第1章　極限與連續(xù)

1.1　考點精講

一、極限

1．數(shù)列的極限

（1）數(shù)列的定義

按一定順序排列的一列數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作{x_n}．

數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，第n項叫做數(shù)列的一般項或通項．

數(shù)列{x_n}可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)：x_n＝f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當自變量n依次取1，2，3等一切正整數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排成數(shù)列{x_n}．

（2）數(shù)列的極限

①定義

設(shè){}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當n＞N時，不等式都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{}的極限，或者稱數(shù)列{}收斂于a，記為或．

如果不存在這樣的常數(shù)a，就說數(shù)列{}沒有極限，或者說數(shù)列{}是發(fā)散的，習(xí)慣上也說lim不存在．

②幾何意義

將常數(shù)a及數(shù)列x₁,x₂,x₃，…,x_n…在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的ε鄰域即開區(qū)間（a－ε，a＋ε）（圖1-1）．

圖1-1

所以當n＞N時，所有的點都落在開區(qū)間（a－ε，a＋ε）內(nèi)，而只有有限個（至多只有N個）在這區(qū)間以外．

注意：在利用數(shù)列極限的定義來論證某個數(shù)a是數(shù)列{}的極限時，重要的是對于任意給定的正數(shù)ε，要能夠指出定義中所說的這種正整數(shù)N確實存在，但沒有必要去求最小的N．

③數(shù)列極限的性質(zhì)

a．唯一性

如果數(shù)列{}收斂，那么它的極限唯一．

b．有界性

對于數(shù)列{}，如果存在著正數(shù)M，使得對于一切x都滿足不等式，則稱數(shù)列{}是有界的；如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列{}是無界的．

如果數(shù)列{}收斂，那么數(shù)列{}一定有界．

（3）四則運算法則

①設(shè)有數(shù)列{}和{}．如果，，那么

a．；

b．；

c．當（n＝1,2，…）且時，．

②如果，而，，那么．

③設(shè)函數(shù)y＝f[g（x）]是由函數(shù)u＝g（x）與函數(shù)y＝f（u）復(fù)合而成，f[g（x）]在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當時，有，則．

（4）數(shù)列極限存在準則

①（夾逼準則）如果數(shù)列{}，{}及{}滿足下列條件：

a．

b．

那么數(shù)列{x_n}的極限存在，且．

②單調(diào)有界數(shù)列必有極限．

2．函數(shù)的極限

（1）函數(shù)極限的定義

設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)（無論它多么小），總存在正數(shù)，使得當x滿足不等式時，對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當時的極限，記作

（2）函數(shù)極限的性質(zhì)

①唯一性

若存在，那么它的極限唯一．

②有界性

如果，那么存在常數(shù)M＞0和，使得當時，有．

③局部保號性

a．如果，且A＞0（或A＜0）那么存在常數(shù)，使得當時，有f（x）＞0（或f（x）＜0）．

b．如果，那么就存在著的某一去心領(lǐng)域，當時，就有．

c．如果在的某去心領(lǐng)域內(nèi)，而且，那么．

（3）函數(shù)在一點處的極限

①當時函數(shù)f（x）的極限

如果當x無限地趨于x₀時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當時，函數(shù)f（x）的極限（值）為A，記作

或（當時）

②當時函數(shù)f（x）的極限

如果當x從x₀的左邊（或右邊）無限地趨于x₀時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當時，函數(shù)f（x）的左極限（或右極限）是A，記作

③左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系

當時，函數(shù)f（x）的極限等于A的充分必要條件是

④幾何意義

任意給定一正數(shù)ε，作平行于x軸的兩條直線y＝A＋ε和y＝A－ε，介于這兩條直線之間是一橫條區(qū)域．根據(jù)定義，對于給定的ε，存在著點的一個δ鄰域（－δ，＋δ），當y＝f（x）的圖形上的點的橫坐標x在鄰域（x₀－δ，x₀＋δ）內(nèi)，但x≠x₀時，這些點的縱坐標f（x）滿足不等式，亦即這些點落在上面所作的橫條區(qū)域內(nèi)（圖1-2）

圖1-2

（4）x趨于無窮大時函數(shù)的極限

①當x∞時函數(shù)f（x）的極限

如果當x∞時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當x∞時，函數(shù)f（x）的極限（值）是A，記作

或（當時）

②當x＋∞（或－∞）時，函數(shù)f（x）的極限

如果當x＋∞（或－∞）時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當x＋∞（或－∞）時，函數(shù)f（x）的極限（值）是A，記作

