第2章　一元函數微分學

2.1　考點精講

一、導數與微分

1．導數概念

（1）導數定義

設函數y＝f（x）在點x₀的某個鄰域內有定義，當自變量x在x₀處取得增量Δx（點x₀＋Δx仍在該鄰域內）時，相應的函數取得增量Δy＝f（x₀＋Δx）－f（x₀）；如果Δy與Δx之比當Δx→0時的極限存在，則稱函數y＝f（x）在點x₀處可導，并稱這個極限為函數y＝f（x）在點x₀處的導數，記為，即

也可記作，或．

導數的常見形式有

和

其中的h即自變量的增量Δx．

（2）單側導數

①左導數

②右導數

（3）在一點處可導的充分必要條件

函數f（x）在點x₀處可導存在且相等

（4）導數的幾何意義

函數y＝f（x）在點x₀處的導數在幾何上表示曲線y＝f（x）在點M（x₀，f（x₀））處的切線的斜率，即，其中是切線的傾角（圖2-1）．

圖2-1

如果y＝f（x）在點x₀處的導數為無窮大，這時曲線y＝f（x）的割線以垂直于x軸的直線x＝x₀為極限位置，即曲線y＝f（x）在點M（x₀，f（x₀））處具有垂直于x軸的切線x＝x₀．

（5）可導與連續的關系

函數y＝f（x）在點x₀處可導，則函數在點x₀處必連續；函數y＝f（x）在點x₀處連續，卻不一定在點x₀處可導．

2．導數的運算

（1）四則運算法則

①（c為常數）

②

③

④

（2）基本公式

3．求導方法

（1）復合函數的求導法

如果u＝g（x）在點x可導，而y＝f（u）在點u＝g（x）可導，則復合函數y＝f[g（x）]在點x可導，且其導數為

 或

（2）隱函數的求導法

①由確定的隱函數的導數

方程兩邊同時對x求導，得

②由參數方程確定的隱函數的導數

a．一階求導公式

b．二階求導公式

（3）對數求導法

①求導步驟

a．對兩邊同時取對數

b．兩邊同時關于x求導數

c．移項，化為的形式

②冪指函數的對數求導法

a．兩邊同時取對數法

b．轉化法

第一步，把冪指函數，化為

第二步，直接求導

③乘積形式的函數的對數求導法

【例】求的導數．

解：先在兩邊取對數，得

兩邊同時關于x求導數

得

4．高階導數

（1）高階導數的定義

函數y＝f（x）的導數仍然是x的函數．我們把的導數叫做函數y＝f（x）的二階導數記作或，即或．類似地，二階導數的導數叫做三階導數，三階導數的導數叫做四階導數，…，一般的，（n－1）階導數的導數叫做n階導數，分別記作或．

二階及二階以上的導數統稱高階導數．

（2）高階導數的計算

①幾個初等函數的n階導數公式

②萊布尼茨（Leibniz）公式

5．微分

（1）微分的定義

設函數y＝f（x）在某區間內有定義，x₀及x₀＋Δx在這區間內，如果增量

可表示為

其中A是不依賴于Δx的常數，那么稱函數y＝f（x）在點x₀是可微的，而AΔx叫做函數y＝f（x）在點x₀相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即．

（2）微分與導數的關系

函數y＝f（x）在點x可微y＝f（x）在點x可導，且．同時．

（3）微分法則

①中間變量均為一元函數

若函數及都在點x可導，函數在對應點處可微，則復合函數在點x可導，且

②中間變量均為多元函數

設，，．若，在點處偏導數都存在，在對應點處可微，則復合函數在點處存在偏導數，且

（4）一階全微分形式不變性

設可微．

①若是自變量，則；

②若是中間變量，即，，，則復合函數的全微分為

由此可見，無論是自變量的函數或中間變量的函數，它的全微分形式是一樣的，即一階全微分形式不變性．

二、導數的應用

1．洛必達法則

（1）型未定式

①當（或）時，函數及都趨于零；

②在a點的某去心鄰域內，及都存在，且；

③存在（或為無窮大）；

那么．

這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則．

如果仍屬型，且及滿足定理的條件，可以繼續使用洛必達法則．

（2）型未定式

①；

②在a點的某去心鄰域內，及都存在，且；

③存在（或為無窮大）；

那么．

（3）型未定式

或

【例】求．

解：原式＝．

（4）型

【例】求．

解：原式＝．

（5）型 取對數

 

2．函數增減性的判定法

若函數y＝f（x）在區間（a，b）內有定義，x₁，x₂為（a，b）內任意兩點，且當x₁＜x₂時，恒有f（x₁）＜f（x₂），則稱y＝f（x）在（a，b）內單調增加．如果對上述x₁＜x₂，恒有f（x₁）＞f（x₂），則稱y＝f（x）在（a，b）內單調減少．

