3.3　名校考研真題詳解

一、判斷題

窄帶高斯噪聲的同相分量和正交分量是低通型的噪聲。（　　）[南郵2010研]

【答案】對

二、選擇題

1．零均值廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程X（t）的平均功率是（　　）。[南郵2009研]

A．E[X（t）]

B．E2[X（t）]　 

C．R（∞）　 

D．D[X（t）]

【答案】D

【解析】廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程X（t）的平均功率為R（0）＝E[X2（t）]＝D[X（t）]＋E2[X（t）],此題中均值即E[X（t）]為0，所以E[X2（t）]＝D[X（t）]。直流功率為R（∞）或E2[X（t）]。

2．窄帶高斯噪聲的包絡(luò)服從（　　）分布，而同相分量則服從（　　）分布。[南郵2010、2009研]

A．均勻；正態(tài)

B．瑞利；高斯　 

C．均勻；瑞利

D．不確定

【答案】B

【解析】窄帶高斯噪聲的相位服從均勻分布；其分布同相分量和正交分量皆為高斯過程。

三、計(jì)算題

1．有兩個(gè)隨機(jī)過程：

其中A、θ都是隨機(jī)變量，ω_c是常數(shù)，若A、θ統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且A均值為a，方差為σ2，θ是0到π服從均勻分布的隨機(jī)變量。試求：

（1）ξ（t）和η（t）的互相關(guān)函數(shù)R_ξη（t，t＋τ）；

（2）ξ（t）的自相關(guān)函數(shù)R_ξ（t，t＋τ）；ξ（t）是否為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，為什么?

（3）η（t）是否為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，為什么? [河北大學(xué)2007研]

解：（1）由題意知

θ的概率分布為

所以ξ（t）和η（t）的互相關(guān)函數(shù)為

（2）由自相關(guān)函數(shù)的定義可得

又因?yàn)?/p>

所以E[ξ（t）]與時(shí)間t有關(guān)，即ξ（t）函數(shù)不是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。

（3）η（t）的數(shù)學(xué)期望為

所以η（t）不是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。

2．設(shè)其中n（t）是雙邊功率譜密度為的高斯白噪聲，和為確定函數(shù)，求和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件。[國防科技大學(xué)2006研]

解：由題可知

又因?yàn)閚（t）是高斯過程，所以是服從聯(lián)合高斯分布的隨機(jī)變量，故欲使和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，需滿足

所以和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件為

即正交。

3．均值為零、雙邊功率譜密度為的高斯白噪聲n_w（t）輸入如圖3-1所示系統(tǒng)。其中BPF和LPF是幅度增益為1的理想帶通濾波器和理想低通濾波器。BPF的中心頻率是f_c，帶寬是2B，LPF的截止頻率是B。

圖3-1

（1）求輸出噪聲n₀（t）的均值和功率；

（2）求輸出噪聲n₀（t）的功率譜密度。[北科2010研]

解：（1）噪聲n_w（t）經(jīng)過BPF之后為窄帶高斯噪聲，其表達(dá)式為

其中，都是均值為0的平穩(wěn)高斯過程，功率均為。

經(jīng)過LPF后的輸出為

所以輸出噪聲的均值為0，輸出噪聲的功率為

（2）因?yàn)長PF的帶寬為B，所以功率譜密度在內(nèi)為常數(shù)，在為0，而，故輸出噪聲的功率譜密度為

4．已有一均值為0，自相關(guān)函數(shù)為10δ（γ）的高斯過程，通過帶寬為B Hz的理想低通濾波器，試求：

（1）輸出過程的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)；

（2）輸出過程的一維概率密度函數(shù)。[南郵2007研]

解：（1）因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/26C576/15436521204045406/epubprivate/OEBPS/Images/image780.jpg?sign=1754856611-okFVCEJIXQd3rDpHzg8wMFvCc7eH8zrk-0-91cd5b75321ff23ef9bf366d6d8159d8">且輸入過程的自相關(guān)函數(shù)為R_i（τ）＝10δ（γ），所以輸入過程的S_i（ω）＝10。

輸出過程的功率譜密度為

而

所以

又有輸出過程中，所以有

（2）由于其輸入過程是一個(gè)高斯過程，且經(jīng)過理想低通濾波器，所以其輸出過程也是高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程，且均值為0，方差為10B，所以其一維概率密度為

5．廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過程X（t）通過圖3-2所示線性時(shí)不變系統(tǒng)，已知X（t）的自相關(guān)函數(shù)為R_x（τ），功率譜密度為P_x（ω）。試求：

（1）輸出過程Y（t）的自相關(guān)函數(shù)；

（2）Y（t）的功率譜密度；

（3）寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。[南郵2011、2009研]

圖3-2

解：該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

所以Y（t）的功率譜密度為

Y（t）的自相關(guān)函數(shù)為

6．已知平穩(wěn)隨機(jī)過程x（t）的功率譜密度為P_x（ω），作用于如圖3-3所示系統(tǒng)，試求輸出過程y（t）的功率譜密度P_y（ω）。[南郵2006研]

圖3-3

解：由圖3-3可知，系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為

故幅度函數(shù)為

因?yàn)閤（t）平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)，所以有

7．一個(gè)零均值平穩(wěn)高斯白噪聲，其雙邊功率譜密度為，通過一個(gè)如圖3-4所示的RC低通濾波器，試求：

（1）濾波器輸出噪聲的功率譜密度P₀（ω），自相關(guān)函數(shù)R₀（τ），輸出功率S₀；

（2）寫出輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)f（x）。[北京師范大學(xué)2007研]

圖3-4

解：（1）RC低通濾波器的傳輸函數(shù)H（ω）為

平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后有

，由傅里葉變換可得

因?yàn)楣β首V密度為

所以其自相關(guān)函數(shù)為

同理可求得

（2）輸出為高斯過程為

由于方差為

所以

故輸出過程的一維概率密度函數(shù)為

8．隨機(jī)序列{a_n}中的a_n∈±1為獨(dú)立等概的二進(jìn)制隨機(jī)變量。由{a_n}構(gòu)成的沖激序列s（t）通過脈沖成型濾波器后得到PAM信號y（t），如圖3-5（a）所示。

（1）若成形濾波器的沖激響應(yīng)g（t）如圖3-5（b）所示，試寫出y（t）的功率譜表示式，并畫出功率譜密度圖（標(biāo)上頻率值）；

（2）若成形濾波器的沖激響應(yīng)g（t）如圖3-5（c）所示，試寫出y（t）的功率譜表示式，并畫出功率譜密度圖（標(biāo)上頻率值）；

（3）在成形濾波器的沖激響應(yīng)g（t）如圖3-5（c）的情形下，寫出第k個(gè)取樣值y_k的表達(dá)式，寫出y_k的各種可能取值及其發(fā)生概率，指出y_k中是否存在碼間干擾。[北郵2006研]

圖3-5

解：設(shè)P_S（f）是s（t）的功率譜密度，G（f）是g（t）的傅氏變換，則y（t）的功率譜密度為

由于，δ（t）的傅氏變換是1，所以。

因此

（1）由圖3-5（b）得

則y（t）的功率譜為

其功率譜密度圖如圖3-6所示。

圖3-6

（2）由圖3-5（c）得

則y（t）的功率譜為

其功率譜密度圖如圖3-7所示。

圖3-7

（3）由題意得

則y_k的可能取值為－2，0，＋2，相應(yīng)概率分別為。且y_k中存在碼間干擾。