三、不等式和不等式組

1．不等式的性質

（1）若，則；若，則，即．（對稱性）

（2）若，且，則，即．（傳遞性）

（3）若，則，即．（平移性）

　  推論：．（疊加性）

（4）若且則，即；

　  若且則，即．（伸縮性）

　  推論1：．（疊乘性）

　  推論2：．（乘方性）

  　推論3：．（開方性）

2．解一元一次不等式

（1）去分母

不等式左右兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等式的符號不變；不等式左右兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等式的符號改變．

（2）去括號

括號前面是“＋”號，去掉括號，括號內的數符號不變；括號前面是“－”號，去掉括號，括號內的數改變符號．

（3）移項

不等式的兩邊同時加上或同時減去同一個數，不等號的方向不變．

（4）合并同類項

系數相加，字母部分不變．

（5）系數化為一

不等式左右兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等式的符號不變；不等式左右兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等式的符號改變．

【例】不等式的解集是______．

【答案】

【解析】去分母，去括號，移項,合并同類項得，所以解集為．

3．解一元一次不等式組

（1）求出不等式組中的每個不等式的解集；

（2）將每個不等式的解表示在同一條數軸上；

（3）在數軸上找出解集的公共部分．

①同大取大，例如，則解集為．

②同小取小，例如，則解集為．

③大小中間夾，例如，，則解集為．

④大大小小取空集，例如，，則解集為．

4．可化為一元一次不等式組的不等式

不等式中含兩個（或兩個以上）方向相同的不等號，可將不等式化為一元一次不等式組，再按照解不等式組的方法步驟解此不等式．

【例】解不等式：.

解：原不等式可化為

由①得，由②得，則原不等式的解集為．

5．解一元二次不等式

（1）解不等式

①將原不等式化成一般形式；

②計算；

a．，則．

求方程的兩根，原不等式的解集為．

b．，則．

求方程的兩根，原不等式的解集為．

c．，則方程沒有實數根．

拋物線與軸沒有交點且在軸上方，原不等式的解集為R．

（2）解不等式

①將原不等式化成一般形式；

②計算；

a．，則．

求方程的兩根，原不等式的解集為．

b．，則．

求方程的兩根，原不等式的解集為．

c．，則方程沒有實數根．

拋物線與軸沒有交點且在軸上方，原不等式的解集為．

6．不等式解集的表示方法

（1）集合表示法

例如，解集可以表示成．

（2）區間表示法

①開區間

滿足的的集合稱為開區間，記作；

②閉區間

滿足的的集合稱為閉區間，記作；

③左閉右開區間

滿足的的集合稱為左閉右開區間，記作；

④左開右閉區間

滿足的的集合稱為左開右閉區間，記作；

⑤滿足或的的集合，記作；

⑥實數集R，記作．

（3）數軸表示法

①“≥”或“＞”朝右畫，“≤”或“＜”朝左畫；

②“≥”或“≤”在數軸上用實心，“＞”或“＜”在數軸上用空心．

例如，解集可以表示成

7．絕對值不等式

（1）解不等式（c＞0），相當于解ax＋b≥c或ax＋b≤－c（注意這是兩個一元一次不等式解集的并集），即首先去掉絕對值符號，轉化為一元一次不等式再求解．

（2）解不等式相當于解即（注意這是兩個一元一次不等式解集的交集）．

（3）當不等式中a＜0時，如，可先將其變形為，即先將絕對值號里面的各項改變符號，使x的系數變為正數，以便減少不必要的錯誤．