二、函　數(shù)

1．函數(shù)的概念

在某變化過程中有兩個變量x、y，按照某個對應(yīng)法則，對于給定的x，有唯一確定的y與之對應(yīng)，那么y就稱為x的函數(shù)．其中x叫自變量，y叫因變量，自變量x取值的集合稱為函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域.

2．求函數(shù)定義域的方法

（1）整式函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集合R．例如一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集合R．

（2）分式函數(shù)的定義域是使得其分母不等于零的自變量x的取值范圍．例如y＝的定義域是的解集．

（3）偶次根式函數(shù)的定義域是使得被開方式恒為非負(fù)實(shí)數(shù)的x的取值范圍．例如二次根式函數(shù)ｙ＝的定義域是x－2≥0的解集．

（4）對數(shù)函數(shù)的定義域是使其真數(shù)恒為正實(shí)數(shù)的z的取值范圍．例如的定義域為的解集．

（5）指數(shù)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集合R，而的定義域為．

（6）對于非單一的函數(shù)，其定義域應(yīng)為使各部分均有意義的ｘ的取值范圍．

3．函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

（1）奇偶性

①多項式函數(shù)中若只有偶次項（即奇次項系數(shù)全為0），則該函數(shù)必是偶函數(shù)；若只有奇次項（即偶次項系數(shù)全為0），則該函數(shù)是奇函數(shù)．應(yīng)注意的是，常數(shù)項是項，所以是偶次項．

例如，對于二次函數(shù)來講，只有當(dāng)一次項系數(shù)為零時是偶函數(shù)．

②正比例函數(shù)、反比例函數(shù)一定是奇函數(shù)．

③指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一定不是奇函數(shù)．

④三角函數(shù)中，正弦函數(shù)和正切函數(shù)為奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)．

（2）單調(diào)性

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)（可能單調(diào)增加，也可能單調(diào)減少）．

偶函數(shù)必然不是單調(diào)函數(shù)，單調(diào)函數(shù)也必然不是偶函數(shù)．

4．一次函數(shù)、反比例函數(shù)

（１）一次函數(shù)

①概念

把形如y＝kx＋b（k≠0，k，b是常數(shù)）的函數(shù)稱為一次函數(shù)，那么y稱為x的一次函數(shù)．當(dāng)b＝0時，y＝kx，是正比例函數(shù)，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)．

②圖像

表1-1  一次函數(shù)的圖像

③性質(zhì)

a．斜率ｋ的正負(fù)決定直線的傾斜方向

ｋ＞０，ｙ隨ｘ的增大而增大；ｋ＜０，ｙ隨ｘ的增大而減小．

b．|k|大小決定直線的傾斜程度

|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大，直線陡；|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越小，直線緩．

c．截距b的正負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置

當(dāng)b＞0時，直線與交于y正半軸上；當(dāng)b＜0時，直線與y負(fù)半軸上；當(dāng)b＝0，直線過原點(diǎn)，是正比例函數(shù)．

d．直線經(jīng)過的象限

第一，當(dāng)k＞0，b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限；

第二，當(dāng)k＞0，b＜0時，直線經(jīng)過第一、三、四象限；

第三，當(dāng)k＜0，b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限；

第四，當(dāng)k＜0，b＜0時，直線經(jīng)過第二、三、四象限．

補(bǔ)充：正比例函數(shù)，當(dāng)k＞0時，直線經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)k＜0時，直線經(jīng)過第二、四象限．

e．直線平行

若k₁＝k₂，說明兩直線與x軸相交的銳角相等且是同位角，因此兩直線平行．直線：可看作由直線：向上平移個單位得到．

④待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

a．設(shè)函數(shù)表達(dá)式為；

b．將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程（組）；

c．求出與的值，得到函數(shù)表達(dá)式．

【例】一次函數(shù)y＝kx＋b上有兩個已知點(diǎn)A（3，2），B（1，3），則其函數(shù)式為______．

【答案】y＝x＋

【解析】將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，得

解之得k＝，b＝，所以一次函數(shù)式為y＝x＋．

（2）反比例函數(shù)

①概念

如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可表示成的形式，稱y是x的反比例函數(shù)．

②圖像

表1-2  反比例函數(shù)的圖像

③性質(zhì)

a．圖像是一條雙曲線；

b．當(dāng)k＞0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)，圖像從左至右下降，y隨x的增大而減小；

c．當(dāng)k＜0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)，圖像從左至右上升，y隨x的增大而增大．

d．|k|值越大，圖像的位置相對于坐標(biāo)原點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，反之亦然．

④待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

a．設(shè)函數(shù)表達(dá)式為；

b．將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程；

c．求出的值，得到函數(shù)表達(dá)式．

5．二次函數(shù)

（1）概念

把形如的函數(shù)，稱為二次函數(shù)．

（2）圖像及性質(zhì)

利用配方法可將二次函數(shù)化為（其中），圖像是一條拋物線．|a|越大，拋物線開口越小；|a|越小，拋物線開口越大．

表1-3  二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

（3）二次函數(shù)與之間的關(guān)系

拋物線可由拋物線平移得到．

①平移步驟

a．將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；

b．保持拋物線的形狀不變，將頂點(diǎn)平移到處，平移方法如下：

②平移規(guī)律

欲將拋物線平移得到拋物線，h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移．概括成“左加右減，上加下減”．

（4）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

①已知拋物線上三個點(diǎn)的坐標(biāo)，選用一般式；

②已知拋物線頂點(diǎn)（或?qū)ΨQ軸、最值），選用頂點(diǎn)式；

③已知拋物線與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，選用兩根式；

④已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，選用頂點(diǎn)式．

（5）二次函數(shù)的應(yīng)用

①求二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程．用判別式法討論圖像與x軸交點(diǎn)個數(shù)．

a．當(dāng)時，圖像與x軸交于兩點(diǎn)A(x₁,0)，B(x₂,0)(),x₁,x₂是方程的兩根，A、B兩點(diǎn)間的距離；

b．當(dāng)時，圖像與x軸只有一個交點(diǎn)；

c．當(dāng)時，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．若，圖像開口向上，在x軸上方，恒有y>0；若，圖像開口向下，在x軸下方，恒有y<0．

②求二次函數(shù)的最值需要用配方法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式．

③用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)圖像的位置判斷中的符號，或由的符號判斷函數(shù)的位置．

6．指數(shù)

（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

規(guī)定是正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，語言敘述為：正數(shù)的次冪()等于這個正數(shù)的m次冪的n次方根；為正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，語言敘述為：正數(shù)的次冪()等于這個正數(shù)的m次冪的n次方根分之一．

特別說明：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)a小于0時無意義，如和．

（2）有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

①；

②；

③；

④．

（3）指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，將形如的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)．

（4）指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

表1-4  指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

7．對數(shù)

（1）對數(shù)的概念

一般地，如果，那么數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù)，記作，a稱為對數(shù)的底數(shù)，N稱為真數(shù)．

（2）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

①

②

③

（3）對數(shù)函數(shù)的概念

我們把函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù),a稱為對數(shù)函數(shù)的底數(shù)．函數(shù)的定義域是(0,+∞),值域是R．

特別地，我們稱以10為底的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù),稱以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù)為自然對數(shù)．

（4）對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

表1-5  對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)