設y＝f（x）在（a，b）內有定義，且y＝f（x）可導．

（1）若對于任意的，有＞0，則y＝f（x）在（a，b）內為單調增函數．

（2）若對于任意的，有＜0，則y＝f（x）在（a，b）內為單調減函數．

3．函數極值與極值點

（1）極值的定義

設y＝f（x）在點x₀的某鄰域內有定義．

①極大值

如果對于該鄰域內任何異于x₀的點x，恒有f（x）＜f（x₀），則稱x₀為f（x）的一個極大值點，稱f（x₀）為f（x）的一個極大值．

②極小值

如果對于該鄰域內任何異于x₀的點x，恒有f（x）＞f（x₀），則稱x₀為f（x）的一個極小值點，稱f（x₀）為f（x）的一個極小值．

（2）求函數的駐點

設y＝f（x）在點x₀處可導，且x₀為f（x）的極值點，則＝0．使導數值為零的點，稱為函數的駐點，即若＝0，則稱x₀為f（x）的駐點．

（3）判別極值

①第一判別法

設y＝f（x）在點x₀的某鄰域內可導，且＝0．

a．若x＜x₀時，＞0；當x＞x₀時，＜0，則x₀為f（x）的極大值點．

b．若x＜x₀時，＜0；當x＞x₀時，＞0，則x₀為f（x）的極小值點．

c．若在x₀的兩側同號，則x₀不是f（x）的極值點．

②第二判別法

設y＝f（x）在點x₀處二階可導，且＝0．

a．若＜0，那么x₀為f（x）的極大值點．

b．若＞0，那么x₀為f（x）的極小值點．

c．若＝0，則此方法不能判定．

4．函數的最大值與最小值

（1）最值的定義

設函數y＝f（x）在閉區間[a，b]上有定義，，若對于任意，恒有f（x）≤f（x₀）（或f（x）≥f（x₀）），則稱f（x₀）為函數y＝f（x）在閉區間[a，b]上的最大值（或最小值），稱點x₀為f（x）在[a，b]上的最大值點（或最小值點）．

（2）最大值與最小值的求法

閉區間[a，b]上的連續函數y＝f（x）必定存在最大值與最小值．求最大值與最小值的一般方法是：

①求出f（x）在（a，b）內的所有可能的極值點，包括駐點和導數不存在的點：x₁，...，x_k．

②求出上述各點及區間兩個端點x＝a，x＝b處的函數值：f（x₁），…，f（x_k），f（a），f（b），進行比較，其中最大的數即為y＝f（x）在[a，b]上的最大值，相應的即為f（x）在[a，b]上的最大值點；而其中最小的數即為f（x）在[a，b]上的最小值，相應的即為f（x）在[a，b]上的最小值點．

5．曲線的凹凸性、拐點

（1）曲線的凹凸性

①定義

設函數y＝f（x）在（a，b）內可導，x₀為（a，b）內任意一點，若曲線弧上點（x₀，f（x₀））處的切線總位于曲線弧的下方，則稱此曲線弧在（a，b）內為凹的（或稱凹弧）．若曲線弧上點（x₀，f（x₀））處的切線總位于曲線弧的上方，則稱此曲線弧在（a，b）內為凸的（或稱凸弧）．

②性質

設函數y＝f（x）在（a，b）內二階可導．

a．若在（a，b）內有＞0，則曲線弧y＝f（x）在（a，b）內為凹的．

b．若在（a，b）內有＜0，則曲線弧y＝f（x）在（a，b）內為凸的．

（2）曲線的拐點

①定義

連續曲線弧y＝f（x）上的凹與凸的分界點稱為曲線弧的拐點．

②性質

設函數y＝f（x）在（a，b）內有二階導數，．

a．若在x₀的左、右兩側異號，那么點（x₀，f（x₀））為曲線y＝f（x）的拐點，此時＝0．

b．若在x₀的左、右兩側同號，則點（x₀，f（x₀））不是曲線y＝f（x）的拐點．

（3）利用導數判定曲線y＝f（x）的拐點、凹凸性的一般方法是：

①求出該函數的二階導數，求出其二階導數等于零的點．

②求出該函數的二階導數不存在的點．

③判定上述各點兩側該函數的二階導數是否異號，如果在x₀的兩側異號，則（x₀，f（x₀））為曲線弧y＝f（x）的拐點．

④在＞0的x的取值范圍內，曲線弧y＝f（x）為凹的；在＜0的x的取值范圍內，曲線弧y＝f（x）為凸的．

6．曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

（1）定義

若點M沿曲線y＝f（x）無限遠離原點時，它與某條定直線L之間的距離將無限接近于零，則稱直線L為曲線y＝f（x）的一條漸近線．若直線L與x軸平行，則稱L為曲線y＝f（x）的水平漸近線；若直線L與x軸垂直，則稱L為曲線y＝f（x）的鉛直漸近線．

（2）曲線y＝f（x）的漸近線的求法

①，則y＝C為曲線y＝f（x）的水平漸近線．此時不論還是，曲線y＝f（x）上的點將從兩個方向與直線y＝C無限地接近．若，則y＝C也為曲線y＝f（x）的水平漸近線，此時僅當時，曲線y＝f（x）上的點與直線y＝C無限地接近；若，則y＝C也為曲線y＝f（x）的水平漸近線，此時僅當時，曲線y＝f（x）上的點與直線y＝C無限地接近．

②若，則x＝x₀為曲線y＝f（x）的鉛直漸近線（從兩個方向趨近）．若，x＝x₀也為曲線y＝f（x）的鉛直漸近線（從右側趨近）；若，x＝x₀也為曲線y＝f（x）的鉛直漸近線（從左側趨近）．