1.2　典型題（含歷年真題）詳解

一、選擇題

1．等于（　　）．[2013年真題]

A．

B．－

C．

D．－

【答案】D

【解析】在x＝處連續，極限值等于函數值．

2．（　　）．[2012年真題]

A．1

B．cos1

C．0

D．

【答案】B

【解析】因為函數在處連續，故．

3．（　　）．[2011年真題]

A．0

B．－1

C．2

D．3

【答案】C

【解析】．

4．設函數（　  ）．

A．0

B．1

C．1

D．不存在

【答案】D

【解析】由，

所以不存在．

5．當x0時，ln（1＋ax）是2x的等價無窮小量，則a＝（　　）．

A．－1

B．0

C．1

D．2

【答案】D

【解析】，a＝2．

6．設則a＝（　　）．

A．－1

B．2

C．1

D．2

【答案】A

【解析】因為，所以a＝－1．

7．設（　　）．

A．連續的

B．可導的

C．左極限≠右極限

D．左極限＝右極限

【答案】D

【解析】又因為f(0)＝2，所以函數f(x)在x＝0處不連續也不可導．

8．設函數在x＝2處連續，則a＝（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因為函數在x＝2處連續，則有，即

故a＝．

9．設函數，則＝（　　）．

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】D

【解析】

10．（　　）．

A．0

B．1

C．

D．2

【答案】A

【解析】．

11．設函數則（　　）．

A．0

B．1

C．2

D．4

【答案】D

【解析】因為所以．

12．設則＝（　　）．

A．0

B．1

C．3

D．5

【答案】C

【解析】

14．函數在點處有定義，是在點處連續的（　　）．

A．必要條件，但非充分條件

B．充分條件，但非必要條件

C．充分必要條件

D．非充分條件，亦非必要條件

【答案】A

【解析】函數在處有定義不一定在該點連續，但是函數在處連續在該點就一定有定義．

15．設存在，則在處（　　）．

A．一定有定義　

B．一定無定義

C．有定義且

D．可以有定義，也可以無定義

【答案】D

【解析】的存在與函數在該點是否有定義無關．

16．等于（ 　 ）．

A．0

B．

C．2

D．1

【答案】C

【解析】．

17．（　　）．

A．0

B．tan1

C．

D．2

【答案】B

【解析】在處連續，故．

18．，則k＝（　　）．

A．2

B．－2

C．

D．－

【答案】B

【解析】，則．

19．下列極限正確的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】A項，；B項，；C項，因為當時，x為無窮小量，又是有界的，所以等于0；D項，．

30．x＝1是函數f（x）＝ 的（　　）．

A．連續點

B．可去間斷點

C．無窮間斷點

D．跳躍間斷點

【答案】B

【解析】，所以x＝1是f（x）的間斷點，又因為，所以x＝1是第一類間斷點中的可去間斷點．

21．設在x＝0處連續，且f（0）＝，則a＝（　　）．

A．2

B．2

C．

D．

【答案】D

【解析】因在x＝0連續，則，即

又，所以，即．

22．設為連續函數，則a＝（　　）．

A．

B．

C．2

D．1

【答案】A

【解析】因為在x＝2連續，所以

23．要使在x＝0處連續，應補充f（0）等于（　　）．

A．

B．6

C．

D．0

【答案】B

【解析】因為所以要使f（x）在x＝0處連續，應補充f（0）＝6．

24．在下列函數中，當x→0時，函數f（x）的極限存在的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】A項，，所以當x→0時極限不存在；B項，，所以當x→0時極限不存在；C項，，所以當x→0時極限存在；D項，，極限不存在．

25．是函數f（x）在點x＝x₀處連續的（　  ）．

A．必要條件

B．充分條件

C．充分必要條件

D．既非充分又非必要條件

【答案】A

【解析】函數f（x）在點x＝x₀處連續的充要條件是因此只是f（x）在點x₀處連續的必要條件．

26．已知，則點x₀是函數的（　　）．

A．間斷點

B．連續點

C．可導點

D．連續性不確定的點

【答案】D

【解析】因為中的A不一定等于函數值，所以在x₀處的連續性是不確定的．

27．設f（x）在點x₀處連續，則（　  ）．

A．一定存在

B．一定不存在

C．一定存在

D．不一定存在

【答案】C

【解析】A項，在x＝0處連續，但在x＝0處導數不存在；B項，在x＝0處連續，導數也存在；CD兩項，在x₀處連續即左極限＝右極限＝f（x₀），故極限一定存在．

28．設，則（　　）．

A．0

B．1

C．無窮大

D．不能判定

【答案】Ｄ

【解析】，則可能有以下三種情況：

二、填空題

1．設函數在x＝1處連續，則a＝______．[2013年真題]

【答案】1

【解析】因為函數x＝1處連續，則有，，

，故，＝1．

2．______．[2012年真題]

【答案】

【解析】由等價無窮小可得．

3．已知函數，則＝______．[2011年真題]

【答案】0

【解析】．

4．______．

【答案】

【解析】．

5．______．

【答案】

【解析】．

6．設函數在點x＝0處的極限存在，則a＝______．[2010年真題]

【答案】1

【解析】函數在點x＝0處的極限存在，故有，

，故a＝1．

7．＝______．

【答案】1

【解析】

8．______．

【答案】

【解析】

9．______．

【答案】

【解析】由等價無窮小知，，所以

10．若則k＝______．

【答案】

【解析】，．

11．設函數，在x＝0處連續，則a＝______．

【答案】2

【解析】因為函數在x＝0處連續，故有，由于，故

所以a＝2．

12．＝______．

【答案】

【解析】解法1：

解法2：因為所以

13．______．

【答案】6

【解析】

14．______．

【答案】2

【解析】所以

15．______．

【答案】

【解析】

16．已知函數在x＝0處連續，則ａ＝______．

【答案】2

【解析】函數f（x）在x＝0處連續，可知，，

，得a＝2．

14．函數的間斷點為______．

【答案】x＝1和x＝0

【解析】分母時分式無意義，則x＝1和x＝0為間斷點．

三、解答題

1．計算[2013年真題]

解：此處為型極限，可使用洛必達法則

2．計算[2012年真題]

解：

3．計算[2011年真題]

解：

4．計算

解：

5．計算

解：

6．求．

解：

7．已知，求a．

解：

又，所以a＝2．

8．設在x＝0處連續，求k的值．

解：在x＝0處，f（0）＝esin0－3＝2，

　  　

，

f（x）在x＝0處連續f（0）＝f（0－0）＝f（0＋0），所以k＝－2．

9．求的間斷點，并指出類型．

解：因為，所以x＝0，x＝1，x＝2是f（x）的間斷點．

，又因，f（0）、f（1）、f（2）都不存在，所以x＝0是f（x）的第一類間斷點（可去間斷點）；x＝1，x＝2是，f（x）的第二類間斷點（無窮間斷點）．

10．若，求a與b．

解：若則當x→2時，x2＋ax＋b與x－2為同階無窮小量．

令x2＋ax＋b＝（x－2）（x＋k），則＝5，此時k＝3，代入上式得x2＋ax＋b＝（x－2）（x＋3），即x2＋ax＋b＝x2＋x－6，所以a＝1，b＝6．