③幾何意義

從幾何上來說，的意義是：作直線y＝A－ε和y＝A＋ε，則總有一個正數(shù)X存在，使得當x＜－X或x＞X時，函數(shù)y＝f（x）的圖形位于這兩直線之間（圖1-3）．這時，直線y＝A是函數(shù)y＝f（x）的圖形的水平漸近線．

圖1-3

（5）函數(shù)極限的性質(zhì)

①（唯一性）如果存在，則極限值必唯一．

②（夾逼定理）設(shè)函數(shù)f（x），g（x），在點x_o的某個鄰域內(nèi)（x_o可除外）滿足條件：

a．

b．；

則

（6）四則運算法則

如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，則：

①

②

③

上述運算法則不難推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情況，因而有以下的推論．

推論  設(shè)都存在，k為常數(shù)，n為正整數(shù)，則有：

①

②

③

3．無窮小量與無窮大量

（1）無窮小量與無窮大量的定義

①無窮小量

如果自變量x在某個變化過程中（xx₀或x∞）函數(shù)f（x）的極限值為零，則稱在該變化過程中，f（x）為無窮小量，記作．

②無窮大量

如果當自變量xx₀（或x∞）的過程中，經(jīng)過某一時刻后f（x）的絕對值可以大于事先任意給定的充分大的正數(shù)M，則稱在該變化過程中，f（x）為無窮大量，記作．

（2）無窮小量與無窮大量的關(guān)系

在同一變化過程中，如果f（x）為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果f（x）為無窮小量，且f（x）≠0，則為無窮大量．

（3）無窮小量的性質(zhì)

①有限個無窮小量之和仍為無窮小量．

②有界變量與無窮小量之積仍為無窮小量．

③有限個無窮小量之積仍為無窮小量．

（4）無窮小量的比較

設(shè)α和β是同一變化過程中的無窮小量，即．

①高階無窮小

如果，則稱α是比β高階的無窮小量，記為；

②同階無窮小

如果，則稱α是與β同階的無窮小量；

③等價無窮小

如果，則稱α與β是等價無窮小量，記為；

④低階無窮小

如果，則稱α是比β低階的無窮小量．

4．兩個重要極限

（1）

它可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示

既可以表示自變量x又可以是x的函數(shù)，而是表示當時必有即當為無窮小量時，上式的極限值才是1．

（2）或對數(shù)列有

其結(jié)構(gòu)式可表示為

其中方塊的含義同前．

二、連續(xù)

1．定義

（1）函數(shù)在一點處連續(xù)的定義

設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

或

那么就稱函數(shù)y＝f（x）在點連續(xù)．

（2）左連續(xù)和右連續(xù)

如果存在且等于f（），即f（＋）＝f（），就說函數(shù)f（x）在點右連續(xù)．如果存在且等于f（），即f（-）＝f（），就說函數(shù)f（x）在點左連續(xù)．

（3）函數(shù)在一點處連續(xù)的充分必要條件

函數(shù)在點處連續(xù)函數(shù)在點處左連續(xù)且右連續(xù)

（4）函數(shù)的間斷點

①間斷點的定義

設(shè)函數(shù)f（x）在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f（x）：

a．在x＝沒有定義；

b．雖在x＝有定義，但limf（x）不存在；

c．雖在x＝有定義，且limf（x）存在，但limf（x）≠f（x₀）．

則函數(shù)f（x）在點為不連續(xù)，而點稱為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點或間斷點．

②間斷點的分類

a．第一類間斷點

設(shè)是函數(shù)f（x）的間斷點，若左極限和右極限都存在，則是函數(shù)f（x）的第一類間斷點．如果左極限等于右極限，則是可去間斷點；如果左極限不等于右極限，則是跳躍間斷點．

b．第二類間斷點

不屬于第一類間斷點的間斷點稱為第二類間斷點．無窮間斷點和振蕩間斷點屬于第二類間斷點．

2．函數(shù)在一點處的連續(xù)的性質(zhì)

（1）連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運算

若函數(shù)，在點處連續(xù)，則，，在點處也連續(xù)．

（2）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

①若，函數(shù)在點a處連續(xù)，則有；

②設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，且，而函數(shù)在點處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點處也連續(xù)．

3．閉區(qū)間上函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)

（1）有界性定理

在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界．

（2）最值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值．

（3）零點定理

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且（與異號），那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點

，使．

（4）介值定理

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值及，那么對于A與B之間的任意數(shù)C，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點ξ使得f（ξ）＝C（a＜ξ＜b）．

4．初等函數(shù)的連續(xù)性

（1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．

①三角函數(shù)及反三角函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的．

②指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且連續(xù)．

③對數(shù)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)且連續(xù)．

④冪函數(shù)在內(nèi)連續(xù)．

（2）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．

（3）代入法求初等函數(shù)的極限

（定義區(qū)間）．