付矩陣。

表9－1  支付矩陣

二、同時博弈：純策略均衡

“同時博弈”是參與人同時進(jìn)行決策或行動的博弈。在同時博弈中，在給定其他參與人的策略時，某個參與人的最優(yōu)策略稱之為該參與人的條件優(yōu)勢策略（簡稱條件策略），而包括該參與人的條件策略以及這些條件在內(nèi)的所有參與人的策略組合稱之為該參與人的條件優(yōu)勢策略組合（簡稱條件策略組合）。

1．占優(yōu)策略

在一些特殊的博弈中，一個參與人的最優(yōu)策略可能并不依賴于其他人的選擇。也就是說，無論其他參與人采取什么策略，該參與人的最優(yōu)策略是惟一的，這樣的策略稱之為占優(yōu)策略。如表9－2所示，通過對支付矩陣的分析可以看出，如果A、B兩廠商都是理性的，則這個博弈的結(jié)果是兩廠商都做廣告，即不管一個廠商如何決定，另外一個廠商都會選擇做廣告。這種策略均衡稱之為占優(yōu)策略均衡（equilibrium in dominant strategies）。

表9－2  廣告博弈的支付矩陣

2．納什均衡

并不是每個博弈的各個參與人都有一個占優(yōu)策略。如表9－3所示，通過對支付矩陣的分析可以看出，現(xiàn)在廠商A沒有占優(yōu)策略，它的最優(yōu)決策取決于廠商B的選擇。如果廠商B做廣告，則廠商A最好也做廣告；但如果廠商B不做廣告，廠商A不做廣告又是最好的選擇。這種均衡就是納什均衡（Nash equilibrium）。所謂納什均衡，指的是參與人的這樣一種策略組合，在該策略組合上，任何參與人單獨(dú)改變策略都不會得到好處。即如果在一個策略組合中，當(dāng)所有其他人都不改變策略時，沒有人會改變自己的策略，則該策略組合就是一個納什均衡。

表9－3  廣告博弈的支付矩陣

3．納什均衡與占優(yōu)策略均衡的區(qū)別

每一個占優(yōu)策略均衡一定是納什均衡，但并非每一個納什均衡都是占優(yōu)策略均衡。占優(yōu)策略均衡是有條件的納什均衡。

一個博弈可能存在一個以上的納什均衡，但是一個博弈也可能不存在純策略納什均衡，如表9－4所示。

表9－4  沒有納什均衡的同時博弈

4．尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法

對于一個簡單的“二人同時博弈”，可以用一個以二元數(shù)組為元素的支付矩陣來表示，并用“條件策略下劃線法”來確定它的納什均衡。具體步驟如下：

（1）把整個博弈的支付矩陣分解為兩個參與人的支付矩陣。

（2）在第一個（即位于整個博弈矩陣左方的）參與人的支付矩陣中，找出每一列的最大者，并在其下畫線。

（3）在第二個（即位于整個博弈矩陣上方的）參與人的支付矩陣中，找出每一行的最大者，并在其下畫線。

（4）將已經(jīng)畫好線的兩個參與人的支付矩陣再合并起來，得到帶有下劃線的整個博弈的支付矩陣。

（5）在帶有下劃線的整個的支付矩陣中，找到兩個數(shù)字之下均畫有線的支付組合。由該支付組合代表的策略組合就是博弈的納什均衡。

5．囚徒困境

囚徒困境的博弈模型的假設(shè)條件是：甲、乙兩個被懷疑為合謀偷竊的嫌疑犯被警方抓獲，但警方對他們偷竊的證據(jù)并不充分。他們每一個人都被單獨(dú)囚禁，并單獨(dú)進(jìn)行審訊，即雙方無法互通信息。警方向這兩個嫌疑犯交待的量刑原則是：如果一方坦白，另一方不坦白，則坦白者從寬處理，判刑1年；不坦白者從重處理，判刑7年。如果兩人都坦白，則每人都各判刑5年。如果兩個都不坦白，則警方由于證據(jù)不足，只能對每個人各判刑2年。表9－5的支付矩陣描述了這一博弈。表中的報酬均為負(fù)數(shù)，以表示判刑的年數(shù)。

表9－5  囚徒困境

通過分析可以看出，囚徒困境的博弈有一個占優(yōu)策略均衡（坦白、坦白）。但是，如果兩人都是選擇不坦白（即合作），則都可以獲得最好的結(jié)局。很清楚，囚徒困境的占優(yōu)策略均衡反映了一個矛盾：即個人理性和團(tuán)體理性的沖突。

三、同時博弈：混合策略均衡

并不是所有的博弈都存在納什均衡。比如，如表9－6所示。這博弈就不存在純策略納什均衡，但卻存在混合策略納什均衡。混合策略納什均衡是這樣一種均衡，在這種均衡下，給定其他參與人的策略選擇概率，每個參與人都為自己確定了選擇每一種策略的最優(yōu)概率。

表9－6  社會福利博弈

所有參與人的混合策略的組合構(gòu)成“混合策略組合”。混合策略組合與參與人的支付的乘積之和為參與人的期望支付。當(dāng)其他參與人的混合策略確定之后，某個參與人選擇的可以使自己的期望支付達(dá)到最大的混合策略是該參與人的條件混合策略（其幾何表示為“條件混合策略曲線”）。不同參與人的條件混合策略曲線的“交點(diǎn)”就是混合策略條件下的納什均衡。可以證明，混合策略均衡總是存在的。

四、序貫博弈

“序貫博弈”是參與人的決策和行動有先有后的博弈。描述序貫博弈的更加方便也更加自然的工具是“博弈樹”。博弈樹由“點(diǎn)”（包括“起點(diǎn)”、“中間點(diǎn)”、“終點(diǎn)”）、連接點(diǎn)的“線段”以及標(biāo)在這些點(diǎn)和線段旁邊的文字和數(shù)字組成。在博弈樹中，一個納什均衡代表一條均衡的路徑。在該均衡路徑上，沒有哪個參與人愿意單獨(dú)改變自己的策略。

圖9－1  博弈樹

在序貫博弈中，可能存在多個納什均衡的情況。在多個納什均衡中，有些可能并不合理。所謂對納什均衡的“精煉”，就是要從眾多的納什均衡中進(jìn)一步確定“更好”的納什均衡。納什均衡的精煉方法通常是使用所謂的“逆向歸納法”，具體包括以下兩個步驟：

第一步，先從博弈的最后階段的每一個決策點(diǎn)開始，確定相應(yīng)參與人此時所選擇的策略，并把參與人所放棄的其他策略刪除，從而得到原博弈的一個簡化博弈。

第二步，再對簡化博弈重復(fù)步驟一的程序，直到最后，得到原博弈的一個最簡博弈。這個最簡博弈，就是原博弈的解；而在存在多重納什均衡時，它就是對納什均衡的精煉。